Читать книгу Цифровое моделирование на C# - Дмитрий Павлов - Страница 17

Пусть имеется набор из N-значений функции (Xi, Yi), i=1… N. При этом сама функция нам неизвестна. Обладая этим набором мы хотели бы вычислять значение функции при любом значении X. Будем искать аналитическое выражение для искомой функции в виде многочлена степени N-1.

Подставив значение каждой точки (Xi, Yi) в эту формулу, мы получим систему из N-уравнений относительно коэффициентов многочлена. Можно доказать, что если все Xi различны между собой, данная система всегда имеет единственное решение. Всегда существует многочлен, проходящий через каждую заданную точку. Получившуюся формулу можно использовать для вычислений значений в промежуточных точках. Недостатком этого подхода является то, что нужно решать линейную систему и если точек много, это может потребовать значительных вычислительных ресурсов.

Французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813 г.г.) предложил следующую формулу для интерполяционного полинома:

Используя данную формулу, мы можем вычислять значение многочлена, проходящего через заданный набор точек, не зная самих коэффициентов многочлена!

Пример: Пусть даны следующий три точки (1, 1), (4, 2), (8, 5). Тогда, согласно формуле Лагранжа, значения многочлена, проходящего через эти точки, можно вычислять по формуле: