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Das antike Griechenland

In der sogenannten klassischen Periode, die ungefähr in die Zeit von 500 bis 200 v. Chr. eingegrenzt werden kann, entfaltete sich in Griechenland eine enorme kulturelle Entwicklung in Architektur, Philosophie, Physik, Mathematik, Politik, Dichtkunst und Sport.

Zwei Personen dieser Zeit faszinieren Ragin ganz besonders: Archimedes und Eratosthenes.

Archimedes

Archimedes (287 – 212 v. Chr.) gehört fraglos zu den größten Mathematikern aller Zeiten.

Über eine Entdeckung von Archimedes wird noch heute viel gesprochen, weil es den Charakter und Erfindungsgeist dieses Ausnahmewissenschaftlers beispielhaft zeigt.

Archimedes sollte eines Tages den Goldgehalt, einer den Göttern geweihten Krone prüfen, ohne diese zu beschädigen. König Hieron II. von Syrakus verdächtigte einen Goldschmied, ihn mit dieser Krone betrogen und kein reines Gold verwendet zu haben. Hieron übergab Archimedes diese wertvolle Krone zu treuen Händen.

Lange überlegte Archimedes, wie er den Goldgehalt überprüfen könnte, ohne diese Kostbarkeit zu beschädigen.

Als er, um zu baden, in einen randvoll mit Wasser gefüllten Behälter stieg, lief genau jene Wassermenge aus, die er mit seinem Körpervolumen verdrängte. Dies war die Lösung der vom König gestellten Aufgabe.

Glücklich über seine Entdeckung lief er mit dem Ausruf „Heureka!“ (altgriechisch: „Ich hab’s gefunden!“) nackt auf die Straße. Die Menschen kannten ihn gut und amüsierten sich wohl über den verrückten Kerl, dem stets neue Dinge einfielen.

Jetzt musste die Idee noch praktisch umgesetzt werden. Dazu tauchte Archimedes die Krone in ein randvoll mit Wasser gefülltes Gefäß und maß die Menge der überlaufenden Flüssigkeit im Vergleich zu einem Barren aus reinem Gold. Die Krone verdrängte mehr Wasser als der Goldbarren im Verhältnis zu den beiden abgewogenen Massen. Dadurch konnte Archimedes beweisen, dass die Krone ein kleineres spezifisches Gewicht hatte und daher nicht ganz aus Gold gefertigt war.

Schon damals setzte man die Dichte des Wassers mit einer Gewichtseinheit pro Volumeneinheit an. Die Dichte des Goldes entspricht mit den heutigen Einheiten 19,3 Gramm pro Kubikzentimeter.

Mit der Formel der Dichte ist es möglich, den Goldgehalt zu ermitteln.

Archimedes wog also die Goldkrone und maß das Volumen der verdrängten Wassermenge.

Angenommen, die Goldkrone wog nach den heute geltenden Maßeinheiten 200 Gramm und verdrängte 12 Milliliter Wasser, so hätte Archimedes deren Dichte wie folgt errechnet:

Mit der oben angegebenen Dichte von Gold ergäbe sich ein Goldgehalt von also 86,4 %.

Demnach hätte der Schmied kein reines Gold verwendet.

König Hieron bestrafte den betrügerischen Goldschmied hart, denn er wollte ein Exempel statuieren, um künftige Betrüger abzuschrecken.

Im antiken Griechenland konnte ein auf frischer Tat ertappter Dieb getötet werden. Ob Hieron den Goldschmied hinrichten ließ, ist jedoch nicht überliefert.

Das archimedische Prinzip

Die von Archimedes angewandte Methode der Dichtebestimmung wird noch heute als „archimedisches Prinzip“ in der Physik gelehrt. Dieses Prinzip gilt in allen Flüssigkeiten und auch in Gasen.

Schiffe verdrängen Wasser und erhalten dadurch Auftrieb. Wegen des großen Hohlraums eines Schiffes, ist dessen mittlere Dichte geringer als die Dichte des verdrängten Wassers. Daher schwimmt es an der Oberfläche.

Ballone und Luftschiffe werden mit einem Gas (meist Helium) befüllt, dessen Dichte geringer ist als die der atmosphärischen Luft.

In Heißluftballons wird die Luft in der Ballonhülle mit Hilfe von Gasbrennern erhitzt, wodurch die Luftdichte abnimmt, da die Luftteilchen durch die Wärmebewegung mehr Volumen beanspruchen und damit die Dichte kleiner wird.

Wird demnach ein größeres Volumen in den Nenner der Gleichung eingesetzt, so führt dies zu einem kleineren Quotienten: Die Dichte nimmt ab.

Ragin bewundert viele weitere interessante Erkenntnisse von Archimedes, die bis heute eine wichtige Rolle in den Naturwissenschaften und der Mathematik spielen.

Die Kreiszahl π

So war es bis ins Mittelalter nicht möglich, die Fläche oder den Umfang eines Kreises exakt zu berechnen. Bereits lange vor Archimedes war den Gelehrten allerdings bekannt, dass das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser eine Konstante sein müsste.

Doch erst Archimedes näherte sich dem Wert der Kreiszahl π ziemlich genau.

Dazu zeichnete er in und um einen Kreis Vielecke mit 6, 12, 34, 48 und 96 Seiten. Der Umfang der Vielecke, die im Kreis lagen, wurde immer größer, der Umfang der Vielecke, die um den Kreis gezeichnet waren, wurde immer kleiner. So konnte Archimedes den Wert von π eingrenzen.

Es ist bekannt, dass die Seitenlänge eines in einen Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks gleich der Länge des Radius des Umkreises ist.

Dies konnte sich schon Archimedes in seinem „Sandkasten“ herleiten:

Im Kreis befinden sich sechs Dreiecke mit jeweils einem Mittelpunktswinkel von 360° : 6 = 60°. Es ist erkennbar, das die Schenkel der Dreiecke mit dem Kreisradius identisch sind.

Da die Basiswinkel gleichschenkeliger Dreiecke gleich groß sind, müssen auch diese Winkel eine Größe von 60° haben, weil die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt.

Damit liegen sechs gleichseitige Dreiecke vor, weshalb die Seitenlängen des Sechsecks gleich der Länge des Kreisradius sein müssen. Was zu beweisen war.

Archimedes wusste, dass das Verhältnis zwischen Kreisumfang u und Kreisdurchmesser 2 r eine Konstante π sein soll. Daher berechnete er den Kreisumfang über dieses Verhältnis:

u(Kreis) : (2·r) = π ⇒ u(Kreis) = 2·r·π

Weil die Seiten des Sechsecks die Länge r aufweisen, hat das Sechseck einen Umfang von 6r:

u(Sechseck)= 6·r

Die Kreiszahl π lässt sich nun mit den beiden Umfängen abschätzen:

Mit der Abbildung des in den Kreis einbeschriebenen Sechsecks ist ersichtlich, dass der Umfang dieses Sechsecks kleiner als der des Kreises ist. π muss also größer als die Zahl 3 sein.

Archimedes verdoppelte nun die Anzahl der Ecken und wählte ein Zwölf-Eck, dessen Umfang dem Kreisumfang noch ähnlicher wurde. Diese Verdoppelung führte er bis zu einem 96-Eck durch und fand damit heraus, dass π zwischen den Werten 3,140845 und 3,142857 liegen sollte.

Verglichen mit dem heute bekannten Wert von π ≈ 3,14159265…, lieferte die Annäherung über Vielecke, bereits vor über 2200 Jahren, ein erstaunlich gutes Ergebnis.

Die archimedische Schraube

Bildquelle: dreamstime.com

Mit einer ebenfalls nach Archimedes benannten Schraube, kann Wasser befördert werden und beispielsweise Felder bewässert oder Sumpfgebiete entwässert werden.

Bis heute sind derartige Anlagen im Einsatz.

Der Kampf um Syrakus und Archimedes‘ Tod

Archimedes letzte Jahre waren der Verteidigung von Syrakus (Sizilien) gegen angreifende römische Armeen gewidmet. Drei Jahre lang belagerten Seestreitkräfte die Stadt. Doch immer wieder wurden die römischen Angriffe von Kriegsmaschinen zurückgeworfen, die Archimedes entworfen hatte.

Beispielsweise hatte er einen Greifarm entwickelt, mit dem ein römisches Schiff gepackt, hoch gehoben, fallen gelassen und damit schwer beschädigt werden konnte. Bei dieser Konstruktion nutzte Archimedes die von ihm entwickelten Hebelgesetze aus.

Quelle: anderegg-web.ch

„Gebt mir einen festen Punkt, und ich hebe die Welt aus den Angeln.“

Mit solchen stolzen Worten soll er die von ihm erarbeiteten Hebelgesetze gepriesen haben. Mit diesen Formeln hatte er eine entscheidende Grundlage für die Entwicklung der Mechanik geschaffen.

Archimedes konstruierte auch Metallreflektoren, welche die Segel der angreifenden römischen Schiffe mit Hilfe von gebündelten Sonnenstrahlen vom Land her in Brand setzen konnten.

Trotz der genialen Verteidigungsgeräte von Archimedes gelang es den Römern im Jahre 212 v. Chr. nach dreijähriger Belagerung, die Stadt Syrakus zu erobern.

Wie üblich war Archimedes auch in dieser kriegerischen Zeit derart in seine mathematischen Überlegungen vertieft, dass er gar nicht bemerkte, was um ihn herum geschah. Als ihn ein plündernder römischer Soldat aufforderte ihm seine Wertsachen auszuhändigen, herrschte ihn Archimedes mit den Worten an:

„Noli turbare circulos meos“ (störe meine Kreise nicht).

Darüber verärgert erschlug der Römer das 75-Jährige Genie.

Aristoteles

Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) gilt als einer der größten Philosophen, dessen Denken die Wissenschaft bis in die Neuzeit maßgeblich beeinflusste.

Sein Geburtsort Stagira gehörte zum Herrschaftsbereich der makedonischen Könige. Der Vater von Aristoteles war Leibarzt von König Amyntas II.

Im Jahre 342 v. Chr. wurde Aristoteles von König Philipp II., dem Sohn von Amyntas, zum Lehrer von Alexander, des Sohnes von Philipp berufen.

Der größte Feldherr des Altertums wurde also vom größten Denker dieser Zeit erzogen.

Als Alexander im Jahre 334 v. Chr. seine Feldzüge begann, benötigte er seinen Lehrer nicht mehr.

Aristoteles gründete daraufhin eine Schule in Athen, die er Lykeion nannte, weil er seinen Unterricht nahe des Tempels des Gottes Apollon Lykeios hielt.

Aus Lykeios entwickelte sich der moderne Name „Lyzeum“,

Die aristotelische Logik

Aristoteles war einer der Ersten, der sich systematisch mit der mathematischen Logik befasste.

Mit dieser Thematik wurde Ragin im Rahmen der „Philosophie der Mathematik“ vertraut. Weil das hier vorliegende Werk kein Lehrbuch ist, soll nur sehr kurz auf die Aussagenlogik von Aristoteles eingegangen werden. Aber Ragin hat diese Logik sein Leben lang begleitet und stets fasziniert.

Entsprechend der mathematischen Logik kann eine Behauptung nur „wahr“ oder „falsch“ sein, aber nicht beides zugleich.

Seien X und Y zwei Aussagen, so ist die sogenannte Konjunktion, die „und-Verknüpfung“ X ∧ Y, genau dann wahr (w), wenn beide Aussagen wahr sind; sonst ist diese Verknüpfung falsch (f).

Dazu kann eine „Wahrheitstabelle“ aufgestellt werden:

Beispiel:

Ein Banktresor benötigt genau zwei richtige Schlüssel, den vom Kunden K und den vom Angestellten A.

Zum Öffnen benötigt man Schlüssel K und Schlüssel A.

Ist nur ein Schlüssel falsch, so kann der Tresor nicht geöffnet werden.

Ein weiteres Beispiel zur Konjunktion:

Betrachten wir folgende Aussagen X und Y.

Bei einer „oder-Verknüpfung“ X ∨ Y, einer Disjunktion, liegt genau dann eine falsche Aussage vor, wenn sowohl X als auch Y falsch sind. Andernfalls ist die Verknüpfung wahr:

Beispiel:

Ein Kind, dessen Eltern aus unterschiedlichen Staaten stammen, kann eine oder zwei Staatsbürgerschaften annehmen.

Es ist genau dann staatenlos, also „falsch“, wenn es keine der beiden Staatsbürgerschaften annimmt.

Betrachten wir noch einmal die beiden Aussagen X und Y:

Aristoteles hat noch weitere logische Verknüpfungen eingeführt, die sich auch beliebig kombinieren lassen, deren Erläuterungen jedoch den Rahmen dieses Buchs sprengen würden.

Aristotelische Ideen zur Form der Erde

Zur Bestimmung des Erdumfangs legte Aristoteles einige Anhaltspunkte fest.

Dazu gab er drei Indizien für eine Kugelform der Erde an:

1. Schiffe tauchen am Horizont zuerst mit der Mastspitze auf.

2. In südlichen Ländern erscheinen südliche Sternbilder höher über dem Horizont.

3. Der Erdschatten ist bei einer Mondfinsternis immer rund.

Aristoteles‘ Werke gelten noch heute als grundlegende Literatur. Sie prägten die Philosophie sowie die Denkweise der modernen Zeit. Seine Naturlehre, also seine Schlüsse über die Verbindung von Mensch und Natur, gelten als überaus fortschrittlich für die damalige Zeit.

Eratosthenes und der Erdradius

Wie erwähnt, war auch Eratosthenes von Kyrene (276 – 194 v. Chr.) ein Vorbild für Ragin, da jener unter anderem die von Aristoteles vermutete Kugelform der Erde exakt beweisen konnte.

Eratosthenes war ein Freund von Aristoteles und ebenso vielseitig interessiert wie dieser. Von Ptolemäus III. wurde ihm die Leitung der Bibliothek von Alexandria übertragen. Dadurch hatte er direkten Zugang zur vorhandenen Literatur und damit auch über bereits geäußerte Theorien zur Form der Erde.

Für die Messung des Erdumfangs nahm Eratosthenes an, dass die ägyptischen Städte Alexandria und Syene (das heutige Assuan) auf demselben Meridian (Längengrad) liegen (Abb. Seite 61).

Der Abstand zwischen zwei von Eratosthenes festgelegten Messpunkten in den beiden Städten betrug nach seiner Kenntnis 5000 Stadien.

Die Länge eines Stadions schwankte jedoch im antiken Griechenland deutlich. Die Historiker geben heute eine ungefähre Länge von 160 Meter für ein Stadion an.

Eratosthenes stellte an beiden Orten ein Gnomon auf, eine innen mit einer Gradeinteilung ausgestattete metallene Halbkugel mit einem senkrechten Zeiger zur Ablesung des entstehenden Schattens.

Die Messung der Sonnenhöhe über dem Horizont wurde mit diesen Geräten am Tag der Sommersonnenwende mittags durchgeführt.

Bildquelle: LEIFIphysik

In Syene warf der Schattenzeiger keinen Schatten, weil die Sonne dort genau im Zenit stand.

In Alexandria bildete die Sonne zu diesem Zeitpunkt einen Winkel von 7,2°.

Daraus errechnete Eratosthenes den Erdumfang u über die Verhältnisgleichung . Nach Lösung dieser Gleichung erhält man u = 250.000 Stadien.

Auch in der modernen Literatur wird ein Stadion mit unterschiedlicher Länge angegeben. Um einen möglichst zutreffenden Erdumfang zu erhalten, soll hier die Länge eines Stadions mit den häufig genannten 160 Metern angenommen werden. Auf diese Weise errechnet sich ein Erdumfang von 40.000 km, was dem heute berechneten Wert der Äquatorlänge von ungefähr 40.075 km überraschend gut entspricht.

Lange Zeit gab es im antiken Olympia als einzige Sportart nur einen Wettlauf über die Länge des dortigen Stadions, das 192,27 Meter lang war.

Hätte Eratosthenes diese Stadionlänge gewählt, so ergäbe sich eine Länge von 48.067,5 km für den Erdumfang. Diese Zahl entspräche zwar dem genauen Wert nicht mehr so gut, wäre aber dennoch ein, für die damalige Zeit erstaunliches Ergebnis gewesen.

Damit ist nebenbei gezeigt, wie wichtig einheitliche Maße sind.

Erst 1791 wurde in Frankreich mit dem „Meter“ eine universelle Längeneinheit eingeführt, die dem zehnmillionsten Teil der Strecke vom Nordpol zum Äquator entsprach.

Trotz der wohl nur schwer widerlegbaren Berechnungen von Eratosthenes, mit denen er vor über 2200 Jahren die Kugelform der Erde bewies, gibt es tatsächlich noch immer Menschen, welche noch heute glauben, dass die Erde eine Scheibe sei: Die „Flat Earth Society“.

Wissenschaft ist allerdings keine Glaubensrichtung, sondern erklärt die Welt über exakte Berechnungen und experimentelle Nachweise.

Das Sieb des Eratosthenes

Ein weiteres großartiges Verfahren des genialen Denkers Eratosthenes ist das noch heute in den Schulen gelehrte „Primzahlensieb“, welches nach ihm benannt wurde.

Eine Primzahl besitzt definitionsgemäß genau zwei Teiler (sich selbst und die Zahl 1). Aufgrund dieser Definition ist die Zahl Eins keine Primzahl, da sie nur einen Teiler aufweist.

Eratosthenes legte eine Zahlentabelle an, bei der zuerst alle Vielfachen der Zahl Zwei gestrichen werden. Anschließend streicht man alle Vielfachen von Drei, dann die Vielfachen von Fünf, daraufhin die Vielfachen von Sieben und schließlich die Vielfachen aller bis dahin nicht gestrichenen Zahlen: 11, 13, 17 usw.

So bleiben die Primzahlen in den nicht durchgestrichenen Feldern übrig. Die Eins wurde ohnehin nicht berücksichtigt.

Eratosthenes als Philologie

Eratosthenes leitete ungefähr ein halbes Jahrhundert lang die Bibliothek von Alexandria. Mit ihrer hervorragenden Ausstattung bot ihm die Bibliothek ausgezeichnete Arbeitsbedingungen.

Als erster antiker Gelehrter bezeichnete sich Eratosthenes als „Philologe“. Darunter verstand er jedoch nicht nur Beschäftigung mit Sprach- und Literaturwissenschaft, sondern in einem allgemeineren Sinne eine vielseitige Gelehrsamkeit.

In der Antike fanden Eratosthenes‘ philologische Arbeiten große Beachtung. Sein philologisches Hauptwerk trug den Titel „Über die Alte Komödie“, worin er sprachliche Phänomene, Wörter und Ausdrücke untersuchte.

Den Schilderungen der Dichter billigte er allerdings keinen Wahrheitsgehalt zu, da ihr Ziel nur Unterhaltung und nicht Belehrung sei.

In weiteren Schriften befasste sich Eratosthenes mit Handwerkskunst, Haushaltsgeräten und Homers Ilias.

Euklid

Ragin hatte sich auch ausführlich mit Euklid beschäftigt, da dessen Lehrbücher jahrhundertelang aktuell waren.

Noch bis ins 19. Jahrhundert wurden die Lehrbücher des Euklid, in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammengefasst und systematisiert hatte, in den europäischen Schulen und Akademien genutzt.

In seinem Werk „Elemente“ (griechisch: stoicheia) schilderte er den Aufbau einer exakten Wissenschaft. Die meisten Aussagen bewies er aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen.

Die „Elemente“ wurden als eines der ersten mathematischen Bücher 1482 in Venedig veröffentlicht und waren neben der Bibel das am häufigsten gedruckte Werk.

Noch im 16. Jahrhundert mussten Kandidaten für den Grad des Magisters an der Pariser Universität einen Eid ablegen, mit dem sie bestätigten, dass sie Vorlesungen über die ersten sechs Bücher der „Elemente“ gehört hatten.

In Theodor Storms Novelle „Der Schimmelreiter“ lernt der spätere Deichgraf Hauke Haien als Knabe Mathematik aus einem Buch von Euklid, das er auf dem Dachboden gefunden hatte.

In Euklids Werken finden sich keinerlei Anwendungen der beschriebenen Erkenntnisse, da für Euklid jede Nutzung der Mathematik verpönt war. Mathematik sollte ausschließlich der Schulung des Intellekts dienen.

Als einer der Schüler Euklids nach dem Nutzen eines Lehrsatzes fragte, überreichte ihm Euklid Geld, da der Schüler doch sehr arm sein müsse, wenn dieser nach dem Nutzen von mathematischem Wissen frage.

Auch Euklid hatte in Alexandria gelehrt und geforscht.

Ansonsten ist über sein Leben nicht viel bekannt. Die Annahme, dass er um 300 v. Chr. gelebt hat, beruht auf einem Verzeichnis von Mathematikern bei Proklos (412 – 485 n. Chr.), einem spätantiken griechischen Philosophen.

Indizien lassen vermuten, dass Euklid etwas jünger als Archimedes war.

Erst im Laufe des 19. Jahrhundert erkannten die Mathematiker, dass Axiome lediglich vereinbarte Feststellungen und nicht absolute Wahrheiten sind.

Große Mathematiker jener Zeit, wie Lobatschewski, Riemann und einige andere, erarbeiteten die sogenannte „nicht-euklidische“ Geometrie, auf der die wichtigen naturwissenschaftlichen Erkenntnisse der jüngeren Zeit basieren.