Читать книгу Fundamentos teóricos de la música atonal - Hebert Vázquez - Страница 37

El intervalo ordenado simplificado en el espacio-a, al que podemos abreviar como “i.s.”, se indica por medio de un entero que representa un intervalo simple (menor a la octava), cuyo valor numérico se encuentra definido, por lo tanto, para 0, 1, 2, ..., 11 (con el objeto de mantener homogénea la notación, continuaremos escribiendo 10 como A y 11 como B). A éste entero se le agrega un subíndice que precisa el número de octavas a través de las cuales se extiende el intervalo.

Pero antes de abordar el intervalo ordenado simplificado será necesario definir la función “signo” (sgn).

Sea Z el conjunto de los números enteros y x cualquier entero (x ∈ Z).

La función sgn mapea a todo Z en {-1, 0, 1}, lo que denotamos como:

sgn:Z→ { -1,0,1 }

Así , por ejemplo, tenemos que sgn(-8) = -1, sgn(0) = 0 y sgn(4) = +1.

Ahora es posible definir el intervalo ordenado simplificado en función de los cuatro casos que se muestran a continuación.

Caso 1. Sea la secuencia ordenada de alturas ac, bd. Sean a ≥ b, c ≥ d.

Caso 2. La misma secuencia de alturas. Sean a ≤ b, c ≤ d.

Caso 3. La misma secuencia de alturas. Sean a > b, c < d (caso mixto).

Caso 4. La misma secuencia de alturas. Sean a < b c > d (caso mixto).

En resumen, los resultados son:

α ) Para los dos casos mixtos: i.s.<ac, bd> = S(-|b - a|) |d - c|8

β ) Para los dos casos mixtos: i.s.<ac, bd> = S(-|b - a|) mód.12|d - c| - 1 donde S = sgn(d - c)

y mód. 12 significa que lo que está entre paréntesis se calcula por medio de la aritmética mód. 12.

Los dos resultados anteriores se pueden condensar en la siguiente fórmula: i.s.<ac, bd> = S((-1)|b - a|) mód. 12|d - c| - (1)

donde (-1) indica que se multiplica por -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

-(1) indica que se resta -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

Digamos que nos interesa obtener el intervalo simplificado entre las alturas <56, A5>. Se puede apreciar que 5 < A y 6 > 5, por lo que estamos ante un caso mixto. Procedemos entonces a sustituir las variables de la fórmula correspondiente al caso mixto por las alturas 56 y A5: i.s.<56, A5> = S(-|A - 5|) mód. 12|5 - 6| - 1. Al realizar las operaciones indicadas obtenemos: S(-|5|) mód. 12|-1| - 1. Ahora bien, -5 (mód. 12) = -5 + 12 = 7 y, en lo que respecta a la operación señalada en el subíndice, tenemos que |-1| - 1 = 1 - 1 = 0, lo que nos da: S(7)0. Sólo resta saber si el intervalo es ascendente o descendente, para lo cual será necesario obtener el valor de S. La definición de caso mixto nos dice que S = sgn(d - c), lo que en nuestro caso nos da: S = sgn(5 - 6). Como 5 - 6 = -1, tenemos que S = sgn(-1). Vemos que el signo de -1 es menos (-), por lo que S será sustituido por dicho signo: S(7)0 = -70. Por lo tanto, i.s.<56, A5> = -70, es decir, que para ir de la altura 56 a la altura A5 se debe de descender siete semitonos (y ninguna octava), como se muestra en el ejemplo 18.