Читать книгу Arbeitsbuch zu Atkins, de Paula, Keeler Physikalische Chemie - James J. Keeler - Страница 12

L1.1.1a Mithilfe entsprechender Umrechnungsfaktoren können wir den Druck in unterschiedlichen Einheiten angeben. Es gilt: 1 atm = 101,325 kPa = 760 Torr; 1 bar entspricht exakt 10⁵ Pa.

1 (i) Ein Druck von 108 kPa lässt sich wie folgt in Torr umrechnen:

2 (ii) Ein Druck von 0,975 bar entspricht 0,975 × 105 Pa und lässt sich wie folgt in atm umrechnen:

L1.1.2a

1 (i) Nach der Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (1.4)) gilt pV = nRT. Auflösen nach dem Druck ergibt p = nRT/V. Die Stoffmenge n von Xenon finden wir, indem wir die im beschriebenen Experiment eingesetzte Masse durch die Molmasse dieses Gases teilen (M(Xe) = 131,29 g mol−1). Für den Druck p ergibt sichDie Probe hätte als ideales Gas folglich einen Druck von 24,4 atm anstelle von 20 atm. Die Antwort auf die Fragestellung ist daher: nein.

2 (ii) Die Van-der-Waals-Gleichung (Gl. (1.27a)) für den Druck des Gases lautetAus Tab. 1.6 im Anhang des Lehrbuchs entnehmen wir für Xenon die folgenden Van-der-Waals-Parameter: a = 4,137 dm6 atm mol−2 und b = 5,16 × 10−2 dm3 mol−1. Einsetzen dieser Konstanten ergibt folgende Terme in der Gleichung für den Druck p:Also ist .

L1.1.3a Da die Temperatur bei einer isothermen Kompression konstant gehalten wird, können wir das Boyle’sche Gesetz (Gl. (1.3a), pV = konst.) anwenden. Das Produkt p_EV_E = p_AV_A können wir nach dem Anfangs- bzw. dem Enddruck auflösen:

1 (i) Daraus folgt für den Anfangsdruck

2 (ii) Wegen 1 atm = 1,013 25 bar folgt weiter

L1.1.4a Die Zustandsgleichung idealer Gase, pV = nRT (Gl. (1.4)), lässt sich für konstante Stoffmenge n und konstantes Volumen V in die Form p/T = nR/V = konst. bringen. Der Druck steigt proportional mit der Temperatur an, p ∝ T. Daraus folgt p_E/T_E = p_A/T_A oder, durch Auflösen nach p_E,

Der Reifendruck ist p_A = 3 bar, die Temperaturen sind T_A = −5 °C bzw. 268 K und T_E = 35 °C bzw. 308 K. Damit ergibt sich durch Einsetzen

Komplikationen ergeben sich aus den Faktoren, die die Konstanz von V oder n aufheben, beispielsweise eine Änderung des Reifenvolumens oder der Elastizität des Gummis oder ein Druckverlust aufgrund eines Lecks oder durch Diffusion, der den Reifendruck verringert.

L1.1.5a Wir verwenden die Zustandsgleichung idealer Gase, (Gl. (1.4)), in der Form p = nRT/V. Gegeben sind T und V, die Stoffmenge n muss berechnet werden:

Durch Einsetzen erhalten wir für den Druck

Beachten Sie, dass bei dieser Berechnung diejenige Variante der Gaskonstante R verwendet wurde, deren Einheiten den Angaben der übrigen Größen entsprechen. Alternativ könnten wir beispielsweise auch R = 8,3154 J K⁻¹ mol⁻¹ verwenden und die übrigen Einheiten entsprechend umrechnen, wodurch wir den Druck z. B. in der Einheit Pascal (Pa) erhalten:

Dabei haben wir 1 dm³ = 10⁻³ m³ sowie 1 J = 1 kg m² s⁻² und 1 Pa = 1 kg m⁻¹ s⁻² verwendet.

L1.1.6a Wir betrachten den Schwefeldampf näherungsweise als ideales Gas und verwenden daher die Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (1.4), pV = nRT). Unsere Aufgabe besteht zunächst darin, mithilfe dieser Gleichung einen Ausdruck für den Zusammenhang zwischen der Dichte ρ und der Molmasse M zu finden.

Zunächst führen wir über die Stoffmenge n = m/M die Molmasse M in die Zustandsgleichung des idealen Gases ein, pV = (m/M)RT. Division durch das Volumen V auf beiden Seiten dieser Gleichung liefert p = (m/V)(RT/M). Die Größe (m/V) entspricht der Dichte ρ, also gilt p = ρRT/M, was sich umstellen lässt zu M = ρRT/p; dies ist die gesuchte Beziehung zwischen der Molmasse und der Dichte.

Einsetzen der Werte ergibt

Dabei haben wir 1 J = 1 kg m² s⁻² und 1 Pa = 1 kg m⁻¹ s⁻² verwendet. Die molare Masse von atomarem Schwefel ist 32,06 g mol⁻¹; daher finden wir für die Anzahl N der Schwefelatome, aus denen der Schwefeldampf zusammengesetzt ist,

Als Ergebnis erwarten wir allerdings eine ganze, natürliche Zahl; die chemische Formel des Schwefeldampfs ist also S8.

L1.1.7a Wir betrachten den Wasserdampf näherungsweise als ideales Gas und verwenden daher die Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (1.4), pV = nRT). Unsere Aufgabe besteht zunächst darin, mithilfe dieser Gleichung einen Ausdruck für den Zusammenhang zwischen den gegebenen Werten und der Masse m zu finden.

Der Partialdruck des Wasserdampfs in dem Raum beträgt 60 % des Gleichgewichtsdampfdrucks, den wir aus einem Nachschlagewerk wie dem CRC Handbook of Chemistry and Physics oder ähnlichen Quellen entnehmen können,

Durch Einsetzen der Gleichung für die Stoffmenge n = m/M in die Zustandsgleichung des idealen Gases erhalten wir pV = mRT/M und nach Umstellen m = MpV/RT. Damit ist

L1.1.8a

1 (i) Der Einfachheit halber nehmen wir an, das Volumen des Behälters betrage 1 m3. Dann ist die gesamte Masse(G1.1)Wenn wir Luft als ideales Gas ansehen, ist pGV = nGRT, wenn nG die gesamte Stoffmenge des Gases ist,(G1.2)Die Gln. (G1.1) und (G1.2) für die Stoffmengen der Gase müssen gleichzeitig erfüllt sein. Wenn wir nO2 aus Gl. (G1.1) in Gl. (G1.2) einsetzen, erhalten wirDie Stoffmengenanteile (Molenbrüche) sindDie Partialdrücke sind pN2 = (0,762) × (0,987 bar) = 0,752 bar und pO2 = (0,238) × (0,987 bar) = 0,235 bar. Zur Kontrolle berechnen wir deren Summe: (0,752 + 0,235) bar = 0,987 bar.

2 (ii) Diese Teilaufgabe ist am einfachsten zu lösen, wenn man sich klar macht, dass nG, pG und mG als experimentell bestimmte Größen dieselben Werte haben wie in Teilaufgabe (i). Allerdings sind die zu lösenden Gleichungen für die Stoffmengen, die Molenbrüche und die Partialdrücke etwas verändert:(G1.1’)(G1.2’)Wegen xAr = 0,0100 ist nAr = 0,396 mol und daherundDurch Lösen dieser Gleichung erhalten wirDie Partialdrücke sind

L1.1.9a Wir nehmen an, dass die Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (1.4)) gilt, pV = nRT. Die Aufgabe besteht nun darin, die gegebene Dichte mit der Molmasse der Verbindung in Beziehung zu setzen.

Zunächst drücken wir die Stoffmenge n über die Masse m geteilt durch die Molmasse M aus, pV = (m/M)RT; nach Division durch V auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir p = (m/V)(RT /M). Die Größe (m/V) entspricht der Dichte ρ, also gilt p = ρRT/M, was sich umstellen lässt zu M = ρRT/p; dies ist die gesuchte Beziehung zwischen der Molmasse M und der Dichte ρ.

Einsetzen der Werte ergibt

Dabei haben wir 1 J = 1 kg m² s⁻² und 1 Pa = 1 kg m⁻¹ s⁻² verwendet.

L1.1.10a Das Gesetz von Charles, Gl. (1.3b), besagt: Bei konstanter Stoffmenge n und konstantem Druck p gilt V ∝ T, und bei konstanter Stoffmenge n und konstantem Volumen V gilt p ∝ T. Für eine bestimmte vorgegebene Stoffmenge ist die Dichte ρ proportional zu 1/V, und es folgt 1/ρ ∝ T. Am absoluten Nullpunkt der Temperatur geht V → 0, daher geht ρ → ∞ und somit 1/ρ → 0.

Die Aufgabe ist am einfachsten zu lösen, wenn man eine Probe mit einer geeigneten Masse wählt, z. B. 1,000 g, und dann das Volumen bei jeder Temperatur berechnet. Anschließend trägt man das Volumen gegen die Temperatur (in °C) auf und extrapoliert auf V = 0. Es ergibt sich folgende Tabelle:

θ/°C	ρ/(g dm−3)	(1/ρ)/(g−1dm3)
−85	1,877	0,5328
0	1,294	0,7728
100	0,946	1,0571

In Abb. 1.1 ist die grafische Auftragung von 1/ρ als Funktion von θ gezeigt. Die Extrapolation ergibt für den absoluten Nullpunkt einen Wert nahe −273 °C. Die Gleichung der Ausgleichsgeraden ist

Den Achsenabschnitt bei 1/ρ = 0 finden wir durch Lösen der Gleichung

Daraus folgt für den absoluten Nullpunkt θ = −273 °C.

Alternativ könnte man eine Gleichung für V als lineare Funktion von θ verwenden (die in Abb. 1.1 eingezeichnete Ausgleichsgerade, die nichts anderes ist als das Gesetz von Charles),

Abb. 1.1

Am absoluten Nullpunkt ist V = 0 und

L1.1.11a Die gesamte Stoffmenge ist n = n(H₂) + n(N₂) = 2,0 mol + 1,0 mol = 3,0 mol; nach Gl. (1.7) gilt für den Molenbruch x_J = n_J/n.

1 (i) Die Molenbrüche sind

2 (ii) Wir nehmen an, dass die Zustandsgleichung idealer Gase (Gl. 1.4) für jede der Einzelkomponenten sowie für die Mischung als Ganzes gilt. Dann ist pJ = nJRT/V und somit

3 (iii) Der Gesamtdruck istoder 3,00 atm.

Beachten Sie, dass 1 mol bei Standardbedingungen (STP) ein Volumen von 22,4 dm³ einnimmt, wie in der obigen Gleichung angegeben. Da insgesamt 3,0 mol vorliegen, muss der Gesamtdruck daher 3,0 atm sein.

Zusatzfrage: Gilt das Dalton’sche Gesetz auch für eine Mischung von Gasen, die der Van-der-Waals-Gleichung gehorchen?