Читать книгу Arbeitsbuch zu Atkins, de Paula, Keeler Physikalische Chemie - James J. Keeler - Страница 15

L1.2.1a

1 (i) Die mittlere Geschwindigkeit ist in Gl. (1.17) definiert als , also ist . Das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeiten hängt daher vom Verhältnis der Molmassen ab:

2 (ii) Die mittlere kinetische Energie der Translation ist , wobei 〈v2〉 der Mittelwert des Quadrats der Geschwindigkeit ist; dieser ist in Gl. (1.15) mit 〈v2〉 = 3RT/M angegeben. Die mittlere kinetische Translationsenergie ergibt sich daher gemäßDie Molmasse M hängt mit der Masse m eines einzelnen Moleküls über M = mNA zusammen, wobei NA die Avogadro-Konstante ist. Für die Gaskonstante R können wir auch R = kNA schreiben, und somit giltWir erkennen, dass die mittlere kinetische Translationsenergie von der Identität des Gases unabhängig ist und ausschließlich von der Temperatur abhängt, d. h. sie ist für H2 und Hg identisch.Dieses Ergebnis steht im Zusammenhang mit dem Gleichverteilungssatz der Energie: ein Molekül besitzt drei Freiheitsgrade der Translation (x, y, und z), und jeder dieser Freiheitsgrade trägt zur mittleren Energie bei.

L1.2.2a Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit c ist durch Gl. (1.16) gegeben, c = (3RT/M)^1/2. Für H₂-Moleküle bei 20 °C erhalten wir

wobei wir 1 J = 1 kg m² s⁻² verwendet und die Molmasse in kg mol⁻¹ angegeben haben.

Für O₂-Moleküle erhalten wir bei der gleichen Temperatur

L1.2.3a Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung, f(v), ist durch Gl. (1.12) gegeben. Der Anteil der Moleküle mit Geschwindigkeiten zwischen v₁ und v₂ ist durch das Integral

gegeben. Wenn der betrachtete Bereich v₂ − v₁ = δv klein ist, wird die Lösung des Integrals in guter Näherung durch

wiedergegeben, wobei v_mittel der mittlere Wert des angegebenen Geschwindigkeitsbereichs ist: .

Im vorliegenden Fall ist v_mittel = 205 m s⁻¹ und δv = 10 ms⁻¹. Der Anteil der N₂-Moleküle, die Geschwindigkeiten innerhalb des angegebenen Bereichs besitzen, ist daher

wobei wir 1 J = 1 kg m² s⁻² verwendet haben. Dies bedeutet, dass sich 0,687 % der Moleküle mit Geschwindigkeiten innerhalb des angegebenen Bereichs bewegen.

L1.2.4a Die mittlere Relativgeschwindigkeit zweier verschiedener Moleküle in einem (idealen) Gas ist durch Gl. (1.19b) gegeben: , wobei μ = m_Am_B/(m_A + m_B) die reduzierte (effektive) Masse ist. Durch Multiplikation des Zählers und des Nenners mit der Avogadro-Konstante N_A und Substitution von N_Ak = R erhalten wir

wobei N_Aμ die molare reduzierte (effektive) Masse ist. Für die relative Bewegung von N₂- und H₂-Molekülen finden wir

und somit für die mittlere Relativgeschwindigkeit

Der Wert für die reduzierte (effektive) Masse μ wird von dem leichteren Molekül dominiert; im vorliegenden Fall ist dies H₂.

L1.2.5a Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist durch Gl. (1.18), c* = (2RT/M)^1/2, die mittlere Geschwindigkeit ist durch Gl. (1.17),, und die mittlere Relativgeschwindigkeit zweier Moleküle der gleichen Masse ist durch Gl. (1.19a), , gegeben. Die molare Masse von Kohlendioxid ist M(CO₂) = 12,01 + 2 × 16,00 = 44,01 g mol⁻¹.

1 (i) Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit von CO2-Molekülen bei 20 °C ist

2 (ii) Die mittlere Geschwindigkeit von CO2-Molekülen bei 20 °C ist

3 (iii) Die mittlere Relativgeschwindigkeit von CO2-Molekülen bei 20 °C ist

L1.2.6a Die Stoßzahl z ist in Gl. (1.20b) mit definiert, wobei die mittlere Relativgeschwindigkeit zweier Moleküle der gleichen Masse durch Gl. (1.19a), , und die mittlere Geschwindigkeit wiederum durch Gl. (1.17), , gegeben ist. Aus Tab. 1.2 im Anhang des Lehrbuchs entnehmen wir für H₂-Moleküle einen Stoßquerschnitt von σ = 0,27 nm². Nun können wir die Stoßzahl berechnen:

wobei wir 1 J = 1 kg m² s⁻² und 1 Pa = 1 kg m⁻¹ s⁻² verwendet haben. Beachten Sie die Umrechnung des Stoßquerschnitts σ von nm² in die Einheit m²:1 nm² = (1 × 10⁻⁹)² m² = 1 × 10⁻¹⁸ m².

L1.2.7a Die Stoßzahl z ist in Gl. (1.20b) mit definiert, wobei die mittlere Relativge-schwindigkeit zweier Moleküle der gleichen Masse durch Gl. (1.19a), , und die mittlere Ge-schwindigkeit wiederum durch Gl. (1.17), , gegeben ist. Die mittlere freie Weglänge ist durch Gl. (1.22) gegeben, λ = KT/σp.

1 (i) Für die mittlere Geschwindigkeit der N2-Moleküle finden wir

2 (ii) Den Stoßquerschnitt σ berechnen wir aus dem gegebenen Stoßdurchmesser d gemäß σ = πd2 = π × (395 × 10−9 m)2 = 4,90… × 10−19 m2. Mit diesem Wert ergibt sich für die mittlere freie WeglängeDabei haben wir 1 J = 1 kg m2 s−2 und 1 Pa = 1 kg m−1 s−2 verwendet.

3 (iii) Für die Stoßzahl z erhalten wirAlternativ könnten wir zur Berechnung der Stoßzahl auch Gl. (1.21), , verwenden, umgestellt nach :

L1.2.8a Für das Volumen V und den Radius r eines kugelförmigen Behälters gilt

Wenn wir das Volumen über den Durchmesser d = 2r ausdrücken, ergibt sich , und nach Umstellen können wir damit den Durchmesser des Kolbens berechnen:

Die mittlere freie Weglänge ist durch Gl. (1.22) gegeben, λ = kT/σp. Für den Druck p, bei welchem der Durchmesser d mit der mittleren freien Weglänge λ vergleichbar wird, gilt

Beachten Sie die Umrechnung der Einheit des Durchmessers von der Einheit Zentimeter (cm) in Meter (m).

L1.2.9a Die mittlere freie Weglänge ist durch Gl. (1.22) gegeben, λ = kT/σp. Mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Werten erhalten wir