Читать книгу Arbeitsbuch zu Atkins, de Paula, Keeler Physikalische Chemie - James J. Keeler - Страница 20

A1.1 Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten in drei Dimensionen ist durch Gl. (1.12) gegeben:

wobei M die Molmasse ist. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit kann gefunden werden, indem wir die Ableitung von f(v) nach v bilden und gleich null setzen; zur Berechnung dieser Ableitung müssen wir die Kettenregel beachten:

Die Konstanten und die Faktoren von v und können wir vernachlässigen (denn diese entsprechen keinen Maxima), und es verbleibt

Wenn wir uns die Form der Verteilungskurve ansehen, stellen wir fest, dass sich an dieser Stelle ein Maximum befindet.

Die mittlere kinetische Energie lässt sich aus dem Mittelwert des Quadrats der Geschwindigkeit berechnen, Die Aufgabe besteht nun darin, diesen Mittelwert mithilfe der Maxwell- Boltzmann-Verteilung zu berechnen; das hierfür benötigte Integral ist

Dieses Integral hat die gleiche Form wie das Standardintegral G8 aus dem Anhang des Lehrbuchs:

mit m = 2, (2m − 1)!! = 3 × 1 = 3, 2^m+1 =8, am = a² und a = M/2RT. Der Mittelwert des Quadrats der Geschwindigkeit ist

Für die Umformung im vorletzten Schritt dieser Gleichung ist eine Reihe sorgfältig ausgeführter algebraischer Berechnungen bzw. Umstellungen nötig; im letzten Schritt haben wir R = N_Ak und M = mN_A verwendet, wobei m die Masse des Moleküls ist.

Mit diesem Ergebnis können wir

schreiben, was im Einklang mit dem Gleichverteilungssatz steht.

A1.3 In Abschn. 1.3.2a des Lehrbuchs wird erklärt, dass b = 4V_Molekül N_A gilt, wobei V_Molekül das durch ein einzelnes Molekül eingenommene Volumen ist. Der Stoßquerschnitt σ ist in Abhängigkeit eines Stoßdurchmessers d definiert als σ = πd², und für den Durchmesser wird wiederum der doppelte Radius der stoßenden Kugeln angenommen: d = 2r. Daraus folgt, mit r = (σ/4π)^1/2