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Es mag an dieser Stelle nützlich sein, einen Vergleich der Logikauffassungen von Frege und Peirce einzuschieben.

Bolzano, Peirce und Frege, sie alle verstehen die Logik als eine Wissenschaft, die Beziehungen zwischen Bedeutungen, Gedanken oder Wissensformen studiert und die weder als ein Kanon von formalen Denkgesetzen noch als eine bloße Technik formalen Schließens oder Rechnens aufgefasst werden kann.

Frege schreibt beispielsweise in seiner Besprechung von Schröders »Vorlesungen über die Algebra der Logik«, dass dessen Logik »ein Kalkül der reinen Folgerungen, nicht aber ihre Logik (sei). Er ist die so wenig, als die arithmetica universalis, welche das gesamte Zahlengebiet umfasst, eine Logik desselben darstellt. Über die deduzierenden Geistesprozesse erfahren wir in einem Falle so wenig als im anderen« (Götting. Gelehrte Anzeigen, 1891, S. 247).

Und weiter sagt er, die Praxis des Folgerns kann aus den verschiedenen formalen Methoden »noch so großen Nutzen […] ziehen; die logische Theorie derselben bleibt stehen, wo sie vorher stand, sie wird gar nicht tangiert. […] Man kann ein vortrefflicher logischer Techniker sein und ein mäßiger Philosoph der Logik, und wieder kann man ein vortrefflicher Mathematiker sein und ein sehr mäßiger Philosoph der Mathematik« (a. a. O., S. 248).

Ganz im selben Sinne definiert Peirce die Mathematik »as the science that draws necessary conclusions and logic as the science of drawing necessary conclusions« (Peirce, Collected Papers 4.239). Und an anderer Stelle sagt er, wiederum ganz im Sinne von Frege: »It is a mistake to suppose that everybody who reasons skillfully makes an application of logic. Logic is the science which examines signs, ascertains what is essential to being signs and describes their fundamentally different varieties, inquires into the general conditions of their truth and states these with formal accuracy, and investigates the law of the development of thought, accurately states it and enumerates its fundamentally different modes of working« (Ch. Peirce, Philosophy of Mathematics – Selected Writings, Indiana UP 2010, p. 7).

Der Gegenstand der Logik ist also das notwendige oder diagrammatische Denken, so wie es in der Mathematik praktiziert wird und wie wir versucht haben, es beispielhaft zu illustrieren. Ein wesentliches Element darin besteht im Bilden von fruchtbaren Hypothesen. Peirce definiert nämlich die Mathematik auch folgendermaßen: »Mathematics is the study of what is true of hypothetical states of things. That is its essence and definition. Everything in it, therefore, beyond the first precepts for the construction of the hypotheses, has to be of the nature of apodictic inference. … Conversely too, every apodictic inference is, strictly speaking, mathematics« (Collected Papers 4.233; vgl. auch: Peirce, Pragmatism as a Principle and Method of Right Thinking, N.Y. 1997, p. 130).

In der analytischen Philosophie wird in der Regel gesagt, dass die Axiome und Hypothesen, die dem mathematischen Schließen als Ausgangspunkt dienen, willkürlich gewählte und rein logische Postulate seien. In der Mathematik werden jedoch nicht irgendwelche völlig willkürlich aufgestellten Axiomensysteme untersucht, gerade deshalb nicht, weil die Mathematik keine bloß analytische Sprache darstellt. »Von einer solchen Willkür ist […] tatsächlich keine Rede; vielmehr zeigt sich, dass die Begriffsbildungen in der Mathematik beständig durch Anschauung und Erfahrung geleitet werden« (David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen, Basel 1992, S. 5). Und weiter: »Dem Denken steht ein unermesslicher Vorrat an formalen Beziehungen zur Verfügung, und es kommt darauf an, solche Systeme von formalen Beziehungen zu finden, die sich den in der Wirklichkeit vorgefundenen Beziehungen anpassen lassen« (a. a. O., S. 17). Darauf beruht, nach Hilbert, der Erfolg der Axiomatik und nicht im formalen Deduzieren. Und hier sieht er die Analogie von Physik und Mathematik. Andererseits sind die Axiome bloße Hypothesen, also inkomplett, und man kann nicht sagen, ob sie fruchtbare Anwendungen finden werden.

Den Prozess, wie die hypothetisch vorgetragenen Postulate zustande kommen, die dem mathematischen Schließen zugrunde liegen, nennt Peirce »Abduktion«. Abduktion, Verifikation und Deduktion sind, nach Peirce, die drei grundlegenden Schlussweisen, wobei die Deduktion der Vermittlung von Hypothese und Verifikation dient. Die Deduktion gilt nach der in der analytischen Mathematik üblichen Auffassung als Kern des Logischen. Peirce stellt nun inspiriert durch Kant die Behauptung auf, dass die Deduktion »Drittheit« im Sinne der Peirce’schen Grundkategorien ist, d. h. Vermittlung repräsentiert. »Die dritte Kategorie ist die Idee dessen, das so ist, wie es ist, indem es […] ein Medium zwischen einem Zweiten und seinem Ersten ist« (Peirce, Vorlesungen über Pragmatismus, Hamburg 1991, S. 43; Collected Papers 5.66). Im Allgemeinen kann dieses Erste und Zweite alles Mögliche sein, die Kategorien sollen sich ja universell anwenden lassen!

Dass die Deduktion Drittheit repräsentiert, impliziert insbesondere, dass sich darin abduktive Verallgemeinerung und Explizierung einerseits und induktive Verifizierung andererseits in einer untrennbaren Weise miteinander vermitteln, so dass die Deduktion kein logisch-analytischer Prozess sein kann. Wahrnehmung (Intuition) und Denken sind zwar nicht zu verwechseln oder zu identifizieren, sie sind jedoch auch nicht absolut voneinander zu trennen. Der abduktive Schluss kann, der Kategorie des Ersten zugeordnet, dagegen nicht weiter zerlegt werden. Er kommt zu uns als die intuitive Sicht der Essenz einer Sache als Sache oder Ding. Es ist wie beim Sehen: Wenn wir etwas sehen, dann sehen wir es eben. Peirce schreibt dazu: »The abductive suggestion comes to us like a flash. It is an act of insight, although of extremely fallible insight. It is true that the different elements of the hypothesis were in our minds before; but it is the idea of putting together what we had never before dreamed of putting together, which flashes the new suggestion before our contemplation. On its side, the perceptive judgment is the result of a process, although of a process not […] controllable and therefore not fully conscious. If we were to subject this subconscious process to logical analysis, […] this analysis would be precisely analogous to that which the sophism of Achilles and the Tortoise applies to the chase of the Tortoise by Achilles« (Collected Papers 5.181)

Der Kern der pragmatischen Methode und die Grundlage allen synthetischen Schließens und jeder Verallgemeinerung aus Wahrnehmungsurteilen ist die Abduktion. Und Peirce selbst hat in seinen »Vorlesungen über Pragmatismus« (1903) das Problem des Pragmatismus als nichts anderes »als das Problem der Logik der Abduktion« beschrieben (Collected Papers 5.196), und er hat in einem anderen späten Manuskript weiter die folgende Anmerkung zum Wesen des Pragmatismus gemacht: »I do not think it is possible fully to comprehend the problem of the merits of pragmatism without recognizing these three truths: 1., that there are no conceptions which are not given to us in perceptual judgments, so that we may say that all our ideas are perceptual ideas. This sounds like sensationalism, but in order to maintain this position it is necessary to recognize, 2., that perceptual judgments contain elements of generality; so that Thirdness is directly perceived; and finally I think it of great importance to recognize 3., that the Abductive faculty, whereby we divine the secrets of nature is, as we may say, a shading off, a gradation of that which in its highest perfection we call perception« (Peirce MS 316).

Die Wahrnehmung des Allgemeinen ist nur durch Variation oder Veränderung möglich, d. h. durch Aktivität, in welcher eine Invarianz oder Kontinuität sich zeigt (Collected Papers 7.469). Dies macht den essentiellen Gehalt des Kontinuitätsprinzips aus, und ihm liegt eine Komplementarität von Raum verstanden als Kontinuum (nicht als Punktmenge) einerseits und Strukturbegriff andererseits zugrunde.

Ich möchte, sagt Peirce weiter, meine Theorie Synechismus nennen, weil sie auf dem Studium der Kontinuität beruht (CCL, 261, Collected Papers 6.103). Der untrennbare Zusammenhang von Ding und Zeichen, des Einzelnen oder Besonderen und des Allgemeinen begründet für Peirce die Bedeutung dieses Prinzips und des Kontinuums, denn es gibt für ihn keine absoluten Grundlagen der Erkenntnis. Weder gibt es eine Struktur aller Strukturen noch ein absolutes Faktum (vgl. Kapitel I.2.). Der Synechismus scheint zunächst eine Art Monismus zu sein, d. h. eine Philosophie, der zufolge die Relationen den Relata vorgeordnet scheinen oder intrinsisch sind, d. h. aus der Natur der Relata entspringen.

Peirce’ Realitätsbegriff setzt nun eine evolutionäre Perspektive an den zentralen Platz. Wir betrachten, schreibt Peirce, das Universum als Resultat der Evolution, und wenn wir das überhaupt tun, »we must think that, not merely the existing universe, that locus in the cosmos to which our reactions are limited, but the whole Platonic world which in itself is equally real, is evolutionary in its origin, too« (CCL, 260).

Und bei einer derartigen dynamischen Sicht tritt eine Diskontinuität auf oder das, was man Zufall nennt. Das zweite Element von Peirce evolutionärem Realismus nennt er daher Tychismus oder das Wirken des Zufalls. Dieses Element zerbricht die Kontinuität. Und die Evolution muss daher, wenn sie real ist, nicht nur die Entwicklung der Phänomene, sondern auch die der Gesetze und des Allgemeinen umfassen. Wäre das nicht so, dann könnten wir zwar die Einzelereignisse erklären – mit Hilfe der Gesetze nämlich –, aber wir könnten den Vorgang der Verallgemeinerung nicht erklären, wir liefen dabei in einen infiniten Regress. Während doch andererseits »zu den Dingen, die Erklärung erheischen, auch die Gesetze der Physik gehören; und zwar nicht nur dieses oder jenes Gesetz, sondern jedes einzelne Gesetz … Und dann – wie ist die allgemeine Tatsache, dass es Gesetze gibt, zu erklären« (Writings 4, 547; Peirce 1988, 117)? Und hier zeigt sich, so Peirce, das Zusammenwirken von Zufall und Kontinuität (vgl. Kapitel III. und IV.16)

Was hier gesagt wurde, betrifft nicht nur die Gesetze der Physik, sondern gleichermaßen die Gesetze der Logik, die wiederum die Bedingungen dafür sind, dass etwas als Zeichen fungieren kann, d. h. Bedeutung besitzt. Logik ist, da alles Schließen oder Denken in Zeichen sich vollzieht, »the science of the general necessary laws of Signs« (Peirce, Collected Papers 2.93) Hier gibt es einen bestimmten Unterschied zu Frege. Während Frege eine Beschreibungstheorie der Referenz vertritt und für ihn kein Prädikat »existiert«, sondern ein Prädikat von Begriffen ist, welches eben besagt, dass ein Begriff eine nicht leere Extension besitzt, gilt dies für Peirce keineswegs.

Peirce glaubt einerseits, dass Sprache, Logik oder Mathematik nicht ihre eigene Anwendbarkeit sichern können, und er lehnt eine Beschreibungstheorie der Referenz ab. Andererseits ist die Logik keine hypothetisch-konditionale Wissenschaft wie die Mathematik, und sie muss daher Zeichen enthalten, die so etwas wie Existenzbehauptungen darstellen. Peirce klassifiziert daher alle Zeichen entsprechend der Art und Weise, wie dieselben auf Objekte referieren, und erhält, wie bereits erwähnt, drei Grundklassen: Ikons, Indizes und Symbole. Man könnte annehmen, schreibt Peirce, »that there would be no use for indices in pure mathematics, dealing, as it does, with ideal creations, without regard to whether they are anywhere realized or not. But the imaginary constructions of the mathematician, and even dreams, are so far approximate to reality as to have a certain degree of fixity, in consequence of which they can be recognized and identified as individuals. In short, there is a degenerate form of observation which is directed to the creations of our own minds – using the word observation in its full sense as implying some degree of fixity and quasi-reality in the object to which it endeavors to conform. Accordingly, we find that indices are absolutely indispensable in mathematics« (Peirce, Collected Papers 2.305).

Frege dagegen betont: »Ich habe die Existenz Eigenschaft eines Begriffes genannt. Wie ich dies meine, wird an einem Beispiele am besten klar werden. In dem Satze ›es gibt mindestens eine Quadratwurzel aus 4‹ wird nicht etwa von der bestimmten Zahl 2 etwas ausgesagt, noch von –2, sondern von einem Begriffe, nämlich Quadratwurzel aus 4, dass dieser nicht leer sei« (G. Frege, »Über Begriff und Gegenstand«, Vierteljahresschrift für wissenschaftliche Philosophie 16, 1892, S. 192–205, S. 200). Diese Auffassung impliziert, dass wir nicht von einem existierenden Ding sprechen können, ohne von Eigenschaften desselben zu sprechen. Man redet über Gegenstände nur in bestimmter Hinsicht. Frege interessiert sich nicht für Ursprung und Genesis unserer Begriffe und Urteile. Und bei Frege, wie bei Bolzano, wird die Gegenständlichkeit des Gedankens durch den Wahrheitsbegriff ersetzt. Dabei versteht Frege unter »Gedanke« den Sinn eines Satzes und als Gegenstand seinen Wahrheitswert.

A und B unterscheiden sich in der Gleichung A = B durch ihren Sinn und der »Sinn beruht auf dem Begriff der Wahrheit« (M. Dummett, Ursprünge der analytischen Philosophie, Frankfurt 1992, S. 21). Im Allgemeinen ändert sich die Wahrheit eines Satzes der Umgangssprache durch die Ersetzung ko-referentieller Terme füreinander. Wenn der Geburtstag meiner Großmutter zufällig mit Hitlers Geburtstag zusammenfällt, wird er Satz: »Wir alle haben den Geburtstag meiner Großmutter freudig begangen und gefeiert« im Allgemeinen falsch werden, wenn ich ihn durch den anderen Satz: »Wir alle haben Hitlers Geburtstag freudig begangen und gefeiert« ersetze. Derselbe Tag wurde in unterschiedlichen Beschreibungen benutzt, und das ändert sowohl seinen Sinn wie seinen Wahrheitswert. Sinn und Wahrheit hängen zusammen, denn um festzustellen, ob ein Satz wahr ist, muss man sich eben anschauen, was er sagt (M. Dummett 1992, S. 24 ff.).

Wahrheit, sagt Frege, ist der spezifische Gegenstand der Logik. Aber er sagt konsequenterweise auch, dass Wahrheit undefinierbar und unerforschlich sei. »Wahr lässt sich nicht definieren; man kann nicht sagen: wahr ist eine Vorstellung, wenn sie mit der Wirklichkeit übereinstimmt«, denn Dinge und Zeichen sind inkommensurabel. »Wahr ist ursprünglich und einfach« (G. Frege, Schriften zur Logik, Hamburg 2001, S. 35). Einem Satz »P« das Prädikat »ist wahr«: »P ist wahr« anzufügen, fügt dem Sinn des Satzes, d. h. dem Gedanken, nichts hinzu, ist aber zugleich sein Gegenstand, wie Frege sagt.

Wahrsein markiert somit eine Äquivalenzrelation zwischen Bedeutungen oder Gedanken und definiert sie somit als Gegenstände der Semantik bzw. Logik. Alle wahren Sätze haben denselben Gegenstand und alle falschen auch. Frege ist der Überzeugung, es sei in erster Linie der Gedanke, den man wahr oder falsch nennt, während der Satz nur in einem abgeleiteten Sinne als wahr oder falsch bezeichnet werde, denn: »Wenn wir einen Satz wahr nennen, meinen wir eigentlich seinen Sinn« (G. Frege, Logische Untersuchungen, S. 33), und der Sinn eines Satzes ist der Gedanke. Der Gedanke erscheint dem Satz vorgeordnet, und die Logik ist die Theorie der Beziehungen zwischen wahren Gedanken.

Analog ist für Peirce das Zeichen (der Sinn) der Repräsentant des Gedankens, und die Logik gehört daher zur Semiotik oder Zeichenlehre. »Logic in its general sense is […] only another name for semiotic« (Peirce, Collected Papers 2.227). Und genauso wie Frege ein »drittes Reich« der Gedanken zwischen Dingen und mentalen Vorstellungen postuliert (G. Frege, Logische Untersuchungen, S. 43), so betrachtet Peirce die Welt der Zeichen als objektiv. Wahrheit gehört schließlich weder dem individuellen Bewusstsein noch dem Reich der empirischen Objekte an. Es besteht hier jedoch ein Unterschied, insofern Peirce eine eher aristotelische (anstatt platonische) Auffassung der Universalien (Zeichen, Bedeutungen, Gedanken) hat, da für ihn jedes Zeichen einer Verkörperung, eines Tokens bedarf.

Frege zufolge begründet die Logik die Arithmetik und diese wiederum die Mathematik insgesamt. Peirce ist dagegen an der Mathematik als einem Mittel logischen Studiums interessiert und betont, dass die Mathematik an sich »is the one science to which a science of logic is not pertinent. For nothing can be more evident than its own unaided reasonings« (Collected Papers 7.525). Die Mathematik beruht auf dem, was Peirce »diagrammatic reasoning« nennt, und er betont auch, dass alles notwendige Schließen diagrammatisch ist (Collected Papers 1.54, 5.148, 5.162, 8.209), wodurch der Mathematik eine privilegierte Rolle zukommt: »All necessary reasoning without exception is diagrammatic. That is, we construct an icon of our hypothetical state of things and proceed to observe it. This observation leads us to suspect that something is true, which we may or may not be able to formulate with precision and we proceed to inquire whether it is true or not. For this purpose it is necessary to form a plan of investigation and this is the most difficult part of the whole operation« (»The Nature of Meaning«, in: The Essential Peirce, vol. 2: 212–213, Indiana UP 1998).

Aber Peirce macht eine Ausnahme, was den Nutzen der Logik für die Mathematik angeht. Er schreibt: »But there is a part of the business of the mathematician where a science of logic is required. Namely, the mathematician is called in to consider a state of facts which are presented in a confused mass. Out of this state of things he has at the outset to build his hypothesis. Thus, the question of topical geometry is suggested by ordinary observations. In order definitely to state its hypothesis, the mathematician, before he comes to his proper business, must define what continuity, for the purpose of topics, consists in; and this requires logical analysis of the utmost subtlety« (Collected Papers 7.525).

Man kann also sagen, die Logik sei Teil der angewandten Mathematik, während andererseits natürlich die Mathematik auch Teil oder Grundlage der Logik ist. Wir haben das anhand unseres Vergleichs zwischen mathematischem Beweis und Gedankenexperiment gesehen.

Ein wichtiger Unterschied zwischen Freges logischem Fundamentalismus und Peirce’ phänomenologischer Begründung der Erkenntnis besteht auch darin, dass für Peirce Mathematik und Logik zirkulär aufeinander verwiesen sind, während für Frege die Logik der Mathematik vorgeordnet sein muss. Das zeigt sich nicht zuletzt in Freges Auseinandersetzung mit Hilbert zu dessen Werk »Die Grundlagen der Geometrie« (1899), auf die hier nicht ausführlich eingegangen werden kann (G. Frege 1903/1906, »Über die Grundlagen der Geometrie«, in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 12: 319–24, 368–75 und 15: 293–309, 377–403, 432–30).

Peirce betrachtet die Logik zusammen mit der Ästhetik und Ethik als erste positive Wissenschaft, während die reine Mathematik nur hypothetisch-konditionale Aussagen macht. Auf diese Weise wird die Mathematik bedeutsam für die phänomenologische Analyse, die erste philosophische Wissenschaft. Die Phänomenologie nutzt die Prozesse und Prinzipien der Mathematik, insbesondere das »Identitätsprinzip« (Leibniz), und reflektiert über die notwendigen Eigenschaften, die alle Phänomene aufweisen müssen. Die Mathematik gilt Peirce, wegen ihrer Unentbehrlichkeit für jede Analyse, als das entscheidende Hilfsmittel jeder Phänomenologie.

Im Juni 1902 teilte Russell Frege seine mit dem Begriff der Menge aller Mengen verbundene Antinomie mit, die ernste Folgen für Freges in seinen Grundgesetzen der Arithmetik entwickelte Logik- und Mathematikauffassung hatte. Frege hatte eben angenommen, dass zu jedem Begriff bzw. jeder Funktion auch eine vollbestimmte Menge der Objekte gehört, die unter den Begriff fallen. Anders gesagt, Frege hatte angenommen, dass zum Sinn eines Ausdrucks auch stets eine Bedeutung gehört, denn dies war schon für seine Interpretation des Unterschieds zwischen den Gleichungen A = A und A = B notwendig. Und auch die Zahlen versteht er, wie gerade dargelegt, als Begriffsextensionen.

Angesichts des besserwisserischen und unangenehmen Tons, in dem Frege seine Bemerkungen zu Schröders »Vorlesungen über die Algebra der Logik« vorträgt, muss es fast wie eine Ironie des Schicksals anmuten, zu sehen, dass er darin genau den Grundsatz: »eine leere Klasse kann es nicht geben«, der sein System zu Fall gebracht hat, polemisch gegen Schröder ins Feld führt. Beispielsweise schreibt er: »Wenn wir sämtliche Bäume eines Waldes verbrennen, so verbrennen wir den Wald« (G. Frege, Logische Untersuchungen, S. 93).

Ernst Schröder (1841–1902) hat die Unterscheidung von Klasse und Elementen um 1880 eingeführt, und Frege hatte ihn deswegen verspottet und überheblich abgekanzelt. Schröders Hinweis, dass sich unter den Elementen des ursprünglichen Diskursuniversums »keine Klassen befinden dürfen, welche ihrerseits Elemente derselben Mannigfaltigkeit als Individuen unter sich begreifen«, kommentiert Frege folgendermaßen: »Dieses Auskunftsmittel scheint wie ein nachträgliches Abbringen des Schiffes von der Sandbank, die bei guter Führung hätte vermieden werden können« (G. Frege, Logische Untersuchungen, S. 97).

Ironischer Weise ist Freges Schiff auf eine viel größere Sandbank gelaufen und gestrandet. Wenn man den Wald nicht von der Gesamtheit der Bäume, den Begriff nicht von seiner Extension oder die Klasse nicht von ihren Elementen unterscheidet, dann kommt man eben zu Begriffsbildungen wie der »Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten«, und so zu Russells Paradox. Wenn dagegen die Menge kategorial von ihren Elementen unterschieden wird, wie der Sack von den Kartoffeln, dann ist Russells Menge die allumfassende Menge, und deren Existenz widerspricht Cantors Potenzmengenresultat (M. Potter, Sets, Oxford 1990; vgl. auch Kapitel VI.).

Jeder Mensch ist groß oder klein, aber man kann nicht sagen »Alle Menschen sind groß oder klein«. Und wenn wir von allen Menschen reden, dann reden wir von der Gesellschaft oder von der Menschheit, und dieselbe auf eine bloße Menge von Menschen zu reduzieren, ist politisch reaktionär und theoretisch unsinnig, solange wir glauben, dass Gesellschaftheorie etwas anderes ist als Individualpsychologie. Keine Menge von Anwendungen oder Daten begründet letztlich ein Gesetz mit unbedingter Sicherheit, und kein Begriff lässt sich auf seine bisherigen Anwendungen reduzieren.

Syntaktische Strukturen und Regeln repräsentieren Sinn, haben aber wenig mit Bedeutung zu tun, und daher hat Frege dann Schröders »Algebra der Logik« jeden theoretischen Wert abgesprochen. Und er hat auch gegen Hilberts Form des axiomatischen Denkens in diesem Sinne polemisiert. Frege vergleicht die Hilbert’sche Axiomatik mit einem System von Gleichungen mit mehreren Unbekannten, von denen gar nicht klar sei, ob sie eine Lösung zuließen (d. h. widerspruchsfrei sind) und ob diese Lösung eindeutig sei. Hilbert sah umgekehrt in den variierenden Interpretationsmöglichkeiten einen entscheidenden Vorteil, sie verbürgen die universelle Anwendbarkeit der Axiomatik. Umgekehrt gewinnen Mathematik und Logik erst durch ihre Anwendungen Bedeutung und Objektivität.