Читать книгу Die Mathematik im Mittelalter - Wolfgang Hein - Страница 9

Der Sinn der Römer in wissenschaftlichen Dingen war also zuallererst auf den Nutzen ausgerichtet. So können wir es als Glücksfall bezeichnen, dass die Römer nicht durch die Werke eines Euklid, Archimedes oder Apollonios mit der griechischen Mathematik konfrontiert wurden, sondern über die Handbücher aus hellenistischer Zeit.

„Handbücher waren die Brücke, über die die verschiedenen griechischen Disziplinen nach Rom gelangten“ (Stahl 1978, S. 70).

Diese Werke entsprachen der pragmatischen Einstellung der Römer viel mehr als der abstrakt-spekulative Geist des klassischen Griechenland.

Unter den römischen Handbüchern sind es vor allem berufskundliche Werke, die auch mathematische Anteile enthalten. Wir haben gesehen, wie Quintilianus in seinem Rhetoriklehrbuch den Bogen vom Quadrivium zur Praxis des Redners schlägt. Ein weiteres Beispiel ist der Architekt Vitruv. In seinem vielgelesenen Werk über Architektur (s.o.) erläutert er, welche Rolle das Quadrivium für den Architekten spielt:

„Die Architektenbildung entspringt aus zwei Faktoren, aus der Praxis und aus der Theorie. […] So muss er [der Architekt] talentvoll sein als gelehrig für die Wissenschaft; denn weder Talent ohne Wissenschaft, noch Wissenschaft ohne Talent kann einen vollendeten Künstler schaffen“ (Vitruvius, S. 12).

Er beschreibt auch den Nutzen, den die mathematischen Wissenschaften für den Architekten haben:

„Durch die Arithmetik aber werden die Kosten der Gebäude berechnet, die Maßeinteilungen entwickelt und schwierige Fragen der Verhältnisse des Ebenmaßes nach geometrischen Gesetzen und Regeln gelöst. […] Die Musik aber muss er verstehen, damit er die Kenntnis von den Gesetzen der Töne und ihren mathematischen Verhältnissen innehabe“ (Ebd., S. 14ff.).

Auch die anderen Disziplinen, in denen er zwar nicht besonders hervorragend, doch auch nicht unerfahren gewesen zu sein scheint, werden nach ihrem Nutzen für den Architekten erläutert.

Von besonderer Bedeutung für die Mathematikgeschichte Roms sind die Schriften über Landvermessung. Trotz der schlechten Überlieferung geben die noch vorhandenen Quellen einen einigermaßen repräsentativen Eindruck von denjenigen Zweigen der Mathematik, die von den Römern am meisten gepflegt wurden. Diese Schriften gehören noch heute zu den wertvollsten Zeugnissen römischer Mathematik, und, obwohl man es der Form nach nicht ohne Weiteres vermuten würde, auch im Hinblick auf den römischen und mittelalterlichen Unterricht im Quadrivium.

Vermessungen wurden in allen Hochkulturen praktiziert. Die ältesten Zeugnisse weisen auf Anwendungen im religiös-kultischen Bereich hin, etwa beim Bau von Tempelanlagen, und dürften dementsprechend in der Hand der Priesterschaft gelegen haben. Cicero weiß zu berichten, dass Romulus die Stadt Rom nach den Regeln der Feldmesskunst gegründet hat, und in der Zeit der römischen Republik oblag die Absteckung der Tempelanlagen den Auguren. Betrachtet man die beeindruckende Größe und architektonische Komplexität von Sakralbauten wie etwa die gigantische Ringanlage in Stonehenge, die ägyptischen Pyramiden oder die großen Tempelbauten in Mesopotamien, so kann man sich deren Ausführung ohne präzise Vermessungen gar nicht vorstellen. Da es sich bei den Grundrissen solcher Anlagen um geometrische Figuren handelt, deren Strukturen nicht zufällig entstehen können, ist man geneigt, die Kenntnis grundlegender mathematischer Gesetzmäßigkeiten anzunehmen. An Versuchen, solche zu rekonstruieren hat es nicht gefehlt, doch bleiben die meisten wegen des Fehlens schriftlicher Quellen Spekulation. Herodot bezieht sich auf alte Überlieferungen, wenn er die Erfinder der Geometrie in der ägyptischen Priesterkaste lokalisiert und in Verbindung mit der Wiederherstellung der Grundstücksgrenzen nach den Nilüberschwemmungen bringt. (Die „Erfindung“ der Arithmetik schreibt er dem Handelsvolk der Phönizier zu, woraus man wohl schließen kann, dass er unter Arithmetik die „Rechenkunst“ der Kaufleute versteht.)

Die Quellenlage zu Vermessungsarbeiten und den instrumentellen und mathematischen Hilfsmitteln im griechisch-römischen Einflussbereich bessert sich ab dem 1. Jahrhundert v. Chr. Das hat wesentlich damit zu tun, dass sich aus den vielfältigen Aufgaben im Vermessungswesen allmählich ein eigener Berufsstand entwickelte, nämlich der der Agrimensoren (das lateinische Wort agrimensura hat ungefähr die gleiche Bedeutung wie das griechische geometria, nämlich Erd- oder Landvermessung).

Vermessungsaufgaben gab es im Römischen Reich bei der Landaufteilung, im Straßen- und Aquäduktbau, im Städtebau sowie im militärischen Bereich. Eine Herausforderung besonderen Ausmaßes war die große Reichsvermessung, die noch von Caesar veranlasst worden war und unter Augustus 37–20 v. Chr. durchgeführt wurde. Sie endete mit der Erstellung einer „Weltkarte“, die in Rom aufgestellt wurde, leider aber verloren gegangen ist.

Von den uns erhaltenen, unter dem Sammelbegriff corpus agrimensorum zusammengefassten Schriften ist der sogenannte Codex Arcerianus der wichtigste und älteste Teil. Er wurde im 5. oder 6. Jahrhundert n. Chr. geschrieben bzw. zusammengestellt. Dabei dienten dem Kompilator Vorlagen aus dem 3. Jahrhundert n. Chr., deren einzelne Teile aber wohl aus dem 1. und 2. Jahrhundert stammen. Die Bezeichnung Arcerianus geht auf einen Besitzer im 16. Jahrhundert namens Johannes Arcerius zurück; heute befindet sich der Codex in der Herzog August Bibliothek Wolfenbüttel.

Der größte Teil dieses Codex behandelt juristische Fragen des Bodenrechts, Anweisungen, wie man bei Grenzstreitigkeiten, beim Anlegen von Flurkarten und Eigentümerverzeichnissen zu verfahren hat und Ähnliches. Darüber hinaus enthält der Codex aber auch einen bedeutenden mathematischen Teil. Natürlich ist die Mathematik in erster Linie auf die praktischen Bedürfnisse der Landvermessung ausgerichtet. Es finden sich dementsprechend Anleitungen für das Umrechnen von Längen- und Flächenmaßen, die jedem Feldmesser geläufig sein sollten, ferner Regeln für die Berechnung der Flächeninhalte von Dreiecken, Rechtecken, Trapezen und unregelmäßigen Vierecken. Im Gegensatz zu den klassischen Quellen griechischer Mathematik wird hier alles in Form von Zahlenbeispielen demonstriert; es muss aber hinzugefügt werden, dass dies meistens in einer Form geschieht, aus der ein begabter Leser die allgemeine Methode rekonstruieren kann. Die Autoren scheinen in den meisten Fällen die allgemeinen Regeln oder Sätze zu kennen, halten es im Hinblick auf ihre Leserschaft aber für geboten, sie nicht in der allgemeinen Form zu präsentieren, sondern an Beispielen zu demonstrieren.

Als Quellen haben vor allem die Schriften des Heron von Alexandria gedient. Heron hat in der zweiten Hälfte des 1. Jahrhunderts n. Chr. über die Konstruktion von Maschinen geschrieben (realistischen und fantastischen), über physikalische und astronomische Phänomene, über Vermessungsinstrumente und Mathematik (theoretische wie praktische). In seiner Metrika kommt so ziemlich alles an praktischer Mathematik vor, was sich in den Schriften der Agrimensoren findet. Herons Werk steht allerdings auf einem deutlich höheren Niveau, durch die römischen Kompilatoren hat es so manche Verstümmelung erfahren. Ein Beispiel dafür ist eine Methode zur Berechnung des Flächeninhaltes eines (beliebigen unregelmäßigen) Vierecks, die in unserer Schreibweise der Formel

entspricht, wobei a, c und b, d jeweils gegenüberliegende Seiten bezeichnen. Diese Regel findet sich schon bei den Ägyptern. Danach wäre der Flächeninhalt des Vierecks allein durch seinen Umfang a + b + c + d bestimmt. Für Rechtecke ist die Regel selbstverständlich richtig, für ein Parallelogramm beispielsweise ist sie umso schlechter, je mehr es sich vom Rechteck unterscheidet. Heron weiß dies sehr wohl und verweist ausdrücklich auf Ausnahmen. Im Laufe der Zeit sind diese Hinweise aber offenbar vergessen worden und nur die Regel hat überlebt; jedenfalls gilt das für die römischen Vermessungsschriften.

Bei aller Kritik muss man den römischen Feldmessern wohl zugutehalten, dass solche Regeln den Erfordernissen der Praxis angepasst und leicht anzuwenden sind; sie liefern akzeptable Ergebnisse, wenn man berücksichtigt, dass die Aufteilung von Land, soweit es die Örtlichkeit zuließ, vorzugsweise so vorgenommen wurde, dass die Grundstücke in etwa Rechtecksform hatten. Für solche Grundstücke konnte der Flächeninhalt nach vorstehender Formel aus Strecken ermittelt werden, die im Allgemeinen unmittelbar gemessen werden konnten.

Es ist bemerkenswert, dass ausgerechnet ein Rhetoriklehrer besser Bescheid wusste. Quintilianus wendet sich in seinem Rhetoriklehrbuch, das wir schon im letzten Abschnitt besprochen haben, mit einem etwas spöttischen Unterton gegen die Meinung, der Flächeninhalt einer Figur sei allein durch den Umfang bestimmt:

„Wer würde nicht dem folgenden Satz Glauben schenken: Haben die die Flächen umgrenzenden Linien gleiche Länge, so ist die Größe der Flächen, die die Linien einschließen, gleich. Und doch ist er falsch, denn es kommt sehr darauf an, welche Form die Begrenzungslinien umschließen, und die Historiker, die glaubten, die Größe von Inseln sei hinreichend durch die Länge der Umfahrt bestimmt, haben sich den Tadel der Geometer zugezogen. Denn je vollkommener eine Form ist, desto mehr fasst sie. Deshalb wird die Umgrenzungslinie, wenn sie einen Kreis bildet, die Form, die in der Ebene die Vollkommenste ist, eine größere Fläche umschließen, als wenn sie ein gleichseitiges Viereck bildet, das Viereck wieder eine größere als das Dreieck, unter den Dreiecken das Gleichseitige eine größere als das Ungleichseitige. Doch da mag manches etwas dunkel bleiben.“

Und für alle, denen diese Argumentation zu „dunkel“ ist, weist er das an einem Zahlenbeispiel nach,

„[…] das auch den Unerfahrenen ganz leicht verständlich ist“ (Quintilianus, S. 143).

Ein weiteres bemerkenswertes Beispiel ist die Aufnahme der Polygonalzahlen in den corpus agrimensorum. Wie wir in 1.1 gesehen haben, hatten diese seit den Zeiten der frühen Pythagoreer einen festen Platz im Quadrivium und haben im Rahmen der Psephoiarithmetik Anlass zu einer Reihe von zahlentheoretischen Erkenntnissen Anlass gegeben; mit Landvermessung hatten sie aber nicht das Geringste zu tun. Dass sie dennoch Aufnahme in den Corpus agrimensorum gefunden haben, beruht offenbar auf einem Missverständnis. Die n-te m-Eckszahl

wurde nämlich fälschlicherweise als Flächeninhalt des regulären m-Ecks mit Seitenlänge n verstanden. Ursache für diese Fehlinterpretation, die noch im Mittelalter ein zähes Nachleben führte, wird wohl die durch die Bezeichnung „figurierte Zahlen“ suggerierte Vermischung von Arithmetik und Geometrie sein. Auch Gerbert hatte um 1000 n. Chr. Mühe, einem Briefpartner den Unterschied zwischen der Dreieckszahl 1/2 n (n + 1) und dem Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge n klarzumachen (vgl. 2.5).

Bessere Regeln finden wir in einem Werk aus dem 1. Jahrhundert n. Chr., von dem man es eher nicht erwarten würde: Columella, der in der Gegend von Rom Landgüter besaß, verfasste ein Handbuch „Über Landwirtschaft“, das er einem Freund namens Silvanus widmete. Die Notwendigkeit, über die mathematischen Hilfsmittel der Landvermessung zu schreiben, sieht er offenbar nicht oder hält sich jedenfalls nicht für kompetent genug, dieses zu tun.

„Aber weil du, Silvanus, die freundschaftliche Bitte um Vorschriften für das Vermessen an mich richtest, will ich deinem Wunsch entsprechen mit der Bedingung, dass du dir bewusst bleibst, dass diese Aufgabe mehr einem Geometer als einem Landwirt zukommt, und Nachsicht übst, wenn mir auf diesem Gebiet, dessen Kenntnis ich nicht für mich in Anspruch nehme, ein Irrtum unterläuft“ (Columella, S. 509).

Diese Offenheit wäre wohl auch manch anderem angemessen gewesen.

In der Folge gibt Columella zunächst die Regeln für das Umrechnen der Maßeinheiten, gefolgt von Flächenberechnungen, die den Landwirt betreffen, an. Viel ist dazu nicht nötig, denn

„[…] jedes Feld ist entweder quadratisch oder langgestreckt oder trapezförmig oder dreieckig oder rund, zuweilen hat es auch die Form eines Halbkreises oder eines Kreissegments oder auch die eines Polygons“ (Ebd., S. 519f).

Die Flächen von Quadrat, Rechteck, rechtwinkligem Dreieck und rechtwinkligem Trapez werden richtig berechnet; stets wird eine allgemeine Regel und ein Zahlenbeispiel gegeben. Das gleichseitige Dreieck wird mit dem sehr guten Näherungswert 1,73 für , der Kreis mit dem Archimedischen Wert 22/7 für π berechnet. Für das Kreissegment wird die auch von Heron genannte Näherungsformel

angegeben. Von den Polygonen wird nur das regelmäßige Sechseck behandelt, bei dem benutzt wird, dass es aus sechs gleichseitigen Dreiecken besteht.

Bei Columella erkennt man deutlich, dass sich die Mathematik bereits von den Anforderungen der Praxis entfernt. Gleichschenklige Dreiecke oder gar Kreissegmente gehören kaum in die alltägliche Praxis eines Feldmessers oder gar eines Landwirts, sie sind aber seit alters her Grundbestandteil der ebenen Geometrie und damit des Kanons der artes liberales. Es ist daher verständlich, dass der corpus agrimensorum, oder jedenfalls einige Schriften aus dieser Sammlung, bis weit in das Mittelalter hinein als Leitfäden für den Unterricht im Quadrivium mit verwandt wurden.

Noch deutlicher wird das in dem bereits mehrfach zitierten Handbuch Vitruvs über Architektur. Neben Erörterungen über die rechten Proportionen des menschlichen Körpers, von Tempeln und anderen Gebäuden findet sich ein Abriss der Harmonielehre nach Aristoxenes (vgl. 4.2) sowie ein ausführliches Kapitel über Astronomie. Vitruv erläutert die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des Quadrats im Zusammenhang mit der Konstruktion der Quadratverdopplung, wie sie sich in Platons Dialog Menon findet und die man, wie Vitruv bemerkt,

„[…] durch eine fehlerfreie Verzeichnung ermittelt [d.h. durch geometrische Konstruktion], weil man eine Art von Zahl dafür nötig hat, die sich durch Multiplikation [auf arithmetischem Wege] nicht finden lässt“ (Vitruvius, S. 292).

Bemerkenswert hieran ist: Obgleich Vitruv von einem Quadrat mit der Seitenlänge 10 Fuß ausgeht und demzufolge die Seite eines Quadrats von 200 (Quadrat-)Fuß konstruieren will, ist die Konstruktionsbeschreibung vollkommen allgemein und theoretisch – man braucht nur von den gewählten Zahlen zu abstrahieren. Der Architekt Vitruv denkt offenbar lieber an ein „konkretes“, als an ein im Sinne Platons „ideales“ Quadrat.

Vitruv kennt auch das pythagoreische (rechtwinklige) Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 (Fuß). Er betont, dass sich durch diese Entdeckung des Pythagoras ein wissenschaftliches Hilfsmittel zur Konstruktion eines rechten Winkels ergebe, das den sonst üblichen technischen Hilfsmitteln der Handwerker weit überlegen sei. Der pythagoreische Lehrsatz erhält hier sein Interesse aus der Anwendbarkeit, die Vitruv auch sogleich am Bau einer Treppe exemplifiziert.

Schließlich wird man eine Aufgabe, bei der gefordert wird, aus der Fläche und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks die Katheten zu bestimmen, eher zur theoretischen als zur praktischen Geometrie gehörig bezeichnen müssen. Nicht anders ist es mit dem Satz, dass der Durchmesser des Inkreises eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Differenz der Kathetensumme und der Hypotenuse ist.

An den besprochenen Schriften lässt sich unschwer erkennen, dass die römischen berufskundlichen Handbücher eine reiche Quelle für den mittelalterlichen Unterricht in Mathematik boten. Dafür spricht auch, dass diese Werke in den Klöstern eifrig abgeschrieben und sorgfältig aufbewahrt wurden.

Zum Schluss dieses Abschnittes wollen wir noch auf ein Werk hinweisen, das zwar kaum der Mathematikgeschichte zuzuordnen ist, das aber auf besonders eindrucksvolle Weise demonstriert, von welcher Art das Interesse der Römer an der Naturwissenschaft war und welche Kenntnisse man aus der Antike gerettet hatte. Es handelt sich um die Enzyklopädie Historia naturalis von Plinius dem Älteren (32–79 n. Chr.). In 37 Büchern, deren Stoff er nach eigenen Angaben aus über 2000 Quellen in unermüdlicher Sammelleidenschaft zusammengetragen hat, berichtet Plinius über Steine und Pflanzen, Tiere und Menschen (wirkliche und Fabelwesen), Himmel und Erde, Sterne und Meer, über die Herstellung von Glas und vom Sauerwerden des Weines, über seltsame Naturphänomene wie Regen aus Blut und Honig – eine Mischung aus ernstzunehmenden Fakten und unkritisch übernommen Fantasieprodukten. Am interessantesten vom mathematisch-astronomischen Standpunkt aus ist das zweite Buch, in dem (neben Abschnitten „über die Gottheit“, über „Wunder der Erde“, Meteorologie u.a.) die Kosmologie auf platonischer Grundlage dargestellt wird. Hier findet sich auch etwas über Zahlen und Zahlenverhältnisse. Wir haben hier den für die hellenistisch-römische Handbuchtradition so typischen Synkretismus, der alles sammelt, ordnet und – oft genug unverstanden und daher anfällig für Fehler – gebrauchsfertig aufarbeitet, was erreichbar ist. Aus diesem Werk haben viele Gelehrte des Mittelalters ihre Kenntnisse über die Natur bezogen.