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Aunque Sophie Germain había estudiado los primeros resultados en teoría de números a través del texto Cours de mathématiques à l’usage des gardes du pavillon et de la marine de Bézout, en el que se da una visión amplia de las matemáticas de la época, dicho contacto fue solo tangencial. Su interés por dicha disciplina nació a raíz de la publicación, en 1798, del libro Essai sur la théorie des nombres (Ensayo sobre la teoría de números) de Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Posiblemente por consejo de Lagrange, Sophie se hizo con uno de los primeros ejemplares de dicha obra y comenzó su lectura y estudio. Sin embargo, como ya era su costumbre, no se limitó a ello sino que una vez concluida una primera lectura, estableció una relación epistolar con Legendre similar a la que ya tenía con Lagrange o más fructífera aún si cabe. Tanto la lectura del libro como el ánimo que recibió del propio autor empujaron en un principio a Sophie al estudio de de la teoría de números y no al cálculo infinitesimal al que era más cercano Lagrange, aunque Sophie hizo gran uso de sus conocimientos en dicho campo más adelante.

No se conserva la mayoría de la correspondencia entre Sophie y Legendre, pero, por lo que se sabe, en las cartas, el matemático francés animaba a la joven a continuar con sus estudios a la vez que le daba consejos sobre qué abordar en cada momento, y así se estableció una «extraña» relación maestro-alumna entre ellos. Extraña porque era epistolar principalmente. Aunque no está establecido que Legendre la visitara como había hecho Lagrange, no es descartable en absoluto que alguna vez se encontraran, ya que ambos eran invitados a diversas celebraciones culturales en el ferviente mundo parisino de principios del siglo XIX.

ADRIEN-MARIE LEGENDRE

Legendre fue sin duda uno de los grandes matemáticos de finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX. Aunque algunos biógrafos señalan que nació en Toulouse en septiembre de 1752 y se mudó siendo joven a París, la mayoría de sus biografías señalan la capital francesa como su ciudad natal. Lo cierto es que Legendre quería que se le recordase solo por sus matemáticas y contaba poco de sus primeros años de vida. Hijo de una familia acomodada, recibió una educación elitista en matemáticas y física en el Colegio Mazarin en París. Con tan solo dieciocho años defendió su tesis doctoral, presagiando con ello una fructífera carrera científica. Gracias a la recomendación de Jean le Rond D’Alembert, otro gran matemático francés y uno de los pioneros del estudio de las aplicaciones en física de las ecuaciones diferenciales, Legendre fue profesor en la Escuela Real Militar de París, donde coincidió con Pierre-Simon Laplace, otro ilustre de las matemáticas y la física en Francia. Este nombramiento en la Escuela Militar le obligó a estudiar y profundizar en problemas de balística. Gracias a ello, en 1782, ganó el premio de la Academia de Berlín al determinar la curva descrita por las balas de cañón y bombas en función de distintas condiciones iniciales. En los años posteriores, Legendre obtuvo importantes resultados sobre la resolución de ecuaciones indeterminadas de segundo grado, fracciones continuas, probabilidad y rotación de los cuerpos no sometidos a aceleración. Estos trabajos le valieron el ingreso como miembro de la Academia de Ciencias de París, en 1783, donde presentó un estudio sobre atracción de elipsoides en el que aparecían, por primera vez, lo que hoy se conocen como «polinomios de Legendre».

El 13 de mayo de 1791 Legendre se convirtió en un miembro del comité, dentro de la Academia de Ciencias, cuya tarea era estandarizar los pesos y medidas, participando con ello en el desarrollo del Sistema Métrico Decimal. Colaboró, además, en la nueva medición del meridiano terrestre para obtener la unidad de longitud. Cuando en 1793 el gobierno revolucionario decidió suprimir la Real Academia de Ciencias, dejándole sin salario, publicó Éléments de géométrie (Elementos de geometría), una revisión de la obra de Euclides. A lo largo de su fructífera carrera publicó también trabajos sobre mecánica celeste, teoría de números y funciones elípticas. Murió en París en el año 1833, después de una larga enfermedad.

Caricatura a la acuarela de Legendre.

El trato que le daban personalidades tan prestigiosas como Lagrange o Legendre, así como la consideración que iba alcanzando en los ambientes científicos franceses, era muy del agrado de Sophie, a la que se le supone una fuerte personalidad ya que, como se ha descrito, no dudaba en enfrentarse con las personas con quienes discrepaba y tampoco era tímida a la hora de ponerse en contacto con todos aquellos a los que admiraba científicamente. Germain no luchó directamente contra la discriminación que sufría la mujer en la academia, sino que trató solo de buscar un reconocimiento propio; ella creía que a una persona había que valorarla solo y exclusivamente por sus méritos. Los varones que la apreciaron como científica no hicieron extensivo ese juicio al resto de las mujeres y más bien la vinieron a considerar como un hecho aislado al que había que respetar y valorar pero nada más. No vieron una injusticia flagrante que, por el mero hecho de ser mujer, muchas puertas le estuvieran cerradas, y esos mismos varones nunca consideraron la posibilidad de iniciar una lucha por un mundo académico más igualitario.

Sophie conocía con total seguridad las «ecuaciones diofánticas» y los «números primos» gracias a la lectura de varios libros como el de Bézout o el de Montucla, pero ninguno de ellos trataba estos temas con la profundidad del libro de Legendre. Sophie dedicaría a ambos campos una buena parte de sus estudios durante el resto de su vida. El otro campo principal en sus trabajos fue el de la «elasticidad», que, curiosamente, también aparece en la correspondencia con Legendre.

Las ecuaciones diofánticas se diferencian de las habituales porque se buscan solo las soluciones enteras; por lo tanto, para que tengan sentido, en general han de involucrar a dos o más variables, ya que con una única variable se obtiene una solución, si es de primer grado, o hasta tantas soluciones como el grado de la ecuación, y lo único que hay que hacer es comprobar si alguna de ellas es entera. Por ejemplo, x + y = 1 tiene infinitas soluciones, algunas no enteras como x = 1/2 e y = 1/2, pero esas soluciones no son las que interesan cuando se habla de ecuaciones diofánticas, sino otras como x = 1 e y = –1, en las que tanto la x como la y toman valores enteros. Aunque la solución de las ecuaciones diofánticas lineales como la del ejemplo es relativamente elemental y aparece ya en el libro de Legendre, y en muchos otros antes de él, es en el caso de las ecuaciones de grado superior en las que surgen problemas extraordinariamente difíciles como el último teorema de Fermat.

CINCO MARINEROS Y UN MONO

Se dice que una ecuación diofántica es lineal cuando las incógnitas solo aparecen elevadas a 1, como por ejemplo: x + y = 6. Esta ecuación tiene infinitas soluciones enteras: (0,6), (1,5), (–12, 18)… Cuando la solución de una de estas ecuaciones representa la solución de un problema real, se dan condiciones que sirven para elegir una o varias soluciones del conjunto infinito de estas. Un ejemplo de condición podría ser que x e y deben ser positivas. Uno de los problemas clásicos que se resuelven usando estas ecuaciones se hizo muy popular gracias a Martin Gardner (1914-2010), posiblemente el mayor divulgador de matemáticas de todos los tiempos, y es el «problema de los monos y los cocos». Su enunciado es el siguiente:

Cinco marineros y un mono naufragan en una isla desierta. Los marineros pasan todo el primer día recogiendo cocos. Por la noche, uno de ellos despierta y, desconfiado, decide separar su parte. Divide los cocos en cinco montones, toma su parte y, como sobra un coco, se lo da al mono. Poco después, un segundo náufrago se despierta y hace lo mismo. Uno tras otro, el tercero, cuarto y quinto náufragos hacen lo mismo. Al día siguiente por la mañana, dividen los cocos en cinco montones sin que sobre ninguno. ¿Cuántos se habían recolectado inicialmente?

Si se llama x₀ al número inicial de cocos, y x_i al número de cocos que se guarda el marinero número i y F al número de cocos que le toca a cada marinero por la mañana, se obtiene una primera ecuación: x₀ = 5x₁ + 1 Puesto que el primer marinero divide los cocos en 5 grupos de x₁ cocos, se lleva sus x₁ cocos y le deja uno al mono. Cuando se despierta el segundo marinero, solo quedan 4x₁ cocos, lo que les ha dejado el primer marinero, sus 4 partes. El segundo marinero lo divide en 5 partes iguales, llamadas x₂, y le da uno al mono. Por lo tanto: 4x₁ = 5x₂ + 1. Siguiendo el razonamiento se llega a este sistema de ecuaciones diofánticas lineales:

Operando sobre este sistema de ecuaciones se llega a la conclusión de que la resolución de este problema de cocos y monos consiste en resolver esta única ecuación diofántica:

cuyas infinitas soluciones son de la forma:

Existe una solución para cada valor de t. Tomando t = 0 se llega a la conclusión de que la menor solución es que los marineros recogieron 3.121 cocos; el primero se llevó 624 cocos, el segundo 499, el tercero 399, el cuarto 319 y el quinto 255. Sin olvidar los 5 del mono.

Si bien el libro de Legendre contenía un extenso compendio de todo lo que se sabía hasta finales del siglo XVIII sobre teoría de números, su contenido original era más bien escaso. Sin embargo parece ser que fue el propio autor y correspondiente de Sophie quien le recomendó la lectura de la obra Disquisitiones arithmeticae de Gauss.

«VUESTRO MÁS SINCERO ADMIRADOR: GAUSS»

Disquisitiones arithmeticae fue un libro rompedor. Antes de su publicación la teoría de números no tenía un cuerpo como tal y esencialmente la constituían una colección de teoremas y conjeturas aislados unos de otros. Gauss reunió todos los trabajos de sus predecesores y les dio forma en un marco común, rellenando huecos, corrigiendo demostraciones e, incluso, extendiendo el tema de estudio de numerosas formas. Pero no solo los contenidos tuvieron una gran importancia, la propia estructura del trabajo, con los enunciados de los teoremas seguidos por sus demostraciones de sus posibles corolarios, estableció un formato estándar para textos posteriores que aún perduran hoy en día. Disquisitiones arithmeticae marcó el punto de partida para el trabajo de otros matemáticos del siglo XIX, tales como Ernst Eduard Kummer (1810-1893), Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) y Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916), y abrió las puertas a un nuevo mundo a la propia Sophie Germain.

Es de suponer que un ejemplar de Disquisitiones arithmeticae cayó en manos de Sophie a finales de 1801 o comienzos de 1802, y se dedicó a su estudio en cuerpo y alma durante los meses sucesivos. Una vez terminada una primera lectura de una obra que fue de los últimos textos científicos que se redactaron en latín como lingua franca, se dedicó a releerlo tratando de profundizar en todo lo que allí había.

Al igual que no tenía problemas en reprimir a sexagenarios ilustres si ella no los consideraba acertados, como ocurrió con el astrónomo Lalande, Sophie Germain sabía apreciar el talento y en base a él trataba a los hombres con los que se relacionó. Por lo tanto, cuando se decidió a escribir a Gauss lo hizo con el mayor de los respetos, aun siendo él un año menor que ella, pero ya por aquel entonces considerado uno de los pilares de las matemáticas que se desarrollaban.

GAUSS, EL «PRÍNCIPE DE LOS MATEMÁTICOS»

Carl Friedrich Gauss es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos y ya desde muy joven su talento fue apreciado y considerado entre sus contemporáneos. Nació en Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777. Su padre tenía un modesto negocio que no le permitía financiar los estudios de sus hijos. A los siete años ingresó en la escuela primaria, y de esa época es conocida la anécdota de que a los dos años de estudiar en ella, durante la clase de aritmética, el maestro propuso el problema de sumar los números del 1 al 100. Gauss halló la respuesta casi inmediatamente. Cuando se comprobaron las soluciones se vio que la suya era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros. Al parecer, este relato es falso y procede de una elegía a Gauss después de su muerte escrita por Wolfgang Sartorius (1809-1876), quien ni tan siquiera menciona que ese fuera el problema planteado. A los catorce años, fue presentado ante el duque de Brunswick, que, fascinado, decidió hacerse cargo de todos sus gastos durante el bachillerato. Allí conoció al matemático Martin Bartels (1769-1836) y se dedicaron al estudio de las matemáticas, aunque pronto el alumno superó al profesor. En estos años se empezaron a gestar algunas de las ideas y formas de ver las matemáticas que caracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor en muchas demostraciones de los grandes genios que le precedieron, como Newton, Euler, Lagrange y otros más. Su forma de entender el rigor marcó las matemáticas desde principios del siglo XIX hasta nuestros días. A los diecisiete años tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría no euclídea. A los dieciocho, se dio a la tarea de completar lo que, a su juicio, habían dejado sin concluir sus predecesores en materia de teoría de números. Para Gauss, «La matemática era la reina de las ciencias y la aritmética era la reina de las matemáticas». Así, en 1801 publicó Disquisitiones arithmeticae, aunque anteriormente había sido el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra. En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gotinga y en 1835 formularía la ley o teorema de Gauss, del que se derivarían dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell. Murió en Gotinga el 23 de febrero de 1855.

Carl Friedrich Gauss.

La correspondencia conocida entre Sophie Germain y Carl Friedrich Gauss consta de catorce cartas, diez de Germain y cuatro de Gauss. Puede que alguna se haya perdido, pero en ese caso es casi seguro que se trate de alguna carta de las escritas por Gauss, porque las cartas de Germain fueron conservadas por el propio matemático y fueron legadas a la Academia de Gotinga después de su muerte y allí se clasificaron y estudiaron. Por otra parte, después de la muerte de Germain, gran parte de sus papeles cayeron en manos de su amigo, el matemático italiano Libri, y las cartas sufrieron el destino de la dispersión, ya que cuando este huyó a Londres en 1848 se llevó consigo una gran parte, pero no toda, de su vasta colección. Muchos documentos fueron confiscados por las autoridades francesas en su departamento de la Sorbona. Es muy posible que entre los documentos requisados, y que se han perdido, hubiera escritos de Sophie y cartas dirigidas a ella.

Las matemáticas que Sophie expuso en sus cartas y notas adjuntas son, a veces, difíciles de seguir o entender. Los resultados que presentó a Gauss no tienen la apariencia de obras pulidas o bien organizadas, y sus escritos, especialmente las notaciones, no siempre son fáciles de interpretar. Pero su análisis prueba que dichas cartas contenían muchos resultados interesantes que Gauss valoró en su justa medida. La primera de las cartas de Sophie a Gauss, con fecha del 21 de noviembre de 1804, comienza:

Señor,

Vuestras Disquisitiones arithmeticae han sido durante mucho tiempo el objeto de mi admiración y mis estudios.

Pero justo a continuación comenta un resultado que aparece en el último de los capítulos y cómo este puede ser utilizado en un problema considerado por Lagrange. Para terminar le pide que si le contesta la carta, la dirija a Sylvestre de Sacy, quien se la hará llegar, y firma como: «Vuestro muy humilde servidor y muy asiduo lector. Le Blanc». Antoine Isaac Sylvestre de Sacy (1758-1838) era un prestigioso lingüista y su trabajo ejerció una gran influencia sobre uno de sus alumnos, Jean-François Champollion (1790-1832), quien descifró la piedra de Rosetta que permitió leer los jeroglíficos egipcios.

Dicha primera carta contiene un apéndice muy extenso en el que trata, sobre todo, dos resultados. El primero es el desarrollo que aparece en el último de los capítulos de Disquisitiones arithmeticae. Y el segundo es un intento mucho más revolucionario de afrontar uno de los problemas más famosos de las matemáticas, el último teorema de Fermat.

PRIMERAS APROXIMACIONES AL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Sin duda uno de los teoremas más destacados de la historia es el teorema de Fermat, que tardó más de 300 años en ser demostrado. Pierre de Fermat (1601-1665) escribió, alrededor de 1637, en el margen de su ejemplar de la Arithmetica del matemático griego Diofanto de Alejandría (200/214 d.C.- 284/298):

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, una potencia cuarta en dos potencias cuartas, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para escribirla.

En el lenguaje actual, el teorema puede enunciarse del siguiente modo:

La ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene soluciones enteras positivas en x, y, z para cualquier exponente entero n > 2.

Hoy en día se acepta que es imposible que Fermat tuviera esa demostración que proclamaba tener, y es muy factible que él mismo se diera cuenta de ello algo después de escribir su famosa nota al margen del libro de Diofanto, ya que el primer resultado parcial de cara a su resolución lo dio el propio matemático (y no tenía sentido que diera una solución a un caso particular si tenía la demostración general) cuando demostró que su resultado era cierto para n = 4.

FERMAT, UN ABOGADO CLAVE EN LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Pierre de Fermat fue un jurista y matemático francés continuador de la obra de Diofanto en el campo de los números enteros y cofundador del estudio matemático de la probabilidad, junto con Blaise Pascal (1623-1662), y de la geometría analítica, junto con René Descartes (1596-1650). Mantuvo correspondencia con los grandes científicos de su época y gozó ya en vida de gran estima e inmensa reputación. Interesado por las matemáticas, consagró a ellas su tiempo de ocio y en 1637 figuraba entre los principales cultivadores europeos de esta ciencia. Entabló amistad con el matemático Pierre de Carcavi (1600-1684), quien le presentó al padre Marin Mersenne (1588-1648), amigo de todos los científicos franceses de la época, y que le puso en contacto con Gilles de Roberval (1602-1675) y con Descartes. El trato con el difícil e inquieto genio de Descartes no resultaba fácil para nadie, ni tampoco lo fue para Fermat. Ambos discutieron sobre cuestiones científicas como la refracción de la luz y el método de los máximos y mínimos. Fueron necesarias la mediación de Roberval y toda la prudencia de Fermat para mantener por lo menos fríamente correctas las relaciones personales entre los dos sabios. Muy viva, en cambio, fue la amistad entre Fermat y Pascal. De talante modesto, Pierre de Fermat solo llevó a la imprenta su monografía Dissertatio geometrica de linearum curvarum comparatione e hizo públicos algunos de sus mayores descubrimientos a través de breves comunicaciones verbales y epistolares. Sus escritos fueron publicados póstumamente por su hijo Samuel en 1679. Sus aportaciones más conocidas fueron en teoría de números, como el «pequeño teorema de Fermat», según el cual:

siendo p un número primo, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p.

Este resultado se utiliza como test de primalidad y se aplica en criptografía. Aunque, sin duda, por lo que es más conocido es por el enunciado del último teorema de Fermat, formulado en 1637 y demostrado en 1995 por el matemático británico Andrew Wiles (n. 1953).

Pierre de Fermat.

Después de este paso, también era elemental ver que bastaba demostrar el resultado para las potencias primas ya que si existía una solución (a, b, c) a la ecuación y n no era primo ni 4, entonces n se podía expresar como el producto de primo p mayor que 2 (o de 4) por otro número k y la ecuación de Fermat quedaría:

x^pk + y^pk = z^pk

pero esto sería equivalente a:

(x^k)^p + (y^k)^p = (z^k)^p,

por lo que (a^k, b^k, c^k) sería una solución entera de x^p + y^p = z^p.

Pero tuvo que pasar más de un siglo para que se diera el siguiente paso y para ello fue necesario que lo hiciera un genio como Euler, quien en 1770 demostró el teorema para n = 3. Aunque su demostración contenía un error, el mismo Euler había dado previamente algunos resultados que permitían subsanarlo.

En 1804, fecha de la primera carta de Sophie a Gauss, solo los casos para n = 3 y n = 4 (y los múltiplos de esos números) del último teorema de Fermat se sabían resolver. Pero en el apéndice de su primera carta a Gauss Sophie dio un primer intento de demostración para un conjunto de números que cumplían una cierta propiedad:

Se puede demostrar la imposibilidad de encontrar números enteros que satisfagan la ecuación x^p-1 + y^p-1 = z^p-1 cuando p es un primo de la forma 8n + 7.

Evidentemente, si p es un número primo mayor que 3, p – 1 no solo no lo es, sino que es par. Luego, ese resultado en sí tiene un interés menor, pero históricamente es crucial porque plantea el primer intento de demostración para una familia suficientemente amplia de números y no para un caso particular. Por desgracia, su razonamiento contenía algún error y no se podía llegar a extraer la conclusión que proclamaba, aunque sí que está claro que abrió nuevas ideas en la propia Sophie que cristalizarían años más tarde.

DESENMASCARANDO A MONSIEUR LE BLANC

En general, parece ser que cada vez que Sophie recibía una carta de Gauss ella se apresuraba a responder, mientras que el matemático alemán tardaba mucho más en sus contestaciones, con una notable excepción: cuando supo que Monsieur Le Blanc era, en realidad, una mujer, de nombre Sophie Germain. Las circunstancias de ese descubrimiento son como siguen: en 1806 se iniciaron las guerras napoleónicas y Francia entró en conflicto con Prusia. El éxito del Ejército francés en Jena en octubre de dicho año abrió el camino para la ocupación y el asedio de la mayor parte de Prusia. Sophie, que quedó en su día muy impresionada por la historia de Arquímedes y recordando el destino del genio de Siracusa en circunstancias similares, se interesó por la seguridad de Gauss. Solicitó un favor a un amigo de la familia, M. Pernety, comandante de la Artillería francesa en la campaña prusiana, que era responsable de mantener el sitio en Breslau. Sophie le solicitó que descubriera el paradero de Gauss y que se asegurara de que no lo maltrataran. M. Pernety ordenó a M. Chantal, comandante del batallón, que viajara unas doscientas millas al oeste, a la ciudad ocupada de Brunswick, para llevar a cabo esta misión, que se coronó con total satisfacción, ya que Chantal se encontró con el propio Gauss, a quien le dijo que quien había rogado por su protección era su conocida Mademoiselle Germain. A lo que Gauss contestó que la única dama parisina que conocía era a Madame Lalande, que era la mujer del sobrino del «enemigo» de Sophie, el astrónomo Lalande. Todo esto fue comentado en una carta que Chantal envió a Pernety, en la que se le informaba del éxito de su misión ya que Gauss se encontraba perfectamente a salvo. Inmediatamente, Pertnety escribió a Sophie y esta se vio obligada a informar a Gauss de su verdadera identidad. El contenido de dicha carta era el siguiente:

Señor,

La consideración debida a los hombres superiores justifica el encargo que hice al General Pernety para hacerle saber que usted se merece la estima de cualquier gobierno ilustrado.

En el relato que me realizó M. Pernety de la misión que le había encomendado me informó que durante la misma mi nombre ha salido a relucir. Esto me lleva a manifestarle que no soy completamente desconocida por usted como puede llegar a pensar, pero debido al temor al ridículo asociado a ser una mujer científica, anteriormente he usado el nombre de Le Blanc para enviarle esas notas que, sin duda, no merecen la indulgencia con la que me ha contestado.

La apreciación que le debo por el aliento que me ha dado, al mostrarme que me considera entre los amantes de la sublime aritmética cuyos misterios ha desarrollado, fue mi motivación particular para intentar tener noticias de usted en un momento en que los problemas de la guerra me hicieron temer por su seguridad. Y he sabido con completa satisfacción que ha permanecido en su casa tan tranquilo como las circunstancias lo permitían.

Espero, sin embargo, que estos acontecimientos no le mantendrán demasiado tiempo alejado de sus investigaciones astronómicas y especialmente aritméticas, porque esa parte de la ciencia tiene una atracción particular para mí, y siempre admiro con nuevo placer los vínculos entre las verdades expuestas en su libro. Por desgracia, la capacidad de pensar profundamente es un atributo reservado a unas cuantas mentes privilegiadas, y estoy segura de que no voy a encontrar ninguno de los desarrollos que deduce, aparentemente sin esfuerzo, de aquellos que ya ha dado a conocer.

Incluyo con mi carta una nota destinada a mostrarle que he mantenido un apetito de análisis que la lectura de su trabajo ha inspirado y que me ha proporcionado continuamente la confianza para enviarle mis débiles intentos sin ninguna otra recomendación que la buena voluntad concedida por los científicos a los admiradores de su trabajo.

Espero que la información que hoy le he confiado no me prive del honor que me ha otorgado con un nombre prestado, y que dedicará unos minutos a escribirme noticias de usted mismo. Crea, señor, el interés que le concedo, y asegúrese de la sincera admiración con que tengo el honor de ser

Su muy humilde servidora

Sophie Germain

Acaba la carta con una posdata en la que da su verdadera dirección. En realidad, no acaba aquí, ya que, siguiendo su costumbre, vuelve a incluir un voluminoso apéndice con más resultados matemáticos dejados a la consideración de Gauss.

En poco más de un mes, Gauss respondió a Sophie, y en su respuesta del 20 de abril no hay ni un ápice de reticencia por el recién descubierto género de su correspondiente, más bien todo lo contrario, ya que escribe:

El gusto por las ciencias abstractas en general y sobre todo por los misterios de los números es muy raro: no es de extrañar, pues, que los encantos de esta ciencia sublime en toda su belleza se revelen solo a aquellos que tienen el valor de penetrar en dichos misterios. Pero cuando una mujer, debido a su sexo, a nuestras costumbres y a prejuicios, tropieza con obstáculos infinitamente mayores que los hombres para familiarizarse con sus nudosos problemas, pero los supera y penetra en lo más escondido, tiene sin duda el más noble valor, extraordinario talento y un genio superior. Nada puede demostrarme de una manera más halagadora y menos equívoca que los atractivos de esa ciencia, que han dado tanta alegría a mi vida, no son más quiméricos que el favor con que la ha honrado.

A continuación, Gauss le muestra que alguna de las afirmaciones que había realizado no eran ciertas, proporcionando algún contraejemplo, hecho que prueba de nuevo la atención con la que el consagrado matemático leyó las notas de Sophie, ya que no eran nada triviales. Sophie había afirmado que si la suma de la n-ésima potencia de dos números era de la forma x² + ny² entonces la suma de los dos números también se podía poner como z² + nt². El contraejemplo que dio Gauss fue:

15¹¹ + 8¹¹ = 8649755859375 + 8589934592 = 86583457993967 =

= (1595826)² + 11(745391)²

Y afirmó que 15 + 8 = 23 no se podía expresar de la misma forma.

Pero no quedó así el asunto y Gauss recogió el falso enunciado de Sophie y trató de salvar lo que pudo de él utilizando algunos resultados de su propia cosecha y llegó a proponer a Sophie tres teoremas de los que no incluía su demostración «para no privarla del placer de encontrarlas por ella misma, si las consideraba dignas de su tiempo». Acabó su carta Gauss rogándole que continuaran su correspondencia y que no se interrumpiera por haber mostrado Sophie su verdadera identidad.

LA ARITMÉTICA MODULAR DE GAUSS

La aritmética modular, protagonista de la mayor parte de la correspondencia entre Germain y Gauss, fue introducida por este último en su libro Disquisitiones arithmeticae. La idea intuitiva de dicha aritmética la proporciona un reloj, ya que se dispone solo de doce números. Por razones de coherencia en el caso de la aritmética se empieza en 0, así que esos doce números del reloj van del 0 al 11. Entonces, si la suma (o el producto) de dos números es menor o igual a 11, el resultado es el mismo que en los números enteros clásicos, pero si el resultado de la operación es mayor que 11, al valor obtenido se le tiene que «trasladar» con la equivalencia conocida de que las 12 son las 0, las 13 la 1, las 14 las 2, y así sucesivamente. Otro método de decir lo mismo es que dos enteros son equivalentes si cuando al mayor de ellos se le resta el menor queda un múltiplo de 12.

Naturalmente, el ejemplo del 12 sirve para cualquier entero positivo n mayor que 1 (porque para 1 solo se tendría el 0), y se hablaría de «aritmética módulo n», y es especialmente interesante cuando n es un primo ya que en dicho caso la aritmética es mucho más rica, permitiendo todas las operaciones clásicas de la aritmética entera. Por ejemplo, para n = 5 se dispone de los números 0, 1, 2, 3 y 4. La suma y el producto se definen como se ha descrito anteriormente. Pero más interesante es que cada número distinto de 0 tiene un inverso (dos números son inversos si su producto es 1), ya que 1 · 1 = 1, 2 · 3 = 1 y 4 · 4 = 1. Y si se dispone de inverso se puede dividir, operación que no se puede realizar dentro de los enteros, ya que al dividir un entero por otro el resultado no siempre es un entero.

Doscientos años después de la introducción de la aritmética modular por parte de Gauss, dicha matemática está por todas partes, puesto que internamente los ordenadores la usan y la mayoría de los métodos criptográficos que están en boga hoy en día, como el RSA, utilizan sus propiedades. También se fundamentan en dicha aritmética los métodos de corrección de errores, como los que se usan en los CD de música o los DVD, o de detección de errores, como los dígitos de control en las cuentas bancarias o las letras en documentos de identidad.

La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae.

Naturalmente, ella se dedicó a las demostraciones de los resultados que le proponía Gauss y en menos de un mes ya las tenía completadas. Así pues, escribió una nueva carta que también contenía resultados de su propia cosecha. La respuesta a esa carta fue la última que envió o que se conserva de Gauss, quien tardó unos seis meses en contestar (le pedía disculpas por ello), y en ella le informaba de su nueva posición como profesor en la Universidad de Gotinga. Durante algún tiempo Sophie siguió enviando cartas a Gauss, pero, al no obtener respuesta, esos mensajes terminaron también. Sin embargo, no debe considerarse que la falta de respuestas por parte del alemán se debiera a una falta de aprecio, ya que en varias ocasiones Gauss mostró su respeto hacia Sophie ante terceras personas. Por ejemplo, en una carta al astrónomo Heinrich Wilhelm Olbers (1758-1840) explicaba que las demostraciones de dos teoremas que Gauss le había enviado eran una obra muy brillante de Sophie Germain. Además se sabe que János Bolyai (1802-1860), uno de los fundadores, junto con el propio Gauss y el ruso Nikolái Lobachevski (1792-1856), de la geometría no euclidiana, en alguna ocasión le solicitó a Gauss que le hablara más sobre Sophie. El problema es que ella no fue consciente de esas cartas y puesto que su posición en la comunidad científica, que tan reticente era a aceptarla por su condición de mujer, dependía de ese tipo de gestos que ella pudiera airear fue necesario buscar un nuevo reto. Durante los cuatro años que duró la relación epistolar, entre 1804 y 1808 —aunque Sophie escribió otras dos cartas más, una en 1819 y otra en 1829—, Gauss atravesó por una situación complicada desde el punto de vista profesional, con una gran cantidad de frentes abiertos en sus investigaciones y con traslados por motivos laborales. Aun así el trato que deparó a Le Blanc primero y, sobre todo, a Sophie más tarde, fue siempre de igual a igual, valorando en grado sumo sus capacidades matemáticas.

Prácticamente la totalidad de la temática de dicha correspondencia trataba sobre teoría de números, siendo siempre la fuente de inspiración la obra Disquisitiones arithmeticae. Muchos de los temas trataban sobre fórmulas o desarrollos relacionados con lo que hoy es conocido como «aritmética modular», introducida por primera vez por Gauss en su libro, y también sobre propiedades de números enteros.