Читать книгу Mujeres de ciencia - Clara Grima - Страница 9

La Academia de Ciencias francesa fue creada en 1666, durante el reinado de Luis XIV fruto del impulso del ministro Jean-Baptiste Colbert (1665-1683), quien trató de modernizar diversos aspectos de Francia, dinamizando el comercio, la industria y la innovación. Sin embargo, sus reformas no consiguieron todos sus objetivos, en especial el saneado de las cuentas del Estado, debido a las numerosas guerras en las que se embarcó el monarca y que supusieron una auténtica sangría a las arcas reales. En ese sentido, el propio ministro eligió a un pequeño grupo de sabios, que se congregaron el 22 de diciembre de 1666 en la biblioteca del rey, y allí tuvieron lugar las primeras sesiones de trabajo, que tenían un carácter relativamente informal. La institución fue alcanzando un gran prestigio hasta la llegada de la Revolución francesa, que la disolvió en 1783, para crear, dos años más tarde, el Instituto Nacional de Ciencias y Artes, que reagrupaba a las antiguas academias científicas, literarias y artísticas. Cada una de las secciones fue adquiriendo cada vez más autonomía hasta llegar a una situación similar a la prerrevolucionaria en 1816.

Algo que siempre caracterizó a la Academia desde los tiempos iniciales de Colbert fue la misión de impulsar el desarrollo de la ciencia y ello se canalizó a través de iniciativas de popularización como la llevada a cabo con el Sistema Métrico Decimal, de la que fue una de sus principales impulsoras, o la convocatoria de premios por la resolución de profundos problemas científicos. En esta categoría, uno de los más famosos fue el convocado en 1818 para tratar de explicar las propiedades de la luz y en el cual participó el ingeniero Augustin-Jean Fresnel (1788-1827), que fue uno de los primeros en afirmar que la luz era una onda. Es interesante señalar que Siméon Denis Poisson (1781-1840), que era uno de los miembros del comité de jueces y partidario de la teoría corpuscular, buscó una manera de refutar la afirmación de Fresnel. Poisson pensó que había encontrado un error cuando demostró que la teoría de Fresnel predecía que una mancha brillante en el eje existiría en la sombra de un obstáculo circular, donde debería haber completa oscuridad según la teoría corpuscular. El punto de Poisson no era fácilmente observable en situaciones cotidianas y, como él no lo encontró, lo interpretó como una refutación que desmentía la teoría de Fresnel. Sin embargo, el jefe de la comisión, François Arago (1786-1853), quien llegaría a ser primer ministro de Francia, decidió realizar el experimento con más detalle y, para sorpresa de todos, logró observar el lugar previsto, lo que convenció a la mayoría de los científicos de la naturaleza ondulatoria de la luz. Lo que siguió a continuación llega hasta la física cuántica, pero esto ya es otra historia.

CONCURSO SOBRE LA ELASTICIDAD

En 1808 visitó París un físico aplicado y músico alemán llamado Ernst Chladni (1756-1827), el cual hizo una demostración de su simple e ingenioso método para obtener ciertos patrones sobre superficies que vibran. Para ello, tomaba una placa de vidrio, la cubría con polvo o arena muy fina, la sostenía con dos dedos en los lados opuestos de la placa y pasaba por su borde un arco de violín, lo que causaba que la placa vibrara y emitiera un tono puro. El polvo se agitaba por las vibraciones y se movía hasta llegar a ciertos puntos en los que no había movimiento. Las ondas estacionarias tienen la particularidad de presentar zonas o puntos donde la amplitud de la vibración es máxima y otras donde esta se anula. Cuando la placa vibraba, el polvo fino tendía a desplazarse desde las zonas de máxima vibración a las zonas de vibración nula y por la falta de movimiento de esos puntos ya no se desplazaba y se obtenía como resultado un patrón de líneas o curvas que designaban la forma de la vibración causada por el arco. Las diferentes frecuencias sonoras inducían diferentes modos de vibración, de este modo se podían visualizar distintos patrones sobre la placa que iban cambiando conforme se modificaba la frecuencia del sonido.

CHLADNI, UN PIONERO EN VARIOS CAMPOS

Ernst Florens Friedrich Chladni nació el 30 de noviembre de 1756 en Wittenberg, Sajonia, en el seno de una familia culta y acomodada que provenía de Kremnica, entonces parte de Hungría y en la actualidad perteneciente a Eslovaquia, por lo que tanto Alemania como Hungría y Eslovaquia lo reclaman como suyo. Su obra más importante, por la que a veces es etiquetado como el «padre de la acústica», incluía la investigación sobre placas vibratorias que motivó un premio de la Academia de Ciencias promovido por Napoleón y al que dedicó gran esfuerzo Sophie Germain. Chladni también calculó la velocidad del sonido para diferentes gases. En la misma línea, diseñó y perfeccionó algunos instrumentos musicales. Pero no solo se limitó al estudio de temas relacionados con la acústica, también fue el primero en sugerir que los meteoritos tenían un origen extraterrestre, aunque en principio esta idea fue ridiculizada por sus contemporáneos, que creían en un origen volcánico de los meteoritos. Poco a poco se acumularon evidencias que llevaron a pensar, aún en vida de Chladni, que tenía razón y su libro Sobre el origen del Hierro de Pallas y otros similares, y algunos fenómenos naturales asociados es considerado el primer tratado científico sobre meteoritos.

El sencillo experimento de Chladni probaba que una placa vibra con ciertos patrones, pero la explicación de por qué se producían no se conocía. Es más, variando el número de soportes que sostenían la placa o su posición y modificando el lugar en la que el arco la hacía vibrar, se generaban patrones diferentes. El número de patrones parecía infinito, los dibujos que describían eran únicos para cada circunstancia y los resultados solo podían ser reproducidos si uno duplicaba exactamente las condiciones iniciales que los generaron. Determinar matemáticamente qué hacía que se formaran esos patrones y predecir la forma que iban a adoptar en función de las distintas variables que desempeñaban un papel en su formación suponía un reto magnífico.

Afrontar dicho desafío tenía una doble motivación para Sophie Germain. Por una parte, ella siempre se había movido por el afán de descubrir y de resolver problemas; por otra parte, porque el problema había alcanzado una cierta notoriedad ya que la exhibición de Chladni había causado bastante revuelo en los círculos científicos e intelectuales de París. Tanto es así que el emperador Napoleón Bonaparte (1769-1821) estableció en 1809 un premio extraordinario para el primero que diera una explicación plausible de por qué se producían los patrones de Chladni y cómo se podía predecir su forma.

Puede resultar extraña la involucración de Napoleón en el premio, pero en realidad la participación del emperador era en un grado mayor de la que se puede pensar en primera instancia. Desde el comienzo de su carreraz prestó un gran interés a la ciencia en general y a las matemáticas en particular, tanto es así que al final del siglo XVIII ocupó un puesto en la Academia gracias al apoyo de su amigo Laplace y en el año 1800 la llegó a presidir. Para ocupar este puesto privilegiado se argumentó su condición de líder y organizador de la campaña de Egipto, que tuvo un importante componente científico. Efectivamente, en la expedición al país del Nilo participó un grupo de 167 científicos y especialistas que eran expertos en distintas materias como matemáticas, física, química y biología, así como ingenieros, arqueólogos, geógrafos e historiadores. Entre ellos figuraban el matemático Gaspard Monge —uno de los miembros fundadores de la Escuela Politécnica—, el también matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), el físico Étienne-Louis Malus (1775-1812) , el químico Claude-Louis Berthollet (1748-1822) o el geólogo Déodat de Dolomieu (1750-1801). Bajo la dirección de Vivant Denon (1750-1801), que años más tarde sería director del Museo del Louvre, recorrieron el país haciendo exploraciones arqueológicas, proponiendo mejoras en ingeniería, copiando textos, dibujando edificios antiguos, realizando estudios etnológicos, geológicos, zoológicos y botánicos… Todos estos trabajos quedaron recogidos en la obra Description de l’Égipte (Descripción de Egipto), publicada en veinte tomos entre 1809 y 1822 y que se convirtió en la máxima referencia de la egiptología durante décadas.

Los premios por logros científicos se habían ofrecido en Francia durante gran parte del siglo XVIII y se habían utilizado para incentivar el trabajo en áreas que el gobierno consideraba de importancia nacional. Después de la reorganización de la Academia de Ciencias en 1795 se decidió que cada año se iba a proponer y juzgar un concurso en las ciencias físicas y otro en las ciencias matemáticas. Cada premio simbólicamente equivalía a un kilogramo de oro, que en 1803 se fijó en 3.000 francos.

Normalmente una comisión de cuatro o cinco personalidades destacadas era la encargada de establecer la temática de los premios. Posteriormente, otra comisión de expertos juzgaba los trabajos recibidos, y los premiados, en caso de haberlos, ya que con mucha asiduidad se declaraban desiertos, recibían su galardón en la siguiente sesión de enero. Al margen de estos premios «ordinarios», existían otros que el propio Napoleón había institucionalizado y que estaban dotados con fondos gubernamentales directamente. Uno de ellos pretendía premiar la mejor obra cada año sobre «fluidos galvánicos» o «galvanismo». En el año 1808 este premio no fue concedido porque no hubo experimentos que se consideraran de suficiente calidad. Legendre sugirió que se podía dividir el premio en dos, pero en una reunión general de la Academia de Ciencias, el 13 de febrero de 1809, se llegó a una conclusión totalmente distinta y que afectaría a Sophie Germain. Así, se propuso a Napoleón lo siguiente:

[...] que los 3.000 francos no se destinen este año para descubrimientos en galvanismo y sean empleados en animar un análisis matemático de los experimentos realizados por Ernst Chladni sobre la vibración de placas resonantes.

La respuesta del emperador aprobando lo que se le sugería no se hizo esperar y en una semana la Academia la recibió. Una comisión formada por Laplace, Legendre, el matemático e ingeniero Gaspard de Prony (1755-1839) y el cristalógrofo René Just Haüy (1743-1822) fue elegida para elaborar un programa para el premio. Puesto que las Academias estaban formalmente unificadas en el Instituto Nacional de Ciencias y Artes en ese período aún revolucionario y la reunión ordinaria de la de Ciencias iba a tardar seis meses en tener lugar, le solicitaron a la Academia de Francés y Literatura que les permitiera anunciar el premio en la suya, que tendría lugar en abril.

Así, en la reunión de la Academia de Francés y Literatura celebrada el primer lunes de abril de 1809 se anunció el premio con esta convocatoria:

Su Majestad el Emperador y Rey, que se ha dignado llamar a M. Chladni ante él y a ver sus experimentos, estando impresionado por el impacto que el descubrimiento de una teoría rigurosa que explicara todos los fenómenos rendidos sensibles por estos experimentos tendría sobre el progreso de la física y el análisis, desea que la [Primera] Clase haga de este el tema de un premio que se propondrá a todos los eruditos de Europa. Esta nueva concepción del genio benevolente, que anima las grandes y profundas opiniones de Su Majestad para el progreso y la propagación de la Ilustración, será recibida con reconocimiento por todos los pueblos que honran y cultivan las ciencias.

La [Primera] Clase ha propuesto, así, para el sujeto del premio, el desarrollo de una teoría matemática sobre la vibración de superficies elásticas, y una comparación de dicha teoría con experimentos.

El premio será una medalla de oro, valorada en 3.000 francos.

Se concederá en una sesión pública el primer lunes de enero de 1812.

Las inscripciones serán admitidas hasta el primero de octubre de 1811. Esta fecha final no tiene excepción.

Algunos autores han manifestado su extrañeza sobre algunos de los hechos que rodean a esta convocatoria, como el que se cambiara un premio anual por este extraordinario o la premura en todo el proceso. Parece ser que en gran parte estuvo motivado por el deseo de Laplace de promocionar la carrera de Siméon Denis Poisson. Esta teoría es alimentada por hechos concretos ya que el denominador común de todas las comisiones involucradas en el premio fue Laplace, quien, en contra de la propuesta de Legendre de dividir el premio en galvanismo, propuso transformarlo en uno sobre los patrones de Chladni. Además, también formaba parte de la comisión que propuso el programa para el premio. Asimismo, algunos contemporáneos manifestaron que ese premio había sido urdido por Laplace para elevar la figura de Poisson, al que creía por su formación muy capaz de resolver el problema que se planteaba. Entre los que se manifestaron en dicho sentido, se encontraba François Arago (1786-1853), que fue nada menos que el biógrafo del propio Poisson, el cual dijo que el sentimiento de Laplace hacia Poisson era como el de un padre, lo cual le hizo luchar por conseguir una buena posición para su «ahijado».

Curiosamente había dos personas que estaban de alguna forma cualificadas para afrontar el problema propuesto por la Academia: Siméon Denis Poisson y Sophie Germain. La matemática, por un lado, había trabajado en un problema más simple que inició Leonhard Euler y que se podría considerar como el equivalente elástico del problema de las placas. Efectivamente, desde la época pitagórica, se conocían bien las propiedades de una cuerda vibrante por su relación con la música y las matemáticas, y tanto D’Alambert como Lagrange y Euler habían formulado un modelo matemático. Es más, los dos últimos habían generalizado el problema de la cuerda a dimensión dos considerando una membrana vibrante, lo que podría llamarse el «problema del tambor». Lo que Chladni demostró con su exhibición es que, al igual que los modos de una cuerda vibrante o una membrana poseen nodos donde no hay movimiento, una placa plana en vibración también posee curvas o líneas donde tampoco existe movimiento. Así que una aproximación similar al problema parecía factible.

LAPLACE, JUEZ Y PARTE EN EL PREMIO DE LA ACADEMIA

Una de las figuras claves en el mundo científico parisino y mundial de finales del siglo XVIII y comienzos del XIX fue Laplace , quien, junto con Poisson, desempeñaría un papel importante en la vida de Sophie Germain a partir de 1809. Pierre-Simon Laplace nació en una familia acomodada de granjeros de la baja Normandía y aunque los primeros datos de su vida no están muy claros, parece ser que estudió y empezó su carrera en la Universidad de Caen. Fue recomendado a D’Alembert, quien estableció contacto con él y le propuso problemas de gran dificultad que este resolvió con presteza. Así pues, D’Alembert lo recomendó a su vez para un puesto de profesor en la Escuela Militar de París en 1767, en la que tuvo entre sus discípulos a Napoleón Bonaparte, con el que tuvo una buena relación hasta la muerte del corso. En 1785 fue nombrado miembro de la Academia de Ciencias, y en 1795, miembro de la cátedra de Matemáticas del Nuevo Instituto de las Ciencias y las Artes, que llegó a presidir en 1812. Su labor fue importante en matemáticas, física y astronomía. Resumió y amplió el trabajo de sus predecesores en su Traité de mécanique céleste (Tratado de mecánica celeste) de cinco volúmenes entre 1799 y 1825. Este trabajo tradujo el estudio geométrico de la mecánica clásica a uno basado en el cálculo infinitesimal de Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), abriendo una gama más amplia de problemas. En estadística, la interpretación bayesiana de la probabilidad fue desarrollada principalmente por Laplace. Igualmente, formuló la «ecuación de Laplace» y fue pionero en la «transformada de Laplace» que aparece en muchas ramas de la física y de las matemáticas. Además, reformó y desarrolló la hipótesis nebular del origen del sistema solar y fue uno de los primeros científicos en postular la existencia de agujeros negros y la noción de «colapso gravitatorio».

Pierre-Simon Laplace.

Por otro lado, Laplace confiaba en que Poisson pudiera modelar el problema como una densa red de nodos que se atrajeran y repulsaran como si estuvieran unidos por unos muelles que buscaran un equilibrio intermedio entre estar muy estirado o demasiado comprimido. Así que cuando se convocó el premio Laplace estaba convencido de que tan solo Germain y su protegido Poisson iban a participar. Sin embargo, no se conoce el grado de involucración de este último y ni si llegó a completar algún trabajo, puesto que cuando finalizó el plazo dado por la Academia, solo se había presentado una memoria, la firmada por Sophie Germain.

«OÍR» LA FORMA DE UN TAMBOR

¿Qué significa «oír» la forma de un tambor? Para tratar de responder esta cuestión, es necesario saber que el tambor suele estar compuesto de una caja de resonancia y de una membrana que al vibrar produce el sonido, que es amplificado por dicha caja. El objetivo de la pregunta es, en realidad, sobre la forma de la membrana, que es la que produce el sonido, y se trata de determinar si dos membranas con forma distinta pueden llegar a producir el mismo sonido. Más concretamente, en la mayoría de los tambores la membrana es circular, pero se podrían construir tambores con membranas triangulares o con aspectos aún más exóticos. Y el sonido que producen los tambores depende de ciertos números asociados a varias ecuaciones bien conocidas. Esos números se llaman «autovalores» y desempeñan un papel fundamental en muchos problemas y aplicaciones de las matemáticas. Así que reformulando la pregunta quedaría: ¿Pueden dos membranas con formas distintas tener asociados los mismos autovalores y, por tanto, producir el mismo sonido? Esta cuestión fue formulada en 1966 por Mark Kac (1914-1984), aunque recogía aspectos planteados unos veinte años antes por Hermann Weyl (1885-1955). Nada más darse a conocer el artículo de Kac, John Milnor (n. 1931), uno de los matemáticos más brillantes de la segunda mitad del siglo xx, dio una primera respuesta (en realidad había encontrado su ejemplo dos años antes): dijo que existían tambores que suenan exactamente igual, producen el mismo sonido y cuyas membranas tienen forma totalmente distinta, pero en dimensión 16. Para encontrar una respuesta en dimensión dos hubo que esperar 25 años más, hasta que tres matemáticos —Carolyn Gordon, David Webb y Scott Wolpert— construyeron dominios bidimensionales que no son iguales pero que suenan exactamente igual. Bien es verdad que la forma de los tambores también es un tanto «exótica», como puede verse en la siguiente figura:

Dos membranas con estas formas producen exactamente el mismo sonido.

PRIMER INTENTO DE SOPHIE GERMAIN

Para juzgar si el trabajo de Sophie era merecedor del premio, el 21 de octubre de 1811 se formó una comisión integrada por Legendre, Laplace, el matemático Sylvestre François Lacroix (1765-1843) y el también matemático y físico Étienne-Louis Malus (1775-1812). Sophie escribió más tarde estas palabras cuando publicó sus resultados, explicando sus intenciones cuando supo de la convocatoria del premio:

En cuanto, me enteré de los primeros experimentos de M. Chladni, me pareció que el análisis [matemático] podía determinar las leyes que los rigen. Pero aprendí de un gran geómetra [Lagrange], cuyas primeras obras se habían dedicado a la teoría del sonido, que este problema contenía dificultades que ni siquiera sospechaba. Dejé de pensar en ello.

Ver los experimentos de M. Chladni durante su estancia en París despertó de nuevo mi interés. Empecé a estudiar las memorias de Euler sobre el caso lineal, ciertamente no con la intención de competir por el premio extraordinario propuesto por la Academia, sino solo por querer apreciar las dificultades que las condiciones del programa presentaban.

Sin embargo, afrontara o no el problema propuesto con determinación, lo que sí es cierto es que desde el primer momento hubo un flujo constante de correspondencia con Legendre, que ejerció como su valedor, en la misma medida que Laplace apostaba muy firmemente por Poisson. En esas cartas, Sophie le iba mostrando sus progresos, tanto en el estudio de los planteamientos de Euler como en sus avances en el caso de las placas.

Sophie Germain, como se ha dicho, se basó en varios resultados del estudio que hizo Euler sobre el caso de la vibración de una varilla. Euler había definido una ecuación diferencial que reflejaba el comportamiento de cada punto de una varilla unidimensional. Esa ecuación diferencial era de grado cuatro y admitía una gran variedad de soluciones; entre ellas, Euler escogía aquellas en las que cada punto describía una trayectoria ascendente y descendente similar al movimiento de un péndulo, lo que se conoce como «movimiento vibratorio regular». Al margen de ello, era necesario fijar ciertas condiciones en la varilla y el matemático consideró varios casos. Dos de ellos fueron de especial interés para Sophie, puesto que son los que trató de ampliar.

En el primer caso, la varilla está fijada por sus extremos admitiendo rotación, así que esos extremos lo único que fijan es su posición, en contra de la fijación total, que mantiene los extremos no solo fijos sino horizontales. En el segundo caso, la varilla está sujeta a uno de los dos extremos con una fijación total y al otro está sostenida de tal forma que permita girar. Euler se planteó cada uno de estos dos casos, pero de tal forma que también se fijaba la varilla por un tercer punto, así se quedaba sujeta por tres puntos: los dos extremos y uno intermedio. Euler solo estudió el caso en el que dicho punto intermedio es el centro de la varilla y Sophie amplió dicho resultado, intentando estudiar para cualquier fracción racional de la longitud de la varilla. Sin embargo, encontró dificultades en extender los razonamientos de Euler para el segundo de los casos y se puso en contacto con Legendre en enero de 1811, exponiéndole sus avances en el primer caso y sus dificultades en el segundo. Legendre le respondió con prontitud, pero en su carta no solo dudaba de su solución extendiendo el resultado de Euler en el primer caso, sino que criticaba incluso la labor de este. En realidad, Legendre estaba equivocado y tanto la solución parcial de Euler como la de Sophie eran totalmente válidas, aunque es posible que un tanto confusas en sus demostraciones. Pero, de nuevo, apareció el carácter de Sophie Germain y a pesar del gran respeto que le tenía a Legendre, no aceptó sus críticas y mantuvo, con razón, que sus soluciones eran válidas. Tan solo una semana después de la primera carta de Legendre a Sophie, ella ya había respondido a la crítica que se le hacía y Legendre había admitido su error. Ante una nueva carta de la matemática, el miembro de la Academia respondió que ahora había leído con más atención la obra de Euler, señalando algunos errores de Germain, pero que, por otra parte, se sentía cansado en general del problema.

Finalmente, gracias a los consejos de Legendre y ampliando los estudios de Euler, Sophie remitió su obra para que fuera considerada para el gran premio extraordinario de la Academia el 21 de septiembre de 1811, diez días antes de que se acabara el plazo para concursar.

RESOLUCIÓN DE LA PRIMERA CONVOCATORIA DEL PREMIO DE LA ACADEMIA

Aunque la entrada al concurso era anónima, parece muy claro que algunos de los miembros del jurado conocían la identidad de la única participante. En cualquier caso, mostrando cierta ansiedad, Sophie Germain le escribió a Legendre preguntando por noticias. La respuesta de este, el 22 de octubre de 1811, daba toda la información necesaria y posiblemente secreta:

Señorita,

Su memoria no se ha perdido; es la única que hemos recibido sobre el problema de la vibración de las superficies. Ayer designamos a cinco comisionados para examinarla. Tengo el honor de ser uno de ellos. M. Laplace, Lagrange, Lacroix y Malus son los otros cuatro. No he dicho nada; le aconsejo, así, guardar silencio hasta que se haga un juicio definitivo.

Soy, con todos los sentimientos que usted conoce, su devoto siervo.

Legendre

La cantidad de información que contenía esa carta es inmensa a pesar de sus pocas líneas. En primer lugar, Legendre comunica a Sophie que no hay más contendientes y, además, le pide un secretismo que él mismo está lejos de guardar. Más adelante, el 10 de noviembre de ese mismo año, el matemático volvió a romper ese secreto con otra carta muy significativa en la que informa a Germain de la suerte que puede correr un suplemento que esta le había enviado directamente.

Señorita,

Su memoria está circulando. Lacroix la tenía en sus manos el lunes pasado. Mañana averiguaré a quién se la ha pasado y añadiré el suplemento. Los comisionados entonces juzgarán si tomar en cuenta este suplemento o no. Además, me ocuparé de que el señor Lagrange no se demore en leerlo todo.

No hay ninguna dificultad, creo, en el caso particular en que el péndulo tiene la velocidad requerida para subir a la extremidad de su diámetro vertical. El cálculo demuestra que requiere un tiempo infinito para que el péndulo llegue a este punto. Y allí su movimiento desaparecerá.

Mademoiselle, en el respeto de mis sentimientos más distinguidos.

Legendre

Aunque los mensajes originales de Sophie Germain que motivaron estas respuestas no se conservan, parece claro que la primera memoria que entregó no estaba totalmente completa o al menos ella lo consideraba así y se tomaba con gran interés todo lo que tuviera relación con el premio.

Aunque el anuncio de la resolución del jurado debía hacerse público en enero de 1812, un mes antes Sophie Germain ya conocía el resultado, ya que el 4 de diciembre de 1811 Legendre le escribió una carta en la que le informaba que no era portador de buenas noticias y que la ecuación principal que ella había desarrollado para modelar el problema de la vibración no era correcta. También, en la misma carta, Legendre le informa que Lagrange había deducido siguiendo su razonamiento una ecuación que sí parecía correcta, dándole argumentos que justificaban su afirmación de que las noticias no eran buenas. Efectivamente, la ecuación diferencial propuesta por Lagrange es la que hoy en día proporciona la base para el análisis de los casos estáticos y dinámicos del análisis de láminas. Pero cabe aclarar que el propio Lagrange siempre afirmó que llegó a la ecuación correcta a través de los razonamientos de Sophie, así que parte del mérito le correspondía también a ella. Es más, él mismo asumió uno de los puntos de partida fundamentales de la memoria presentada por la matemática y es que las fuerzas que determinan la vibración dependen funcionalmente de la curvatura de la lámina. El problema es que esta enunciación de Sophie no estaba tampoco suficientemente justificada en su memoria. Después de esas noticias, era de esperar que la única aspirante al premio especial de la Academia no obtuviera el galardón. Sin embargo, no todo fueron malas noticias, ya que a la vez que el premio se declaraba desierto, se reconocía que no se había tenido tiempo suficiente para presentar un trabajo de calidad, así que se concedía una prórroga, abierta a nuevos concursantes, y que permitía la entrega de memorias hasta comienzos de octubre de 1812.

SEGUNDA CONVOCATORIA DEL PREMIO

Así, para su segundo intento para ganar del premio de la Academia, Sophie Germain tenía que superar fundamentalmente dos dificultades. En primer lugar, justificar que las fuerzas involucradas tenían una relación con la curvatura de la placa y, por otra parte, resolver los errores que había cometido para pasar del caso uno dimensional al dos dimensional. En realidad, los pasos necesarios para generalizar desde el punto de vista técnico las ecuaciones de Euler y aumentar en uno la dimensión habían sido publicados en el libro de Lagrange Mécanique analytique (Mecánica analítica), así que la segunda de las tareas era relativamente simple, solo era cuestión de estudiar detenidamente dicho libro y comprender los métodos en él expuestos. Pero determinar la forma en que la fuerza elástica dependía de las curvaturas principales era un problema mucho más difícil. Lagrange no había tenido éxito en esto, si es que lo había intentado, y tanto Poisson como el matemático e ingeniero Claude-Louis Navier (1785-1836) se enfrentaron a este punto. Pero existía un tercer problema: la resolución de la propia ecuación diferencial de Lagrange que Legendre había proporcionado a Sophie, quien se encontraba con la dificultad de que su formación autodidacta, que había estado conducida principalmente hacia la teoría de números, no tenía la profundidad suficiente para afrontar con éxito ese tercer reto.

Evidentemente, dos de las tres dificultades que afrontaba Sophie Germain eran meramente técnicas y solo consistían en adquirir la pericia suficiente en cuestiones en las que otros matemáticos de su época podían desenvolverse, como le había demostrado Lagrange, aunque ello le llevaría a obtener resultados inéditos. Sin embargo, el tercero de los obstáculos —ligar las fuerzas involucradas con la curvatura— iba más allá y era la principal tarea que tenía que afrontar si quería triunfar en esta segunda convocatoria.

La solución de Euler del problema de la varilla vibrante pasaba por relacionar las fuerzas con la curvatura de la varilla. Si se aproxima una varilla por una curva C, se puede definir la curvatura de forma intuitiva. Basta con aproximar cada punto P de la curva a la circunferencia que mejor se ajuste a la curva alrededor de dicho punto (lo que se consigue derivando dos veces) y se define la curvatura como el inverso del radio, r, de dicha circunferencia (figura 1). De este modo, si se está en una recta, la circunferencia que la aproxima tiene radio infinito y la curvatura se define como 0.

La circunferencia de radio r es la que mejor se aproxima a la curva en el punto P, y con r se determina la curvatura de la curva en P.

En el caso de las superficies, el problema es más complejo y hay distintos modos de medir el grado en el que una superficie «se curva» en un punto dado. Uno de los métodos es considerar las curvaturas de las curvas que se obtienen al cortar la superficie por los distintos planos perpendiculares a ella que contengan al punto. Si se supone que la superficie se puede derivar, en cada punto se tiene un plano tangente a la superficie y, por tanto, un vector perpendicular a dicho plano, lo que se conoce como el «vector normal». Así pues, si se consideran todos los planos que contienen a la recta que definen el punto y el vector normal, cada plano cortará a la superficie en una curva que contiene al punto en cuestión, si se dan las curvaturas de cada una de dichas curvas. De este modo, se está definiendo de alguna forma la curvatura de la superficie en cada punto. Naturalmente, esto entraña la dificultad de que para cada plano se obtiene una curva con curvatura distinta. Por ejemplo, en el caso del cilindro, si se corta en un punto de tal forma que se obtenga una circunferencia, se consigue la máxima de las curvaturas, y si se corta perpendicularmente, se obtiene una recta que tiene curvatura 0. Sophie definió la que actualmente se conoce como «curvatura media», que es exactamente la media entre la mayor y la menor de las curvaturas siempre dadas por planos perpendiculares (figura 2) y con ella elaboró su memoria.

Cada uno de los planos principales, al cortarlos con la superficie, da lugar a sendas curvas. Las curvaturas principales de la superficie son las curvaturas de esas dos curvas.

Parece ser que, en contra de lo que ocurrió con la primera convocatoria del premio, en su segundo intento Sophie estuvo trabajando de forma muy privada y poco a poco fue ganando una gran confianza en sí misma, porque comprobaba que sus ecuaciones predecían los patrones de Chladni con mucha precisión. Esa confianza consigo misma contrastataba con un incremento de la desconfianza con respecto a los jueces. Por una parte Lagrange, que era uno de los que más podía llegar a apreciar su labor, había muerto en abril de 1813, y por otra, parece evidente que se había producido un distanciamiento entre ella y Legendre.

La nueva memoria, de más de cien páginas, se recibió el 21 de septiembre de 1813 y de nuevo fue la única presentada. En este sentido, es sabido que Poisson estaba trabajando en el problema pero, al haber conseguido una plaza en la Academia, ya no le urgía ganar el premio para su promoción, así que pasó a formar parte del jurado que decidiría sobre el trabajo de Sophie, junto a Laplace, Lacroix, Legendre y el matemático Lazare Carnot.

La primera parte de la memoria estaba dedicada a justificar que la ecuación diferencial correcta era la que ya dedujo Lagrange a partir de su primera memoria, aunque no daba argumentos convincentes y estaba llena de errores y de suposiciones cuanto menos atrevidas y poco fundamentadas. Una vez aceptada la ecuación, se trataba de encontrar soluciones y en este campo, que en la primera memoria presentaba también ciertas carencias, se observa que todo estaba mucho más fundamentado. Así, presentó cuatro formas de soluciones.

POMPAS DE JABÓN

Si se introduce un bastidor de alambre en una disolución de agua con jabón, al sacar el bastidor se obtiene una lámina de jabón. Se puede demostrar que esa lámina toma la forma de una superficie que, entre todas las que cubren el hueco del bastidor, es la que tiene un área mínima. Pero, además, se da una característica sorprendente: dicha superficie tiene curvatura media, como la que definió Sophie Germain, igual a 0. Esto es debido a que se puede demostrar que las superficies que minimizan el área son aquellas con curvatura media nula. Sin embargo, si se hace una pompa de jabón, no es esa la propiedad que tiene la superficie de la pompa, pero sí algo muy similar: las pompas de jabón describen superficies de curvatura media constante. Aunque pueda parecer solo y exclusivamente un divertimento, las superficies que tienen curvatura media 0, denominadas «superficies minimales», tienen mucha importancia en relación con otras disciplinas. Así, para demostrar diversos resultados de superficies minimales se puede recurrir a simulaciones del movimiento browniano en ellas. También existe una relación con los agujeros negros y su horizonte de sucesos, más concretamente con el llamado «horizonte aparente», y en ingeniería molecular y ciencia de los materiales, ya que por sus propiedades desempeñan un papel importante en objetos autoensamblantes. También, en arquitectura ha habido mucho interés en las estructuras de tensión o arquitectura textil, que están estrechamente relacionadas con superficies mínimas. Un ejemplo famoso es la cubierta del Estadio Olímpico de Múnich, de Frei Otto (1925-2015), inspirado en superficies de jabón.

Estadio Olímpico de Múnich.

Una ecuación diferencial es una ecuación que liga mediante operaciones algebraicas a una función con algunas de sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales constituyen un campo fundamental dentro de las matemáticas y sus aplicaciones, ya que multitud de fenómenos en física, química, ingeniería y otras ciencias pueden modelarse con ecuaciones diferenciales. Cada una de las soluciones de una ecuación diferencial representa una curva (si es una ecuación en una única variable) que se puede representar en el plano. De este modo, una ecuación diferencial da lugar a toda una colección de curvas o trayectorias. Para fijar cuál de entre todas las soluciones que da una ecuación diferencial es la que se desea, es necesario dar unas condiciones iniciales. Por ejemplo, si un conejo corriera a lo largo del eje Y y soltáramos un galgo en un punto del plano, este describiría una curva de persecución del conejo que dependería de las posiciones iniciales de cada uno y de las velocidades relativas. Justamente estas posiciones y velocidades son las llamadas «condiciones iniciales» que determinan qué solución particular es la que interesa. Por otra parte, en ciertos problemas físicos, como el problema de la cuerda vibrante, además de las condiciones iniciales puede ser necesario introducir otro tipo de condiciones llamadas «de contorno». Por ejemplo, en el caso de las vibraciones de la membrana de un tambor las condiciones iniciales serían la posición inicial y la velocidad inicial de cada punto de la membrana, mientras que la condición de contorno vendría dada por la imposición de que esta esté fijada al bastidor a lo largo de su borde, en todo momento.

Por lo tanto, el primer paso de la memoria de Sophie Germain era encontrar la ecuación diferencial, el segundo integrarla y describir sus soluciones y el tercero establecer unas adecuadas condiciones de contorno. Para ello, de nuevo se basó en los estudios de Euler y dio razones para su paso a dimensión dos. Pero, otra vez, las razones que argumentaba tampoco parecían de gran peso desde un punto de vista matemático.

Una vez que tuvo las soluciones y las condiciones de contorno, la siguiente tarea fue comparar sus soluciones con los patrones proporcionados por Chladni. Sin lugar a dudas, la gran similitud entre sus predicciones y los resultados experimentales fue lo que más favorablemente consideraron los jueces. Parecía claro que las soluciones aportadas por Germain eran bastante ajustadas a la realidad, pero el fallo de su memoria era que no había conseguido justificar razonablemente y con el uso de una matemática rigurosa cómo llegar a las soluciones que proponía.

La propia Sophie tenía que ser consciente de que algunos de los argumentos que aportaba carecían de peso y trató de enviar algún añadido a su memoria y una vez más a través de Legendre. Pero era evidente que la relación con este se había enfriado y su respuesta, en diciembre de 1813, fue muy distinta de las que la matemática autodidacta recibió con ocasión de la primera convocatoria del premio. En cualquier caso, la carta en sí permite vislumbrar bien los fallos de la memoria presentada y trata de dar un avance honesto de lo que puede ocurrir con respecto a la resolución del jurado:

Señorita,

No entiendo en absoluto el análisis que me envía. Hay ciertamente un error en la escritura o en el razonamiento, y me hace creer que no se tiene una idea muy clara de las operaciones de las integrales dobles en el cálculo de las variaciones. Su explicación de los cuatro puntos no me satisface. Lagrange tenía razón al considerar dos elementos consecutivos en la curva elástica y medir la elasticidad por el ángulo de estos dos elementos. No hay elementos análogos en las superficies, o por lo menos aquellos que hemos considerado no son una analogía. Un elemento de la superficie tiene una proyección dxdy. El elemento tiene una proyección de (dx + ddy) (dy + ddy). Estas dos proyecciones son dos cuadrados diferentes. Además, la naturaleza de los planos no se ajusta a estas proyecciones, ya que un plano no pasa por cuatro puntos. Hay una gran falta de claridad en todo esto.

No intentaré señalarle todas las dificultades en una materia que no he estudiado especialmente y que no me atrae. Por lo tanto es inútil ofrecerme a reunirme con usted y discutirlas. Además, el asunto ha terminado. No hay nada más que cambiar en la memoria y, a pesar de toda mi buena voluntad, no puedo hacer nada.

Sin embargo, parece ser que su ecuación es verdaderamente la de la superficie vibrante. Dejando a un lado el análisis, el resto, en cuanto a la explicación de los fenómenos, puede ser válido.

Si la comisión de la Academia fuera de esta opinión, podría, por lo menos, recibir una mención honorable. Pero espero que el análisis incorrecto no perjudique el resto de la memoria y las partes de la misma que son correctas.

En cualquier caso existe la posibilidad de publicar su investigación, restablecer el análisis correcto o minimizarlo, y su trabajo le dará honor. Esto sería quizá lo que se debió haber hecho en primer lugar. Pero le prometo siempre el secreto más profundo, y, si no ha cometido alguna otra indiscreción, será como si la cosa fuera nula y sin valor.

Le ruego acepte mi respeto y completa devoción.

Legendre

Tal y como vaticinó Legendre, la comisión decidió darle una mención honorífica a Sophie Germain y declarar el premio desierto, pero, además, se convocó una nueva edición del premio con un plazo de dos años, fijando la fecha final para recibir propuestas el 1 de octubre de 1815.

TERCERA CONVOCATORIA DEL PREMIO

Por lo tanto, en agosto de 1814 se estaba a medio camino de la finalización del plazo otorgado para la tercera convocatoria del premio extraordinario. Sin embargo, en dicha fecha, durante la sesión de la «Primera Clase», nombre oficial por esa época de la Academia de Ciencias, Poisson comenzó a leer una memoria de su autoría en la que afirmaba que había dado con la solución. Esta llegaba a través de considerar una aproximación molecular en la que la lámina está compuesta por múltiples partículas unidas por una especie de muelles que hacen que busquen una posición de equilibrio ni muy cercanas, ni muy alejadas, tal y como ya había propuesto Laplace en su día.

Anteriormente, Poisson ya había presentado una memoria a la Primera Clase sobre un tema que era objeto de una competencia pública. Eso fue en 1812, antes de su elección como miembro de la Primera Clase, cuando su memoria sobre la distribución de la carga eléctrica en los objetos había ocasionado la retirada de un premio. Ahora, sin embargo, las circunstancias eran diferentes. Poisson se había convertido en un miembro de la Academia y en 1813 había sido uno de los jueces de la competencia para el premio extraordinario. No era costumbre que los miembros de la Primera Clase compitieran por premios que ellos habían establecido. Seguramente la lectura de las memorias de Poisson sobre el análisis de las superficies elásticas vibrantes podría considerarse como una conducta inapropiada y así se lo hizo saber Legendre, que lo interrumpió en su lectura. Después de alguna discusión, Poisson pudo continuar con la exposición de su trabajo, en el que llegaba, según sus palabras, de forma rigurosa a la ecuación de Lagrange, en clara alusión al trabajo de Sophie Germain.

En realidad, hoy en día, no se considera correcto deducir la ecuación de Lagrange mediante métodos moleculares, tal y como hizo Poisson, al margen del poco ético uso que hizo de la información previa de la que disponía. Es aceptable tratar de llegar a una ecuación conociendo de antemano el resultado al que se quiere llegar, pero el mérito de probar que al integrar dicha ecuación, con las debidas condiciones de contorno, se iban a obtener funciones que predecían bien el experimento de Chladni era, evidentemente, de Sophie Germain. Sin embargo, Poisson en su memoria solo decía que la fórmula que él llegaba a deducir aparecía en una entrada anónima al premio extraordinario que había recibido una mención honorífica.

Realmente, puesto que el premio fue impulsado por Laplace para lanzar la carrera de Poisson, entonces incipiente, y ya que este, por una parte, había alcanzado los honores que para él se pretendían y, por la otra, parecía que había resuelto totalmente el problema, después de la publicación de sus trabajos (el único que podía haber probado que su método molecular no tenía mucho sentido era Lagrange, pero había muerto hacía poco), Poisson pretendió que se suspendiera la convocatoria del premio extraordinario.

Se ha de suponer que Sophie quedó muy afectada por el anuncio de Poisson, ya que es sabido que paró en sus esfuerzos por terminar su tercera memoria. Al margen de la validez o no de la aproximación molecular, era evidente que Poisson iba a estar entre los jueces que dictaminaran sobre su memoria en esa tercera convocatoria, y también estaba claro que iba a ejercer una fuerte presión para que no le otorgaran a ella el premio y, con él, la gloria de haber resuelto un problema que Poisson proclamaba de su autoría.

SIMÉON DENIS POISSON

Poisson realizó importantes aportaciones en física y matemáticas, y en esta última destacaron sus trabajos en geometría diferencial y teoría de las probabilidades. Aunque empezó a formarse como cirujano de la mano de un tío suyo, pronto se vio que en la disciplina en la que destacaba notablemente eran las matemáticas. En 1798 ingresó en la Escuela Politécnica de París y dos años más tarde ya tenía publicado el primero de sus muchos trabajos científicos. Grandes matemáticos de su época, como Lagrange, remarcaron su capacidad para las matemáticas y Laplace lo consideró casi como un hijo. Desempeñó numerosos puestos docentes en las instituciones más prestigiosas del país. También obtuvo muchas distinciones y, en algún caso, ejerció su poder para degradar a sus enemigos personales. A pesar de sus muchos deberes oficiales, encontró tiempo para publicar más de trescientas obras, varias de ellas extensos tratados, siendo considerado uno de los matemáticos más prolijos de la historia. La «distribución de Poisson» es una de las principales distribuciones de probabilidad discretas y la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo o espacio, si esos eventos ocurren con un probabilidad conocida. Por ejemplo, en el problema: «En un taller el promedio de coches reparados es de 4 coches a la hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 minutos se reparen menos de 3 coches?», la fórmula de Poisson es:

donde λ es la probabilidad en el intervalo k y e es el número de Euler = 2,718281… Así, en este caso λ = 2 y, por lo tanto, hay que calcular la probabilidad de que no se repare ningún coche, más que se repare 1, más que se reparen 2:

Sin embargo, el premio siguió adelante, ya que es de suponer que los argumentos dados por Poisson no convencieron a todos, empezando por Legendre, que consiguió que se convocara una comisión que estudiara la situación del premio. Aunque dicha comisión nunca hizo públicos sus resultados, la convocatoria siguió adelante. En cualquier caso, parece ser que se llegó a un acuerdo interno que Legendre comunicó a Sophie: el premio iría a parar a ella si era capaz de producir una memoria sin los fallos anteriores.

El tercer trabajo presentado por Sophie tenía la mitad de la longitud y contenía algunas diferencias significativas. En primer lugar no se limitó al estudio de placas planas, sino que admitió superficies más generales y en ese momento le dio mayor protagonismo a la curvatura media. Es de suponer que hizo esa ampliación para tratar de diferenciarse de los resultados anunciados por Poisson y que se limitaban al caso plano. Además incluyó una última sección en la que describía algunos intentos de experimentos con placas cilíndricas, en las cuales no obtuvo resultados muy concluyentes. Aunque en esta tercera memoria no se corregían las lagunas presentadas en las dos anteriores, es posible que este intento de generalizar los experimentos le diera a la comisión argumentos suficientes para concederle, por fin, el premio extraordinario, y así, la comisión compuesta por Poisson, Laplace, Legendre, el físico y matemático Louis Poinsot (1777-1859) y el físico, astrónomo y matemático Jean-Baptiste Biot (1774-1862) anunció:

La [Primera] Clase ha recibido solamente una memoria, una secuela a la que obtuvo una mención honorable en 1814 y a la cual el autor ha agregado nuevos progresos. La ecuación diferencial dada por el autor es correcta aunque no se ha deducido de una demostración.

Sin embargo, la manera en que se han discutido las integrales particulares que la satisfacen, la comparación con los resultados observados por M. Chladni y, finalmente, los nuevos experimentos intentados en superficies planas y curvas para probar las indicaciones del análisis, la hacen merecedora del premio… La autora es Mademoiselle Sophie Germain, de París.

La ceremonia oficial de proclamación del premio extraordinario fue el 8 de enero de 1816 y a ella no pudo asistir la galardonada, ya que a las sesiones de la Academia las únicas mujeres admitidas eran las esposas de los académicos. Esto cambiaría de forma excepcional para la propia Sophie Germain a raíz de su amistad con Joseph Fourier, al cual conoció ese mismo año y que le consiguió entradas especiales que le permitieron asistir a las sesiones, pero para ello todavía tendrían que pasar siete años más.

Aunque no fue el motivo principal de su trabajo a partir de finales de 1815, Sophie Germain siguió puliendo su memoria en el problema de la vibración y publicó su ensayo premiado a sus propias expensas en 1821, sobre todo porque quería presentar su obra en oposición a la de Poisson. Añadió algún comentario sobre los posibles fallos que su propio método pudiera tener. En 1826 presentó una versión revisada de su ensayo de 1821 a la Academia. La revisión incluía intentos de aclarar su trabajo introduciendo ciertas hipótesis simplificadoras. Esto puso a la Academia en una posición incómoda, ya que sentían que el documento era «inadecuado y trivial». Pero el matemático Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que había sido nombrado para revisar su trabajo, recomendó que lo publicara y ella siguió su consejo. Todavía apareció una publicación más de Germain sobre el tema después de su muerte, pero en dicha última obra se centra mucho más en los aspectos geométricos de las superficies.