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Vier Beispiele für mathematisch-musikalische Ordnungen:

Der Goldene Schnitt meint ein spezielles Teilungsverhältnis. Er durchschneidet einen Abschnitt in zwei unterschiedlich große Teile:

Dabei stehen der gesamte Abschnitt und seine beiden Teile in einem bestimmten Verhältnis zueinander: Zwischen dem Ganzen (1) und seinem größeren Teil (1a) ergibt sich dieselbe Proportion wie zwischen dem größeren Teil (1a) und dem kleineren (1b). Vor allem an Werken des ungarischen Komponisten Béla Bartók (1881–1945) konnte die Proportion des Goldenen Schnitts nachgewiesen werden.

Die Fibonacci-Reihe geht zurück auf den Beinamen »Fibonacci« des Mathematikers Leonardo da Pisa (um 1180–1240). In ihrer besonderen Zahlenfolge bildet jede neue Zahl die Summe der zwei vorangegangenen Zahlen: 1, 1, 2 (= 1 + 1), 3 (= 1 + 2), 5 (= 2 + 3), 8 (= 3 + 5), 13, 21 … Maße in alter Architektur, gelegentlich Musikwerke der Renaissance und häufiger Musik des 20. Jahrhunderts orientieren sich an diesen Größen.

Stücke in variablen Metren komponierte Boris Blacher (1903 bis 1975): Gruppen von Tönen und Klängen sind nach mathematischen Gesichtspunkten organisiert. Das erste, sehr schnelle Stück seiner Ornamente für Klavier op. 37 (1950) vergrößert die Gruppen jeweils um ein Achtel, von 2 bis zu 9 Achteln, verkürzt sie anschließend ebenso konsequent wieder und durchläuft dies Hin und Zurück mehrere Male. Dies Ordnungsprinzip bewirkt etwas Eigentümliches: Das Hören erfährt Vergleichbares wie das Sehen beim Heran- und Fort-Zoomen von Aufnahmen.

Die Zahl 3 verstand man immer schon als ein Symbol für die göttliche Dreieinigkeit. Bis zum Ende des 13. Jahrhunderts war daher die Dreiteiligkeit eines Notenwertes verbindlich; sie wurde als »perfekt« aufgefasst, als vollkommen, während heute die Zweiteilung gilt – ein Viertel umfasst zwei Achtel.

Goldener Schnitt, Fibonacci-Reihe, Variable Metren, Zahlensymbolik: überall die Zahl als Ordnung, Zusammenhalt, sinnstiftende Kraft. Das Mittelalter, das darin antikes Denken weiterführte, begriff alle Erscheinungen als durchwirkt von ihr, den Kosmos im Großen und Kleinen ebenso wie die klingende Musik. Fundamental zeigt sich das am Verhältnis zwischen »Intervall« [dem Abstand zweier Töne] und »Zahl«. Staunen machte es, dass die grundlegenden reinen Intervalle Oktave, Quinte, Quarte auf einfachen Zahlenverhältnissen beruhen, und dass damit Intervalle umso wohlklingender sind, je einfacher die Zahlenverhältnisse ausfallen. Wer eine Gitarre oder ein Streichinstrument zur Hand hat – zur Not tut es auch ein starkes, straff gespanntes Gummiband –, kann das selbst praktisch umsetzen. Die folgende Darstellung zeigt eine ganze Saite und ihre gleichmäßigen Teilungen:

Zupft man eine ganze Saite an, erklingt ihr Grundton. Halbiert man nun die Saite und zupft die Hälften an, erklingt der Grundton eine Oktave höher: Die Oktave zu dem Grundton beruht demnach auf dem Saitenlängen-Verhältnis 1:2 = halbe zu ganzer, doppelt so langer Saite. Die Quinte zu dem Grundton der ganzen Saite erklingt, als Längenverhältnis 2:3, bei Dreiteilung der Saite: zupft man Zweidrittel von ihr an. Die Quarte zu dem Grundton erklingt, als Verhältnis 3:4, bei Vierteilung der Saite: zupft man Dreiviertel von ihr an.

Die Symbolkraft von Zahlen ist auch heute noch geläufig, etwa die 4 als Symbol von »Welt«: vier Himmelsrichtungen, Jahreszeiten, Elemente, Temperamente. In barocker Musik sind Zahlenbeziehungen und Zahlensymbolik lebendig. Viele Musiker forschten zumal in Johann Sebastian Bachs Werk danach; sie kamen zu Ergebnissen, die einleuchtend, verblüffend, spekulativ oder fragwürdig sind. Hier drei unterschiedliche, aber auch umstrittene Beispiele, der einschlägigen Literatur entnommen:

Bach schrieb eine grandiose Ciacona für Violine solo. »Ciacona« ist der italienische Name für die barocke Chaconne: eine Musik mit wechselnden Spielfiguren über einer ständig wiederholten Basslinie. Bachs Thema umfasst 4 Takte, das gesamte Stück 256 Takte plus einen Schlusstakt mit dem abschließenden Grundton. 256 resultiere aus 4 × 4 × 4 × 4, sie potenziere als 4⁴ die Maßzahl des Themas. Diesem Regelmaß entspricht allerdings nicht der dreiteilige Formverlauf: Ein Mittelteil, durch leuchtendes Dur abgesetzt, ist eingerahmt von zwei Moll-Teilen ganz unterschiedlichen Umfangs. [Dur und Moll sind charakterliche, sogenannte »Tongeschlechter« der Musik seit etwa 1600.]

In Bachs Matthäus-Passion, zweiter Teil, singt der Tenor Mein Jesus schweigt zu falschen Lügen stille. Die ganzen 10 Takte hindurch erklingt die Begleitung unbeirrt in derselben Weise: Achtelakkord – Achtelpause, Achtelakkord – Achtelpause …, die Pause als Verkörperung des Schweigens. Eine Zahlendeutung geht viel weiter. Der Satz enthalte 39 Akkorde in seinen 10 Takten. Dies verweise auf Psalm 39, Vers 10, wo steht: »Ich will stille schweigen.«

In das Thema der ersten Fuge aus dem Wohltemperierten Klavier habe Bach seinen Namen eingeschrieben. Nach ihrer Stellung im Alphabet können Buchstaben Zahlen erhalten, »Bach« summiert sich zur Zahl 14, als Addition von B = 2, A = 1, C = 3, H = 8. Entsprechend umfasse das Fugenthema 14 Töne:

Das geht jedoch nur auf, wenn man das substanzielle Ende des Themas tatsächlich auf dem 14. Ton festsetzt.

Dass kein Hörer die 14 hört, wäre kein Argument gegen sie. Zahlenkonstrukte müssen nicht hörbar und können doch im Hintergrund wirksam sein. Wie eine Musik im Detail »gemacht« ist, muss der Hörer nicht zwingend nachvollziehen, doch er nimmt das wahr, was daraus erwächst: Gestalt und Ausdruck.