Читать книгу Teoría del capital y la distribución - Eduardo Antonelli - Страница 45

Para el caso de la tasa de beneficios, y prescindiendo de las matizaciones recientemente efectuadas, se trata entonces de maximizar:

Considerando que F (K,N) es lineal y homogénea (HL), esta puede expresarse en términos per capita, en el sentido de “por unidad de trabajo” (véase Allen, 1971) como ya se hizo antes. Por supuesto, lo que sigue es un ejercicio solamente, porque ya se ha analizado la complicación de operar con la tasa de beneficios cuando las funciones son HL.

Por otra parte, cuando la función es efectivamente lineal y homogénea (véase Antonelli, 2013, libro III), PQ equivale a los costos de los factores, con lo que ρ como surplus es cero.

La expresión para la función de producción explicitando los factores trabajo y capital, dividiendo por N, resulta entonces q = f(k) donde el producto per capita y el capital per capita se definen, respectivamente, como:

Aquí, como se ha ya reiterado, la expresión per capita significa por unidad de trabajo; por lo tanto, la expresión anterior para la tasa de beneficios, queda ahora como:

Si las empresas consideran que la incorporación de más bienes de capital per capita —que es precisamente en lo que consiste el proceso de acumulación— es el mecanismo que les permitiría aumentar la tasa de ganancias, cuando lo hacen, se tiene, considerando que todos los precios son constantes y derivando la tasa de beneficios con respecto al capital por unidad de trabajador ocupado:

Simplificando k y teniendo en cuenta las definiciones previas:

Esta última expresión es la ya conocida de la TNC que propone que PMgK, o, estrictamente en este caso, la productividad marginal del capital, multiplicada por el cociente de precios relativos, debe ser igual a la tasa de beneficios. Para saber si este resultado constituye un máximo o un mínimo, hay que analizar el signo de la derivada segunda. Derivando nuevamente:

Que puede escribirse como:

El primer término del segundo miembro de esta expresión es cero por hipótesis (la condición necesaria para un máximo); el segundo término del segundo miembro es el producto de un valor positivo (la inversa de k) por un término negativo y otro que se propone nulo; por lo tanto:

La última expresión se verifica por la hipótesis de rendimientos decrecientes, siendo además:

La derivada de la tasa de beneficios con respecto a k es nula por la primera condición que así lo exige, tal cual se ha desarrollado anteriormente. Por lo expuesto, la tasa de ganancias alcanza un máximo y no un mínimo cuando los empresarios incorporan más capital a la economía, bajo los supuestos establecidos.