Читать книгу Organización y montaje mecánico e hidráulico de instalaciones solares térmicas. ENAE0208 - Francisco Martín Antúnez Soria - Страница 31

El diseño de los elementos de una estructura implica determinar la relación que existen entre todas las fuerzas que intervienen y los efectos producidos en dichos elementos. Es decir, conocida la fuerza que se le aplica a dicha estructura y, en función de su resistencia y rigidez, determinar el esfuerzo y la deformación producida.

Tracción y compresión

Un elemento está sometido a un esfuerzo de tracción cuando sobre él actúan fuerzas que tienden a estirarlo. Los tensores son elementos resistentes que aguantan muy bien este tipo de esfuerzos.

Un cuerpo se encuentra sometido a compresión si las fuerzas aplicadas tienden a aplastarlo o comprimirlo. Los pilares y columnas son ejemplo de elementos diseñados para resistir esfuerzos de compresión.

Cuando se somete a compresión una pieza de gran longitud en relación a su sección, se arquea, recibiendo este fenómeno el nombre de pandeo.

Entre los átomos de los cuerpos sólidos existe un sistema de fuerzas internas en equilibrio, a diferencia de lo que ocurre en líquidos y gases.

Todos los cuerpos sólidos, debido a estas fuerzas, se resisten a ser deformados cuando son sometidos a fuerzas externas (cargas). Presentan, por tanto, una resistencia a la deformación.

Recuerde

Un cuerpo se encuentra sometido a compresión si las fuerzas aplicadas tienden a aplastarlo o comprimirlo.

En resistencia de materiales se entienden los esfuerzos como fuerzas imaginarias que aparecen en el interior de los elementos o piezas cuando están sometidos a cargas exteriores. Estos esfuerzos modelizan el comportamiento real de los elementos. Se denominan deformaciones a las variaciones de sus dimensiones iniciales por efecto de las fuerzas aplicadas.

Supongamos que tenemos una barra de acero y longitud inicial l₀ y aplicamos a sus extremos dos fuerzas iguales y opuestas, P, alineadas con el eje de simetría del material, las cuales tienden a estirar el material. Se dice entonces que la barra está sometida a tracción. Debido a estas fuerzas, la barra se deforma, es decir, sufre un alargamiento ∂. La longitud final será por tanto:

l = l₀ + ∂

Se denomina deformación unitaria (ε) a la deformación de la barra por unidad de longitud. Su valor vendrá dado por el cociente entre el alargamiento ∂ y la longitud inicial l₀.

ε = ∂/ l₀ (adimensional)

Aplicación práctica

La empresa Instalaciones Solares Térmicas S. L. necesita elevar unos materiales a la cubierta del edificio. Observando el mismo, localizan un perfil que sobresale 2 m de la citada cubierta donde se puede anclar una polea.

Considerando que usted es el técnico y que debe justificar documentalmente ante la Administración el uso de dicho perfil, determine la longitud final del mismo, sabiendo que la deformación unitaria del perfil es de 5 mm/m, según consta en la información técnica que ha facilita la propiedad.

SOLUCIÓN

En primer lugar, se identifican los parámetros facilitados en el enunciado como se muestra a continuación:

1 Deformación unitaria: 5 mm/m.

2 Longitud inicial: 2 m.

En segundo lugar, se calcula la longitud final empleando la ecuación siguiente y operando, se obtiene:

En tercer lugar, se calcula el valor solicitado:

I = I_o + ∂ = 2 + 0,01 = 2,01 m

Dos caras contiguas de una sección recta cualquiera permanecen unidas en una pieza sometida a tracción porque aparece una fuerza interna, uniformemente distribuida sobre toda la sección.

Esta distribución uniforme de fuerzas es lo que se denomina esfuerzo o tensión. El valor de su intensidad, σ, viene establecido por el cociente entre la carga exterior aplicada, P, y el área de la sección recta inicial sobre la que actúa A₀.

σ = P/ A₀

Las unidades serán N/mm². Aunque la más comúnmente utilizada es kg/cm².

Resistencia a la tracción. Elasticidad-plasticidad

La elasticidad es una de las propiedades mecánicas de los materiales. Está relacionada con la deformación que estos sufren cuando se les somete a cargas exteriores.

Se puede definir como la cualidad que tienen los cuerpos de recuperar su forma primitiva cuando se les descarga de las fuerzas aplicadas. Si el elemento deformado recupera totalmente sus dimensiones iniciales cuando se eliminan las cargas exteriores aplicadas se dice que ha sufrido una deformación elástica.

Por el contrario, si al eliminar las cargas exteriores el elemento queda con deformación permanente se dice que ha experimentado una deformación plástica.

El método más usual para determinar esta y otras propiedades mecánicas en los metales es el ensayo de tracción.

Este ensayo relaciona la deformación que va sufriendo la probeta de metal con la carga creciente que se le va aplicando. De él obtenemos el diagrama tracción-deformación, que representa el esfuerzo que sufre la barra, referido a su sección inicial, en función de la deformación unitaria, respecto a su longitud primitiva.

Del diagrama obtenemos una curva como la que presenta el siguiente gráfico:

Hasta llegar al punto E, llamado límite elástico, la deformación es proporcional a la carga, es decir, entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias se establece una relación lineal. En esta zona, el material trabaja de forma elástica y se dice que responde a la ley de Hooke: “Las deformaciones son proporcionales a las fuerzas deformadoras”.

El esfuerzo correspondiente al punto E, σ_e, se puede definir como el mayor valor del esfuerzo que origina deformaciones elásticas. Con esfuerzos mayores que este, el material sufre ya deformaciones plásticas, es decir, queda con deformación permanente.

La constante de proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones unitaria en esta zona lineal se denomina módulo de elasticidad o módulo de Young.

σ = E ε

El módulo de elasticidad es una característica de cada material y depende solo de su estructura interna, que normalmente puede considerarse constante.

Con cargas superiores al límite elástico, punto E, la relación entre cargas y deformaciones ya no es lineal. El diagrama se curva hasta llegar al punto F, llamado punto de fluencia, siendo σ_f el esfuerzo de fluencia correspondiente.

En esta situación, la barra se alarga sin apenas incremento de carga, tramo FC. Si en el punto C desapareciese la carga, el material recuperaría elásticamente parte de su longitud, quedando una deformación permanente.

A partir del punto C es necesario aumentar la carga para producir nuevas deformaciones.

A partir del punto de fluencia, si incrementamos más la fuerza aplicada, la deformación es muy rápida con poco incremento de la carga. El esfuerzo va aumentando hasta llegar el punto R, carga máxima, a partir del cual prosigue la deformación hasta la rotura, punto M, sin que la carga aumente. Aunque el material físicamente rompe en el punto M, se dice que la carga del punto R es la carga de rotura, siendo σ_r el esfuerzo de rotura correspondiente.

Recuerde

Un elemento está sometido a un esfuerzo de tracción cuando sobre él actúan fuerzas que tienden a estirarlo.

Los esfuerzos correspondientes al limite de elasticidad σ_e, al punto de fluencia σ_f y a la carga de rotura σ_r definen las características resistentes de los materiales.

Recuerde

Un cuerpo se encuentra sometido a compresión si las fuerzas aplicadas tienden a aplastarlo o comprimirlo.

Se han de dimensionar siempre los elementos de estructuras y máquinas para que trabajen siempre en condiciones elásticas, es decir, dentro de la recta OE.

Cortadura

Es el esfuerzo al que está sometida una pieza cuando las fuerzas aplicadas tienden a cortarla o desgarrarla. El ejemplo más claro de cortadura lo representa la acción de cortar con unas tijeras.

Una fuerza de tracción origina en una sección recta del material un esfuerzo que viene dado por la ecuación:

σx = P / A

En una sección inclinada cualquiera, cuya normal forma un ángulo con el eje de la barra, la fuerza de tracción también generará un esfuerzo, que podemos considerar uniforme en toda la sección, que será menor que el producido en la sección recta, al ser menor el área.

σ mn = P / Amn

Teoría elemental de la cortadura

Una sección recta del prisma mecánico está sometida a cortadura pura cuando, en dicha sección, actúan únicamente tensiones tangenciales que se reducen a una resultante contenida en el plano de la misma fuerza cortante.

Cuando en una sección recta de un prisma mecánico la resultante de las fuerzas situadas a un lado de la misma está contenida en su plano y el momento resultante es nulo, esa sección del prisma trabaja a cortadura pura.

Pero si esto ocurre en una determinada sección, en las secciones próximas existe también un momento flector M producido por esta resultante, es decir, no es posible que en un finito de un prisma mecánico se dé en todo él un estado de cortadura pura.

En el cálculo de elementos de unión, como tornillos, remaches o cordones de soldadura, se suele admitir la presencia únicamente del esfuerzo cortante y la nulidad del momento flector en todas las secciones. Esto es aceptable porque, en estos elementos, los efectos (las tensiones y deformaciones) debidos al esfuerzo cortante son mucho mayores que los debidos al momento flector.

Las cargas verticales están contenidas en este plano y adoptaremos para el esfuerzo cortante τ el convenio de signos indicado en la figura anterior. La tendencia a la rotura de la barra para τ positivo se indica asimismo en la misma.

Recuerde

Una sección recta del prisma mecánico está sometida a cortadura pura cuando, en dicha sección, actúan únicamente tensiones tangenciales que se reducen a una resultante contenida en el plano de la misma fuerza cortante.

En la teoría elemental se admiten las siguientes hipótesis:

1 Hipótesis de Bernoulli, según la cual las secciones rectas permanecen planas después de la deformación.

2 La tensión tangencial τ que produce el esfuerzo cortante tiene la misma dirección que este.

Un ejemplo típico del cálculo por desplazamiento lo constituye el cálculo de juntas remachadas, soldadas.

Cálculo de elementos a cortadura

Existen algunas estructuras o piezas de determinadas máquinas que están compuestas de elementos que hay que unir de forma adecuada para que cumplan la función para la que han sido diseñadas. Si se trata de materiales metálicos, los medios de unión comúnmente empleados son remaches, tornillos y soldadura. Las uniones con bulones tienen poca aplicación, y las uniones por medios adhesivos se encuentran aún en fase experimental.

La distribución de tensiones en estos medios de unión es bastante compleja, dependiendo en gran parte de las deformaciones propias de los elementos que la constituyen. Esto hace que el cálculo riguroso de las uniones sea siempre difícil y muchas veces imposible de realizar. Por esto, en el terreno práctico es necesario contrastar los resultados obtenidos, aplicando los métodos simplificados de cálculo, con el comportamiento real de los materiales en las uniones.

Las uniones roblonadas se llevan a cabo mediante piezas denominadas roblones o remaches. Un roblón es un elemento de unión que está formado por una espiga cilíndrica llamada caña o vástago, en la que uno de sus extremos tiene una cabeza esférica, bombeada o plana, llamada cabeza de asiento. El roblón se introduce, calentándolo previamente entre 1050 ºC (rojo naranja) y 950 ºC (rojo cereza claro), en un agujero efectuado en las piezas a unir y se golpea bien con un martillo neumático o máquina roblonadora de presión uniforme en el otro extremo, para formar una segunda cabeza (cabeza de cierre) que asegure la unión. Cuando se efectúa en frío, esta unión se llama remachado, aunque lo más normal es que se use ese nombre siempre.

El roblón, al enfriar, se contrae originando en él esfuerzos de tracción que son los que originan la presión entre las piezas a unir. Este rozamiento entre ellas es el que soporta la fuerza de cizallamiento o cortadura. Aunque suceda esto, el cálculo se realiza suponiendo que no hay tracción sobre el roblón y que este es el que aguanta toda la cortadura.

Las uniones remachadas y atornilladas se dice que “trabajan a cortadura” cuando las fuerzas se transmiten por contacto entre las chapas a unir y la caña de los remaches o tornillos. Cuando la transmisión se realiza por contacto entre la chapa y la cabeza del elemento de unión este “trabaja a tracción”. El caso más normal es el de uniones trabajando a cortadura, y es este el que vamos a estudiar a continuación.

Distinguiremos dos tipos de uniones remachadas o atornilladas según las cargas aplicadas estén centradas respecto al elemento de unión o se trate de cargas excéntricas respecto a estos.

Dentro de los del primer grupo distinguiremos a su vez si los remaches o tornillos trabajan a cortadura simple (por una sección) o a cortadura doble (por dos secciones).

Sabía que...

La forma más rápida para determinar si se ha producido un fallo por cortadura o por tracción es observar qué elemento de la unión se ha roto, es decir, si se ha roto el remache/tornillo, determina un fallo por cortadura, mientras que si se rompe la unión por uno de los materiales unidos, determina un fallo por tracción.

Las posibles causas de fallo de una unión remachada o atornillada trabajando a cortadura son las que se describen a continuación:

1 Fallo por cortadura Si la tensión de cortadura en los remaches o tornillos es superior a la tensión admisible σadm del material de los remaches, la unión se rompería por la sección del remache sometida a cortadura. Se puede aumentar la resistencia de la unión aumentando el diámetro de los remaches o poniendo mayor número de ellos. En la sección entre planchas el roblón trabaja a cortadura, siendo el valor de τ (tensión tangencial):Siendo d el diámetro del roblón. En el caso de elementos que trabajan a doble cortadura, es decir, en aquellos casos en los que se presenten dos o más planos de corte, el valor de la tensión tangencial será:Siendo n el número de roblones y n’ el número de planos de corte.

2 Fallo por aplastamiento La unión podría fallar si un remache aplastara el material de la placa en la zona de contacto común, o bien, si el propio remache fuera aplastado por la acción de la placa. Como la distribución de tensiones en la zona de contacto es sumamente compleja, a efectos prácticos de cálculo se considera que el esfuerzo de aplastamiento se reparte uniformemente en el área proyectada de la espiga del remache sobre la placa. Se puede aumentar la resistencia a compresión de la unión aumentando el área de compresión, o sea, aumentando el diámetro del remache o el espesor de la placa, o ambos. Para determinar la tensión debida al aplastamiento producido por la acción compresiva del roblón sobre la plancha, se supone que la presión se realiza de manera uniforme sobre la zona de contacto entre chapa y roblón. Se toma como área de contacto.A contacto = d · eSiendo d el diámetro del roblón y e el espesor mínimo de la plancha. La tensión de aplastamiento valdrá:σ c = P / nde

3 Fallo por rotura de la placa o tracción En una pieza sometida a tracción, de una unión mediante remaches, se puede producir el fallo por rotura de la sección debilitada por los agujeros para los remaches. A efectos prácticos del cálculo, se admite la hipótesis de ser uniforme la distribución de tensiones en la sección neta de la placa, esto es, descontando al área de la sección recta de la placa la correspondiente a los agujeros de los remaches o tornillos. Se puede elevar la resistencia de la unión aumentando el espesor o el ancho de la placa, o ambos.La sección mínima de trabajo se dará donde están situados los roblones, pues ahí la sección primitiva de la plancha se ve reducida, siendo el valor de la sección útil:Aútil = (c – n’’ d) · eSiendo la tensión de tracción en la plancha:Puede evitarse la rotura de la plancha, debida a la colocación de roblones excesivamente próximos al borde, manteniendo una distancia aproximadamente de tres veces el diámetro del agujero. Este margen se conoce como solape.

4 Fallo por cortadura de la placa Se produce este fallo por desgarro de la placa en la parte situada detrás del remache. Este fallo se evita aumentando la superficie de la placa sometida a cortadura, es decir, dando suficiente longitud a la placa detrás del remache, como puede ser de dos a tres veces el diámetro del remache.Las roturas por fallo de la chapa a tracción o cortante no se suelen considerar en el cálculo de la unión, ya que se evitan al tener en cuenta las recomendaciones de las normas en cuanto a distancias mínimas entre agujeros, y entre estos y los bordes de las chapas. No obstante, la comprobación de una determinada unión a estos dos posibles fallos no reviste ninguna dificultad. Se utilizará la tensión admisible a tracción en el primer caso y la tensión admisible a cortadura en el segundo, tensiones en ambos casos referentes al material de la pieza que puede presentar esos fallos.

Aplicación práctica

La empresa Instalaciones Solares Térmicas S. L. se encuentra realizando el diseño correspondiente a una estructura metálica. Por necesidades de diseño, las estructuras deben estar unidas mediante dos chapas, con unas dimensiones de 210 mm de ancho y 8 mm de espesor cada una. El vendedor de las chapas asegura que empleando 3 roblones de 16 mm de diámetro cada uno, la unión está asegurada.

Como técnico de la empresa Instalaciones Solares Térmicas S. L. debe comprobar que dicha afirmación es correcta. Para ello, determine si la unión está asegurada cuando las chapas soportan una tracción de 14 kN, si la tensión admisible del remache es de 90 N/mm2 y la de la chapa es de 700 N/mm2.

SOLUCIÓN

Para poder determinar si la unión es segura, se deben determinar las tensiones que soportan chapas y roblones. Si los valores obtenidos son inferiores a los admisibles, se puede afirmar que la unión es segura.

En primer lugar, se identifican los valores del enunciado.

L = 210 mm, e = 8 mm, n.º roblones = 3, Ø =16 mm, p = 14 Kn, σ_adm = 90 N/mm², τ_adm = 700 N/mm²

En segundo lugar, se determina la tensión cortante que soportan los remaches. Para ello, se emplea la expresión siguiente:

Sustituyendo valores y operando, se obtiene:

En tercer lugar, se determina la tensión de tracción que soportan las chapas, mediante la expresión siguiente:

Sustituyendo valores y operando, se obtiene:

Comparando estos valores con los valores admisibles:

Por tanto, como los valores calculados son menores que los admisibles, se puede afirmar que la unión en segura.

Flexión

Un elemento estará sometido a flexión cuando esté aplicada una fuerza exterior o carga sobre él de tal manera que produzca una deformación del eje en forma longitudinal.

El cálculo de los esfuerzos se va a realizar sobre elementos genéricos utilizados en mecánica, las vigas.

Se considera que las vigas son prismáticas y con un plano longitudinal de simetría. Las cargas están aplicadas en ese plano.

Para el cálculo de los esfuerzos y deformaciones en las vigas, estas han de estar en equilibrio estático, es decir, las fuerzas o los momentos directamente aplicados, junto con las fuerzas o momentos de reacción en los apoyos, han de conformar un sistema en equilibrio.

Para la determinación de las reacciones en los apoyos de las vigas usaremos las ecuaciones de la Estática que rigen el equilibrio en el plano, a saber:

Si, aplicando las ecuaciones anteriores, podemos determinar el valor de todas las reacciones en los apoyos, se dice que la viga es estáticamente determinada. En cambio si hay más reacciones que ecuaciones el sistema es indeterminado o hiperestático, necesitando más ecuaciones para resolverlo.

Determinación de momentos flectores

El dimensionado de la viga exige el conocimiento de los valores que adopta el momento flector en cada sección de la misma.

Como norma general, a la hora de estudiar una viga se seguirán los siguientes pasos:

1 Determinación del carácter de la viga: isostática o hiperestática.

2 Cálculo de las reacciones sobre los apoyos:Aplicando las ecuaciones de la estática (Σ F = 0, Σ M = 0), en caso isostático.Aplicando las ecuaciones de la estática y alguna condición de contorno, en el caso hiperestático.

3 Determinación de los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes.

4 Determinación de la sección más peligrosa y cálculo de la sección total de la viga con los datos obtenidos en la sección más peligrosa.

El cálculo de las reacciones en los apoyos y la determinación del diagrama de momentos flectores depende del tipo de apoyos y de la distribución de la carga sobre la viga.

Recuerde

Un elemento estará sometido a flexión cuando esté aplicada una fuerza exterior o carga sobre él de tal manera que produzca una deformación del eje en forma longitudinal.

Torsión

Un cuerpo sufre esfuerzos de torsión cuando existen fuerzas que tienden a retorcerlo. Es el caso del esfuerzo que sufre una llave al girarla dentro de la cerradura.

Elementos que se encuentran sometidos a torsión

Los elementos de máquinas, ejes y árboles que están efectuando transmisión de potencia de un motor o de una máquina motriz a la unidad impulsada están sometidos a torsión.

Definición

Ejes

Se utilizan como medio para sostener un determinado elemento de máquina, permitiéndole que gire alrededor suyo.

Árboles

Los de transmisión están destinados a transmitir momentos de rotación a distancia.

Generalmente, estos momentos torsores son consecuencia de los momentos exteriores que se transmiten al árbol (en el caso de elementos de máquinas) normalmente en los lugares donde se colocan las poleas, ruedas dentadas, etc.

Para la representación de momentos torsores emplearemos indistintamente flechas curvas, que indican el sentido de giro o una línea perpendicular al eje de la barra con dos círculos en representaciones planas.

En uno de ellos se coloca un punto que indica la salida de la flecha curva hacia el lector, y en el otro un aspa que significa que la flecha entra en el plano alejándose del lector.

El convenio de signos que adoptaremos para el momento torsor es el indicado. Se ha representado una rebanada del prisma mecánico, es decir, la porción de barra comprendida entre dos secciones indefinidamente próximas.

Cálculo de la tensión cortante máxima de torsión

En la teoría elemental de la torsión se admite que, en una pieza mecánica sometida a torsión pura, las secciones permanecen planas y la deformación se reduce a una rotación de las diferentes secciones alrededor de un eje perpendicular a dichas secciones. Se consiguen buenos resultados en el estudio de piezas cuya sección recta sea un círculo o una corona circular (árboles macizos o huecos).

Si consideramos el esquema de la figura, la deformación máxima se produce en la base derecha de la pieza considerada y viene definida por el ángulo de giro γ, denominado ángulo de torsión, que es el ángulo de giro total de los extremos de la barra cilíndrica.

Esa deformación consistiría en un desplazamiento relativo entre cada dos secciones próximas entre sí, sometidas a tensiones de cortadura, cuyas direcciones están contenidas en el plano determinado por las secciones rectas de la pieza.

Después de realizar cálculos de cierta complejidad y partiendo del anterior gráfico, tenemos que la tensión máxima de cortadura:

Donde:

M es el momento torsor.

R es el radio de la sección.

Recuerde

Un cuerpo sufre esfuerzos de torsión cuando existen fuerzas que tienden a retorcerlo.