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In Fortsetzung von Beispiel 8 würde die Wahrscheinlichkeitsverteilung (die Funktion f), die jeder möglichen Schadenhöhe x_i (Ausprägung der Zufallsvariable X) ihre Wahrscheinlichkeit (W(X = x_i)) zuordnet, wie folgt aussehen:

Tab. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X (Schadenhöhe)

Der Ausprägung x₁ = 0 wird somit die Wahrscheinlichkeit f(x₁) = W(X= x₁) = 0,95 zugeordnet, der Ausprägung x₂ = 125.000 wird die Wahrscheinlichkeit f(x₂) = W(X= x₂) = 0,01 zugeordnet, usw.

Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ausprägungen müssen in der Summe 1 (= 100 %) ergeben. In Beispiel 9 ist diese Bedingung erfüllt: 0,95 + 0,01 + 0,025 + 0,01 + 0,005 = 1.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch grafisch dargestellt werden. Bei diskreten Zufallsvariablen bietet sich dazu bspw. ein Stabdiagramm an. Abbildung 4 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Beispiel 9.

Die Annahme, dass die Schadenhöhe im Fall eines Hausbrandes nur fünf Werte annehmen kann, ist selbstverständlich eine Vereinfachung der Realität. Tatsächlich könnte der Schaden natürlich jeden beliebigen, in Euro oder einer anderen Währung darstellbaren, Wert zwischen null und dem Marktwert des Hauses annehmen.

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen können stetige Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall jede beliebige reelle Zahl bzw. Ausprägung annehmen. Typische Beispiele für stetige Zufallsvariablen sind Zeitabstände, Strecken und Gewichte, weil zwischen zwei Ausprägungen dieser Variablen immer eine weitere Ausprägung eingefügt werden kann.

In der Finanz- und Versicherungswirtschaft ist zwangsläufig oft mit Geldbeträgen zu rechnen, die nur endlich viele Ausprägungen annehmen können, welche durch die Stückelung der kleinsten Währungseinheiten begrenzt sind. Beispielsweise können in Euro angegebene Preise oder Schäden nur in Cent-Beträge gestückelt werden, sodass nicht mehr als zwei Nachkommastellen zulässig sind. Sollen Geldbeträge durch

Abb. 4: Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariable X (Schadenhöhe) aus Beispiel 9 als Stabdiagramm

Zufallsvariablen beschrieben werden, so müssten sie genau genommen als diskrete Zufallsvariablen dargestellt werden. Weil die Anzahl ihrer möglichen Ausprägungen jedoch sehr hoch ist, werden sie dennoch oft durch stetige Zufallsvariablen beschrieben.

Wahrscheinlichkeiten stetiger Zufallsvariablen werden mittels Dichtefunktionen dargestellt. Abbildung 5 zeigt eine mögliche Dichtefunktion (auch Wahrscheinlichkeitsdichte) der Zufallsvariable Schadenhöhe.

Abb. 5: Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable (Schadenhöhe)

Bei stetigen Zufallsvariablen ist zu beachten, dass auf der Ordinatenachse (Y-Achse) nicht mehr die Wahrscheinlichkeit abgelesen werden kann. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X eine Ausprägung in einem bestimmten Bereich (z. B. im Intervall zwischen 100.000 und 200.000 Euro) annimmt, entspricht der Fläche zwischen der Dichtefunktion f(x) und der X-Achse innerhalb der Intervallgrenzen. Werden die Intervallgrenzen mit den Kleinbuchstaben a und b bezeichnet, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X eine Ausprägung im Intervall [a, b] annimmt, gegeben durch

Abbildung 6 zeigt beispielhaft die Fläche zwischen der Dichtefunktion und der X-Achse in den Grenzen von 100.000 bis 200.000 (Euro).

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ausprägungen muss auch im stetigen Fall wieder eins ergeben, sodass für das Integral über die gesamte Dichtefunktion

gilt.

Abb. 6: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariable