Читать книгу Philosophie - Eine präzise first-principle Herleitung philosophischer Fundamente. - Thomas Weinreich - Страница 12

Die Zahlenfolge 1+1+1+1+… entspricht in der Mathematik entweder der Unendlichkeit (als unendlich große Menge), oder –1/2. Es gibt mehrere solcher falsch erscheinenden Gleichsetzungen unendlicher Summen. Es scheint, als ob im Beweis ein Fehler in den angewandten mathematischen Regeln liegen muss. Die unendliche Summe aus 1-1+1-1+1… hat in der Mathematik entweder keine endliche Summe – oder aber 1/2. Betrachtet man die Summe als Prozess, bei dem man einen Schritt nach dem anderen rechnen muss, würde man immer zwischen 1 und 0 hin und her springen. Hier erscheint es vielleicht sinnvoll zu sagen, dass der Schnitt bei 1/2 liegt. Die unendliche Summe mit einem endlichen Wert gleichzusetzen scheint jedoch unlogisch zu sein, denn es gibt kein Ende im unendlichen Prozess der Rechnung. Da die Summe unendlich ist, scheint es mir logisch unmöglich, sie nicht als unendlichen Prozess zu betrachten, der aufgrund seines wechselndes Ergebnisses sich nicht zu einem Wert zusammenfassen lässt (die Summe konvergiert nicht).

Es stellt sich die Frage warum man in der Mathematik Regeln aufstellt bzw. anwendet, welche eigentlich offensichtlich unlogisch sind. Nach dem Banach-Tarski-Paradoxon lässt sich eine Kugel logisch verdoppeln. Eine Logik die das zulässt ist jedoch nicht logisch. Es handelt sich deswegen um ein „Paradoxon“, weil wir intuitiv sagen, dass es nicht sein kann bzw. sein darf. Und Logik ist in gewissem Sinne letztendlich auch nur, was wir „logisch“ finden bzw. als logisch festlegen. Deswegen, so scheint es mir, ist die Logik bzw. die Mathematik in diesem Fall fehlerhaft, bzw. sollte als fehlerhaft betrachtet werden. Es gibt zwar in der Mathematik komplexe Erklärungen und Beweise der zahlreichen, intuitiv unlogischen Phänomene, jedoch kenne ich mich zu wenig aus um nachvollziehen zu können, ob diese meine Argumentationen widerlegen können. Eine Möglichkeit wäre also, dass unsere intuitive Logik falsch ist und wir eine bessere bzw. „wahrere“ Logik erkennen können. Wie kann jedoch unsere Intuition falsch sein, wenn uns ihre Begründung doch so offensichtlich richtig und logisch erscheinen? Die Mathematik scheint absichtlich die Logik zu brechen, um über die Grenzen der Logik hinaus als sprachliches Konstrukt agieren zu können. Mit der Sprache der Mathematik stellen wir also Behauptungen auf, die unserer intuitiven Logik widersprechen. Mit intuitiver Logik meine ich, dass sie gegeben ist, und wir nichts daran ändern können, dass wir z.B. denken, dass wenn man zu etwas immer etwas hinzugefügt, es dann nur immer mehr wird, und dass dies auch in der Unendlichkeit gilt. Wir können jedoch nicht anders als Sachen als falsch zu betrachten die dieser intuitiven Logik widersprechen. Unsere grundlegendsten intuitiven Logiken erscheinen uns so unumgehbar, dass es uns unsinnig erscheint ihr widersprechende Behauptungen aufzustellen. Dennoch scheint es sinnvolle Anwendungen (auch in der physischen Wirklichkeit) für solche Mathematik zu geben.

„Logisch“ wird oft synonym zu (im tautologischen Sinne) folgerichtig bzw. richtig geschlussfolgert verwendet, und „unlogisch“ synonym zu widersprüchlich. Zwei Aussagen sind also logisch, wenn die eine aus der anderen folgt (bzw. beide aus anderen Aussagen folgen), und sie sind unlogisch, wenn sie sich widersprechen (bzw. anderen Aussagen widersprechen). Jedoch kann nicht nur eine Schlussfolgerung logisch sein, sondern auch jegliche Information – nämlich dann, wenn sie den Regeln einer Logik entspricht.

In der herkömmlichen Definition von Logik bezüglich Wenn-Dann-Aussagen scheint es mir einen Fehler zu geben. Das Problem habe ich unter folgendem Link dargelegt: bit.ly/wenndann