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Grundlage für die Bemessung querzugbeanspruchter Bereiche im Holzbau ist die linear-elastische Bruchmechanik (LEBM). In der Bruchmechanik wird davon ausgegangen, dass sich ein schon vorhandener Riss oder eine Fehlstelle, welche aus der Produktion bzw. den Wuchsmerkmalen des Holzes resultiert, unter einer Beanspruchung aufweitet und verlängert. Aufgrund des Faserverlaufs kann sich ein Riss im Holz in drei verschiedene Richtungen entwickeln (siehe Abb. 1.4a). Eine Belastung senkrecht zur Faser führt zu einem Aufreißen des Holzes nach Modus I. Schubkräfte in Längsrichtung des Holzes führen zu einem Schubversagen zwischen den Fasern nach Modus II. Die Schubbeanspruchung senkrecht zur Faser nach Modus III wird als Rollschub bezeichnet. In vielen Fällen tritt eine kombinierte Beanspruchung des Holzes nach Modus I und Modus II auf. Da die Rollschubfestigkeit des Holzes wesentlich geringer ist als die Schubfestigkeit längs zur Faser, sollte eine Beanspruchung in Modus III möglichst ganz vermieden werden. Eine Ausnahme gilt allerdings für das Brettsperrholz. Dort spielt der Rollschub beim Lastabtrag eine entscheidende Rolle, wie in Abschn. 2.3 gezeigt wird.

Liegt eine Beanspruchung senkrecht zur Faserrichtung vor, dann reagiert das Holz mit linear-elastischem Verhalten, bis die Querzugfestigkeit fc_,90 oder die maximale Dehnung δ₁ an der Rissspitze erreicht ist (siehe Abb. 1.4b). Bei Überschreitung der Festigkeit wird ein neuer Riss an dieser Stelle initiiert oder ein vorhandener Riss wird länger. Ab einer gewissen Risslänge kommt es zu einem unkontrollierten Anwachsen des Risses und zu einem Sprödbruch ohne Vorankündigung. Die aufgebrachte Last kann nicht gehalten werden und das Bauteil versagt.

Abb. 1.4 (a) Beanspruchungsmoden und (b) beispielhafte Spannungs-Dehnungs-Beziehung bei einer Beanspruchung in Modus I.

Abb. 1.5 Eingeschnittener Balken mit zwei Einzellasten.

Die Bruchmechanik beschäftigt sich mit der Erfassung der oben beschriebenen Mechanismen. Die grundlegenden Zusammenhänge für querzugbeanspruchte Holzbauteile wurden von Per Johan Gustafsson (1988) zusammengestellt.

Die erforderlichen Gleichungen können anschaulich und beispielhaft für das in Abb. 1.5 dargestellte Bauteil hergeleitet werden. Die kritische Kraft Fcrit ist dann erreicht, wenn ein im lastfreien Zustand bereits vorhandener Riss der Länge a unkontrolliert fortschreitet.

Das Gesamtpotenzial Π ergibt sich aus der Energiebilanz

(1.16)

mit

Die beim Risswachstum in der Bruchfläche freigesetzte Energie W ₀ wird z. B. in Wärme und Schall umgewandelt.

Das Risswachstum erreicht den kritischen Wert ac und geht in einen instabilen Bereich über, wenn das Maximum der Gesamtenergie erreicht ist (siehe Abb. 1.6a):

(1.17)

(1.18)

Die in diesem Zusammenhang definierte Griffith-Konstante Gc ist als Verhältnis der freigewordenen Energie zur Änderung der Bruchfläche definiert. Für das Beispiel aus Abb. 1.5 können die gespeicherte Energie Wi und die Arbeit der äußeren Lasten Wa mit der Biegesteifigkeit der Einzelquerschnitte ermittelt werden. Die Formänderungsenergie Wi wird über die Verformung der Einzelquerschnitte für u und u + du in Abb. 1.6b dargestellt. Dabei wird vorausgesetzt, dass der Riss bereits instabil ist, d. h., er wächst, ohne dass die Kraft zunimmt. Damit ist die kritische Bruchlast Fcrit erreicht.

Mit

(1.19)

Abb. 1.6 (a) Energiebilanz und (b) Last-Verformungs-Beziehung beim Rissfortschritt.

und

(1.20)

lässt sich eine Ersatzfedersteifigkeit für die beiden Kragarme in Abb. 1.5 beschreiben:

(1.21)

Der Zuwachs der inneren Arbeit (Formänderungsenergie) ergibt sich aus der Differenz von

(1.22)

und

(1.23)

(1.24)

Der Zuwachs der äußeren Arbeit lässt sich angeben als:

(1.25)

Durch Einsetzen von Gln. (1.23) und (1.24) in Gl. (1.18) folgt mit

(1.26)

(1.27)

Mit der Definition der Ersatzfedersteifigkeit

(1.28)

und deren Ableitung nach u

(1.29)

erhält man

(1.30)

Die Ableitung von Gl. (1.21) nach a ergibt

(1.31)

Mit Gln. (1.30) und (1.31) in Gl. (1.27) eingesetzt, lässt sich eine Bezeichnung zwischen der kritischen Bruchlast und der Griffith-Konstanten angeben:

(1.32)

Die zugehörige kritische Bruchlast beträgt:

(1.33)

Folgende Bezeichnungen wurden für diese Herleitung verwendet:

u	Größe der Verformung zwischen den Kragträgern,
b	Breite der Rissfiäche bzw. des Bauteils,
a	Abstand der Lasteinleitung zum Ende des Einschnitts,
F	aufgebrachte Last,
E	E-Modul des Werkstoffs,
I	Flächenträgheitsmoment des Einzelquerschnitts,
k	Federkennwert des Biegeträgers,
c = 1/k	Federsteifigkeit,
d u	Änderung der Rissöffnung,
d a	Änderung der Risslänge,
d c	Änderung der Ersatz-Federsteifigkeit,
G c	Bruchenergie [J/m2] oder [N/mm].

Die auf eine infinitesimale Fläche bezogene Energiefreisetzung kann als spezifische Bruchenergie aufgefasst werden. Die Größe der Griffith-Konstanten lässt sich über die Fläche unter dem Last-Verformungs-Diagramm nach Abb. 1.4b veranschaulichen. Hier wurde eine bilinear vereinfachte Spannungs-Dehnungs-Beziehung verwendet, deren Flächeninhalt der spezifischen Bruchenergie entspricht. Die Bruchenergie des Holzes ist maßgeblich von der Rohdichte abhängig und liegt für Nadel- und Brettschichtholz etwa bei G_c = 0,3 N/mm² für Zugbeanspruchung senkrecht zur Faserrichtung. Die Bruchenergie wird aus Versuchen ermittelt.

Die Gleichung für die kritische Kraft Fcrit zeigt, dass die maximal aufzubringende Kraft nicht direkt von der Querzugfestigkeit des Materials abhängig ist. Die bestimmenden Werkstoffparameter sind die spezifische Bruchenergie und der E-Modul. Eine zweite Erkenntnis aus Gl. (1.33) ist die starke Abhängigkeit der Bruchlast von der Querschnitthöhe. Dies zeigt, dass ein reiner Spannungs-Festigkeits-Nachweis der Bauteilgeometrie am Riss nicht ausreicht, da sich ein Maßstabseffekt ergibt, der bei der Bemessung zu berücksichtigen ist.