Читать книгу ЧУДЕСА АРИФМЕТИКИ ОТ ПЬЕРА СИМОНА ДЕ ФЕРМА - Юрий Вениаминович Красков - Страница 10

Постановка задачи выглядит следующим образом:

«Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат».

Ферма предложил найти решения для чисел 61, 109, 149, и 433 [36].

Способ, как вычислить требуемые числа, сумел найти английский математик Джон Валлис, применив метод Евклида разложения иррационального числа в бесконечную простую дробь. Своё решение он опубликовал его под названием «Commercium epistolicum» см. рис. 37-38.

Рисунок 36. Джон Валлис – единственный учёный, решивший одну задачу Ферма при его жизни

Рисунок 37. Титульная страница публикации Валлиса «Commercium epistolicum»

Рисунок 38. Страница 64 «Commercium epistolicum», демонстрирующая метод Валлиса

Хотя Валлис и не дал полное доказательства правомерности этого метода, Ферма всё же признал, что с задачей он справился. К решению почти вплотную приблизился Эйлер, когда он показал, что эта дробь цикличная, однако и ему не удалось довести доказательство до конца, и в конечном итоге эту задачу всё-таки решил Лагранж. Позже уже своим способом решение нашёл также Гаусс, но для этого была задействована созданная им обширная теория под названием «Арифметика вычетов». И всё было бы хорошо, если бы доказательство Лагранжа не относилось к категории высшей трудности, а решение Гаусса не опиралось на сложнейшую теорию. Ведь сам Ферма явно не мог следовать ни тем, ни другим путем. О том, как он сам решил эту задачу, он сообщает в письме-завещании в августе 1659 г. [36]: «Я признаю, что г-н Френикль дал различные частные решения этого вопроса, а также г-н Валлис, но общее решение будет найдено с помощью метода спуска, примененного умело и надлежащим образом». Однако это решение Ферма так и осталось для всех тайной за семью печатями!

Мы попробуем здесь немножко приоткрыть завесу над этой тайной. Для этого мы рассмотрим простой пример вычислений по методу Валлиса и затем сравним его с тем, как можно было бы сделать эти вычисления по методу Ферма. Итак, нам нужно найти самое маленькие числа x и y, удовлетворяющие уравнению Ax²+1=y². Пусть A=29, тогда вычисления методом Валлиса выглядят следующим образом [32]:

a=√29; a₀=|a|=5

a₁=1/(a₀−5)=1/(√29−5)=(√29+5)/4; a₁=|a₁|=2

a₂=1/(a₁−2)=1/(√29−5)=(√29+3)/5; a₂=|a₂|=1

a₃=1/(a₂−1)=1/(√29−2)=(√29+2)/5; a₃=|a₃|=1

a₄=1/(a₃−1)=1/(√29−3)=(√29+3)/4; a₄=|a₄|=2

a₅=1/(a₅−2)=4)=(√29+5); a₅=|a₅|=10

a₆=1/(√29−5)=a₁

Из этой последовательности вычислений цепочка подходящих дробей получается обратным ходом, т.е. от a₅ до a₀ и выглядит как: 5/1; 11/2; 16/3; 27/5. В итоге получаем 70/13. Тогда минимальным решением будет:

X₁√29+у₁=(13√29+70)²=1820√29+9801; x₁=1820; y₁=9820

Валлис не сумел доказать, что такой способ вычислений даёт решения для любого неквадратного числа A. Однако он догадался, что цепочка вычислений заканчивается там, где a₆ будет вычисляться по той же формуле, что и a₁. Чтобы понимать смысл этой цепочки вычислений, нужно изучить очень объёмистую и исключительно трудную теорию [7, 14, 18, 21, 27], которую Ферма в то время не смог бы разработать. Поскольку никаких рабочих рукописей Ферма по арифметики не сохранилось, то возникает естественный вопрос: как же он мог сформулировать такую трудную задачу, о которой до него было очень мало сведений?

Для сегодняшней науки такой вопрос явно выходит за рамки её возможностей, т.к. для неё верхом достижений при решении задач Ферма является любой результат, даже раздутый до таких невероятных размеров, которые мы имеем сегодня. Однако трудно себе представить, как будет удручена эта наша уважаемая наука, когда из этой книжки она узнает, что задача была решена Ферма вовсе не для великих учёных, а … для школьников!!! Но мы здесь не можем позволить себе её так сильно огорчать, поэтому отметим только то, что приводимый в учебниках пример очень неудачный, т.к. он решается совсем просто, а именно: x=2mz, где m<x, z<y, Am²−1=z². Это последнее уравнение отличается от исходного лишь знаком и даже методом обычных проб, не прибегая к иррациональным числам, можно легко найти решение m=13; z=70; x=2×13×70=1820; y=9820.

Очевидно, что в учебниках было бы гораздо уместнее демонстрировать пример с числом 61, т.е. наименьшим числом, предложенным самим Ферма. Как он сам решил эту задачу, науке неизвестно, но мы-то уже неоднократно демонстрировали, что узнать это для нас не проблема. Нужно всего-то лишь ещё разочек заглянуть в тайник тулузского сенатора и, как только нам это удалось, мы быстро нашли нужный пример, чтобы его можно было сравнить с методом Валлиса. В этом примере, также, как и в случае с числом 29, можно вычислить x=2mz, где m и z это решения соответствующего уравнения 61m²–z²=1. Тогда цепочка вычислений получается следующим образом:

61m²–z²=1; m=(8m₁±z₁)/3=(8×722+5639)/3=3805; z²=61×3805²–1=29718²

61m₁²– z₁²=3; m₁=(8m₂±z₂)/3=(8×137+1070)/3=722; z₁²=61×722²–3=5639²

61m₂²–z₂²=9; m₂=(8m₃±z₃)/3=(8×26+203)/3=137; z₂²=61×137²–9=1070²

61m₃²–z₃²=27; m₃=(8m₄±z₄)/3=(8×5+38)/3=26; z₃²=61×26²–27=203²

61m₄²–z₄²=81; m₄=(8m₅±z₅)/3=(8×2–1)/3=5; z₄²=61×5²–81=38²

61m₅²– z₅²=243; m₅=2; z₅²=1

Мы не будем раскрывать все нюансы этого метода, иначе всякий интерес к этой задаче был бы утрачен. Мы отметим лишь, что по сравнению с методом Валлиса, где метод спуска не применяется, здесь он присутствует в явном виде. Это выражается в том, что если числа m и z, удовлетворяющие уравнению 61m²–z²=1, существуют, то должны ещё существовать числа m₁<m и z₁<z, удовлетворяющие уравнению 61m₁²–z₁²=3, а также числа m₂<m₁ и z₂<z₁, из уравнения 61m₂²–z₂²=9, и т.д. вплоть до минимальных значений m₅<m₄ и z₅<z₄. Число 3, фигурирующее в спуске, вычисляется как 64–61, т.е. как разница между 61 и ближайшим к нему квадратом. Вычисления, также, как и при методе Валлиса, ведутся в обратном порядке, т.е. только после того, как будут вычислены минимальные значения m_{5 и} z₅. В результате получаем:

m=3805; z=29718; x=2mz=2×3805×29718=226153980

y=√(61×226153980²+1)=1766319049.

Конечно, знатоки существующей ныне теории быстро заметят в этом примере то, что полученные в нём результаты вычислений в точности совпадут с теми, которые можно получить методом Валлиса. Однако для этого им придётся использовать иррациональное число √61, а наш пример с методом Ферма показал, что можно делать вычисления исключительно в рамках арифметики, т.е. только в натуральных числах. Несомненно также, что знатоки без особых усилий догадаются, как получить формулы, показанные в нашем примере. Однако для них будет совсем непросто объяснить, как применять этот метод Ферма в общем случае, ведь из нашего примера совсем не ясно, как можно определить, что конечной целью является решение уравнения

61m₅²– z₅²=243, из которого следует вести вычисления с обратным отсчётом.

Было бы просто превосходно, если бы сегодняшняя наука смогла объяснить метод Ферма во всех деталях, однако даже призрачные надежды на это пока не просматриваются. Более реалистично было бы ожидать, что будут предприняты попытки опровержений данного примера как демонстрации неизвестного науке метода решения проблемы. Тем не менее, ей придётся считаться с тем, что этот пример пока остаётся единственным за всю историю (!!!) подтверждением того, о чём Ферма сообщал в своём письме-завещании. Когда эта тайна будет раскрыта полностью, то все скептики будут посрамлены, и им не останется ничего иного, как признать Ферма более великим, чем все остальные величайшие учёные. Ведь их признавали таковыми главным образом потому, что они создавали теории, настолько трудные для понимания нормальных людей, что они могли только вызывать непомерный ужас у студентов, которым приходится теперь отдуваться за такую науку.43

Итак, мы продемонстрировали здесь решения задач Ферма (методом спуска!), а именно:

1) доказательство основной теоремы арифметики

2) доказательство теоремы о единственном решении уравнения p³=q²+2

3) способ доказательства Золотой теоремы Ферма

4) способ решения уравнения Архимеда-Ферма Ax²+1=y²

К этому списку можно добавить также доказательство самого грандиозного открытия Ферма о простых числах типа 4n+1=a²+b², которое мы изложим в другом стиле (Приложение III, рассказ «Год 1680». За прошедшие 350 (!!!) лет после публикации этих задач Ферма, всей существующей науке такой результат не мог даже и присниться! Но, благодаря тайнику тулузского сенатора, для нас это было лишь лёгкой разминкой перед тем, как мы можем теперь перейти к самой знаменитой и нерешённой до сих пор проблеме под названием «Великая теорема Ферма».

43

Примеры демонстрируются во множестве видео из Интернета, в частности

https://www.youtube.com/watch?v=wFz8W2HsjfQ

https://www.youtube.com/watch?v=cUytn2SZ1n4

https://www.youtube.com/watch?v=ZhVNOgaBStY

Впрочем, эти примеры никак не умаляет достоинств профессоров, отлично знающих своё дело.