Читать книгу ЧУДЕСА АРИФМЕТИКИ ОТ ПЬЕРА СИМОНА ДЕ ФЕРМА - Юрий Вениаминович Красков - Страница 13

Представленное здесь реконструированное доказательство ВТФ содержит неизвестные сегодняшней науке новые открытия. Однако от этого оно ничуть не становится трудным для понимания. Скорее наоборот, именно эти открытия и позволяют решить эту проблему наиболее просто и доступно. Сам феномен недоказуемой ВТФ вообще не появился бы, если бы Французская Академия наук была создана ещё при жизни П. Ферма. Тогда он стал бы академиком и публиковал свои научные исследования, а среди его теорем во всех учебниках по арифметике была бы и вот такая самая обычная теорема:

Для любого заданного натурального числа n>2 не существует ни одной тройки натуральных чисел a, b, c, удовлетворяющих уравнению

aⁿ + bⁿ = cⁿ (1)

Для доказательства этого утверждения, предположим, что числа a, b, c, удовлетворяющие (1), существуют и тогда, исходя из этого, мы можем получить все без исключения решения этого уравнения в общем виде. С этой целью мы задействуем метод ключевой формулы, при котором к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение, чтобы стало возможно получить решение (1) в системе из двух уравнений. В нашем случае ключевая формула имеет вид:

a+b=c+2m (2)

где m натуральное число.

Для получения формулы (2) отмечаем, что a≠b, т.к. иначе 2aⁿ=cⁿ, что очевидно невозможно. Следовательно, a<b<c и можно констатировать, что (a^n-1+b^n-1)>c^n-1, откуда (a+b)>c. Поскольку в (1) случаи с тремя нечётными a, b, c, а также с одним нечётным и двумя чётными невозможны, то числа a, b, c могут быть либо все чётные, либо два нечётных и одно чётное. Тогда из (a+b)>c следует формула (2), где число 2m чётное56.

Вначале проверим действенность метода для случая n=2, или уравнения Пифагора a²+b²=c². Здесь действует ключевая формула (2) и можно получить решение системы уравнений (1), (2), если сделать подстановку одного в другое. Чтобы её упростить, возведём в квадрат обе стороны (2), чтобы сделать числа в (1) и (2) соразмерными. Тогда (2) принимает вид:

{a²+b²−c²}+2(c−b)(c−a)=4m² (3)

Подставляя уравнение Пифагора в (3), получаем:

A_iB_i=2m² (4),

где с учетом формулы (2): A_i=c−b=a−2m; B_i=c−a=b−2m (5)

Теперь раскладываем на простые множители число 2m², чтобы получить все варианты A_iB_i. Для простых чисел m всегда есть только три варианта: 1×2m²=2×m²=m×2m. В этом случае A₁=1; B₁=2m²; A₂=2; B₂=m²; A₃=m; B₃=2m. Поскольку из (5) следует a=A_i+2m; b=B_i+2m; а из (2) c=a+b−2m; то в итоге получаем три решения:

1. a₁=2m+1; b₁=2m(m+1); c₁=2m(m+1)+1

2. a₂=2(m+1); b₂=m(m+2); c₂= m(m+2)+2 (6)

3. a₃=3m b₃=4m; c₃=5m

Уравнения (6) являются решениями уравнения Пифагора для любого натурального числа m. Если же число m составное, то соответственно увеличивается и число решений. В частности, если m состоит из двух простых множителей, то число решений возрастает до девяти57.

Таким образом, мы имеем новый способ вычисления всех без исключения троек чисел Пифагора, задавая при этом только одно число m, вместо двух чисел, которые нужно задавать в тождестве пифагорейцев. Однако полезность этого метода только этим не исчерпывается, поскольку эта же ключевая формула (2) действительна и для получения общего решения уравнений с более высокими степенями.

Используя способ получения решений (1) для случая n=2, можно точно также получить решения и для степеней n>2, выполнив подстановку (1) в (2), и возведя предварительно обе стороны (2) в степень n. Чтобы это можно было сделать, выведем вначале следующую формулу58:

(x+y)ⁿ=zⁿ=zz^n-1=(x+y)z^n-1=xzz^n-2+yz^n-1=

=x(x+y)z^n-2+yz^n-1=x²zz^n-3+y(z^n-1+xz^n-2)+…

(x±y)ⁿ=zⁿ=xⁿ±y(x^n-1+x^n-2z+x^n-3z²+…+xz^n-2+z^n-1) (7)

Назовём выражение в скобках, состоящее из n слагаемых, «симметричный полином» и будем представлять его в виде (x++z)_n как сокращённый вариант написания. Теперь по формуле (7) возведём обе стороны формулы (2) в степень n следующим образом.

[a−(c−b)]ⁿ=aⁿ+{bⁿ−cⁿ+(cⁿ−bⁿ)}−(c−b)[a^n-1+a^n-22m+…+ a(2m)^n-1+(2m)^n-1]=(2m)ⁿ

Затем посредством тождества

(cⁿ−bⁿ)=(c−b)(c^n-1+c^n-2b+…+cb^n-2+b^n-1), получаем:

{aⁿ+bⁿ−cⁿ}+(c−b)[(c++b)_n−(a++2m)_n]=(2m)ⁿ (8)

Уравнение (8) является формулой (2), возведённой в степень n, в чём можно убедиться, если подстановкой c−b=a−2m в (8) получить тождество59:

{aⁿ+bⁿ−cⁿ}+(cⁿ−bⁿ)−[aⁿ−(2m)ⁿ]=(2m)ⁿ (9)

В этом тождестве натуральные числа a, b, c, n, m, естественно, могут быть любыми. Вопрос только в том, есть ли среди них такие, что {aⁿ+bⁿ−cⁿ} равно нулю? Однако аналогия с решением уравнения Пифагора на этом и заканчивается, т.к. подстановка (1) в (8), никак не обоснована. И действительно, при подстановке (1) в (3) хорошо известно, что уравнение Пифагора имеет сколько угодно решений в натуральных числах, а для случаев n>2 такого факта нет ни одного. Следовательно, не исключается подстановка в (8) несуществующего уравнения (1), что должно привести к противоречиям.

Тем не менее, такая подстановка легко выполнима и в итоге получится уравнение, очень похожее на (4), которое даёт решения уравнения Пифагора. Учитывая это обстоятельство, мы в качестве пробы всё-таки подставим (1) в (8), но при этом модифицируем (8) так, чтобы за квадратные скобки был вынесен ещё один множитель (c−a) 60. Тогда получим:

A_iB_iE_i=(2m)ⁿ (10)

где A_i = c−b=a−2m; B_i=c−a=b−2m; E_i – полином степени n−2.

Уравнение (10) является призраком, который видится явно только на фоне предположения, что число {aⁿ+bⁿ−cⁿ} сокращено при подстановке (1) в (8). Но стоит его хотя бы один раз тронуть, как оно сразу рассыпается в прах. Например, если

A_i×B_i×E_i=2m²×2^n-1m^n-2; то как один из вариантов может быть такая система

A_iB_i=2m²; E_i=2^n-1m^n-2

В этом случае, как мы уже установили выше, из A_iB_i=2m² следует, что для любого натурального числа m решениями уравнения (1) должны быть числа Пифагора. Однако при n>2, эти числа явно не подходят, а проверить какой-то другой случай уже нет никакой возможности, т.к. в данном случае, (как и при любом другом варианте отсутствия решений), другая подстановка будет уже точно неправомерна и уравнение-призрак (10), из которого только и можно получить решения, исчезает 61. Поскольку прецедент с неудачной попыткой получения решений уже создан, то можно не сомневаться в том, что и все другие попытки получить решения из (10) будут неудачными, из-за того, что как минимум в одном случае условие {aⁿ+bⁿ−cⁿ}=0 не выполняется, т.е. уравнение (10) получено подстановкой несуществующего уравнения Ферма (1) в ключевую формулу (2). Следовательно, натуральные числа a, b, c, удовлетворяющие уравнению (1) при n>2, не могут существовать, и Великая теорема Ферма доказана.62

Итак, теперь мы имеем восстановленное авторское доказательство самой знаменитой теоремы Ферма. В нём есть интересные идеи, но в то же время нет ничего такого, что для науки могло быть недоступно в течение более трёхсот лет. Также и с точки зрения трудности понимания его сути оно тянет от силы на 8-й класс средней школы. Несомненно и то, что ВТФ является очень важной составной частью теории чисел. Однако нет никаких видимых причин тому, чтобы эта задача на века стала неразрешимой проблемой, даже несмотря на то, что в поисках её решения приняли участие миллионы профессиональных учёных и любителей. Только и остаётся теперь сокрушаться – вот ведь какой он, этот нечестивый!

После того как с восстановлением доказательства ВТФ всё завершилось так благополучно, многие будут разочарованы, т.к. теперь сказке конец, тема закрыта и ничего здесь интересного не осталось. Но так было раньше, когда в арифметике были только ребусы, а мы-то знаем, что это не так, поэтому для нас сказка не только не закончилась, а даже ещё и не началась! Ведь мы пока раскрыли секрет только двух записей Ферма из шести, восстановленных нами в начале нашего исследования. Чтобы это стало возможно, мы совершили остросюжетный исторический экскурс, в котором ВТФ была путеводителем экстра класса. Это путешествие подвигло нас задействовать наши возможности и заглянуть в эти запретные «еретические письмена» Ферма, чтобы сделать, наконец-то, истинную науку в лице самой фундаментальной дисциплины арифметики, доступной для нашей разумной цивилизации и позволяющей ей на этом сверхпрочном фундаменте развиваться и процветать так, как никогда прежде.

Мы можем честно признаться, что пока ещё не всё, что находится в тайнике Ферма, доступно и понятно для нас. Более того, мы не можем даже определить, где находится это место. Но и заявлять, что всё, что мы здесь рассказываем – это только наше, было бы явно несправедливо и нечестно. Да нам просто бы никто тогда и не поверил. С другой стороны, если бы всё было так просто, то это было бы совсем никому и не интересно. Самое плохое, что можно было бы сделать – это раскрыть всё содержание тайника Ферма, чтобы о нём все забыли сразу после прочтения.

Мы поступим по-другому. Если что-то и будет раскрыто, то лишь для того, чтобы дать возможность узнать о ещё более сокровенных тайнах науки, которые не просто сделают всех умнее, а укажут лучшие способы решения насущных проблем. На примере решения проблемы ВТФ в этом будет совсем нетрудно убедиться, поскольку именно с её решением наука получает такую надёжную точку опоры, что сможет выполнять с целыми степенями всё, что пожелает. В частности, она запросто вычислит сколько угодно таких целых степеней, которые в сумме или в разности опять-таки дадут целую степень. То, что сейчас такую работу может перелопачивать только компьютер, для современной науки очень стыдно, ведь эта задачка слишком проста даже для детей.

Наиболее смышлёные из них явно предпочтут, чтобы взрослые попросили их разъяснить что-то более трудное, например, доказательство ВТФ, которое в их времена было совершенно им недоступно. Дети, естественно, не преминут поозорничать и будут важничать как великосветские вельможи, при ответах на глупые вопросы взрослых поучая и указывая им, что кое кому не мешало бы ещё кое чему и подучиться. Но это будут ещё только цветочки. А вот дальше изумление взрослых станет просто неописуемым, когда они узнáют, что дети повадились подсматривать и списывать всё, что их интересует прямо из тайника Ферма! Ведь в их-то возрасте они ещё не осознают своих возможностей и им кажется, что это совсем нетрудное дело.

Впрочем, если бы они не читали интересные книжки про науку, то такая идея им бы и в голову не пришла. Но когда они узнáют, что кто-то так делает, то обнаружат, что у них это получается совсем не хуже, если даже не лучше! Не верите? Ну что же, всем желающим убедиться в этом такая возможность сейчас представится. Правда, остаётся ещё одна маленькая деталь. Ферма в своих «еретических письменах», хоть и указал, что три простенькие теоремы для детей, которые он специально для них и подготовил, нужно ещё снабдить доказательствами, но пока у него для этого нет времени, тем не менее твёрдо пообещал, что как только оно у него появится, то он непременно и обязательно это сделает.

Но видимо недосуг ему было, и он так не успел добавить нужные записи. А может быть он и передумал, т.к. не хотел лишать детей радости самим научиться решать как раз такие задачки, которые взрослым не по силам. Если дети даже не справятся, то кто же упрекать-то будет за это. А вот если справятся, то никуда уж взрослые не денутся и много-много подарков им тогда принесут!

4.4. Теоремы о волшебных числах

Приведенное выше доказательство ВТФ не только соответствует оценке Ферма как «поистине удивительное», но и является конструктивным, поскольку оно позволяет вычислять новым способом как числа Пифагора, так и другие особые числа, что демонстрируют следующие теоремы.

Теорема 1. Для любого натурального числа n можно вычислить сколько угодно троек из разных натуральных чисел a, b, c, таких, что n=a²+ b²–c². Например,

n=7=6²+14²–15²=28²+128²–131²=568²+5188²–5219²=

=178328²+5300145928²–5300145931² и т. д.

n=34=11²+13² –16²=323²+3059²–3076²=

=247597² +2043475805²–2043475820² и т. д.

Смысл этой теоремы в том, что если существует бесконечное множество пифагоровых троек, образующих число ноль в виде: a²+b²−c²=0; то ничто не мешает создавать таким же образом и любое другое целое число. Из текста теоремы следует, что числа с такими свойствами «можно вычислить», поэтому она очень полезна для использования её в целях обучения детей в школе.

Мы в данном случае не поступим опрометчиво и не дадим ни здесь, ни где-нибудь в другом месте доказательства этой теоремы, но вовсе не потому, что хотим сохранить его в секрете. Более того, мы будем рекомендовать и для школьных учебников или других книг, (если, конечно, она там появится), не раскрывать доказательство, т.к. иначе её образовательное значение будет утрачено, а дети, которые могли бы проявить здесь свои способности, лишатся такой возможности. С другой стороны, если бы доказательство ВТФ оставалось бы неизвестным, то теорема 1 была бы очень трудной, но поскольку это теперь не так, то даже не очень способные ученики быстро догадаются как её доказать и, как только они это сделают, то легко выполнят приведенные выше вычисления. Тем более не может быть проблемой такая задача для учителей, поэтому помещать доказательство в учебниках будет методологической ошибкой. Также нужно поступить и с теоремами 2 и 3, которые будут уже для настоящих волшебников, а потому и значительно более трудные. Ключ к их доказательству находится в доказательстве теоремы 1, причём он лежит там на виду буквально у всех под носом, но он так искусно скрыт от непосвящённых, что увидеть его дано не всем. Если же не последовать нашей рекомендации и доказательства теорем 1, 2, 3 опубликовать в учебниках, то дети уже не смогут сами своими силами разгадать секрет волшебной сказки. Итак, из теоремы 1 теперь следует:

Теорема 2. Для любого натурального числа n существует как минимум одна тройка волшебных чисел a, b, c, таких, что

n=a²+b²–c²=a+b–c. Например,

n=2063=3094²+4126²–5157²=3094+4126–5157

n=65387=98080²+130774² –163467²=98080+130774–163467

Если предыдущая теорема мало отличается от первой части доказательства ВТФ для случая n=2, то эта теорема даже чисто внешне выглядит очень удивительно. Обычно первая реакция людей на уравнение из теоремы 2 – как, разве это возможно? Впрочем, по факту от одного человека пример решения мы получили почти сразу: 1²+1²–1²=1+1–1. А одна 13-летняя девочка по имени Вика Ильиных, увидев у своей бабушки листочек с любопытным уравнением, спросила, что с ним нужно делать, и после разъяснения попыталась подобрать нужные числа. Минут через десять она вернула листочек изумлённой бабушке и сказала: «Вот, я решила». На нём было: 4=7+6–9=49+36–81.

Эти примеры указывают лишь на то, что для некоторых конкретных чисел эта теорема верна, но если она будет доказана, то станет понятно, как можно без особых усилий делать вычисления для любых сколь угодно больших чисел. Вопрос о доказательстве может стать очень сложным не только для детей, но и умудрённых опытом профессоров. Но у детей шансов всё-таки больше, поскольку они не отяжелены балластом прошлых знаний.

Основная польза от таких теорем не в том, чтобы задействовать их в каких-то практических вычислениях, а в том, что они будят мысль и развитие у людей творческих способностей, хотя непременно найдутся и такие случаи, когда можно очень эффективно применять такие необычные конструкции из чисел, например, в целях шифрования информации. Однако только вот такое потребительское отношение к знаниям лишает их духовного наполнения и не даёт достаточного простора для живого творчества. Без такого наполнения наука становится мёртвой и неспособной пробуждать к себе никакого интереса. В такой науке просто никак не было бы места для вот такой потрясающей и в высшей степени замечательной теоремы.

Теорема 3. Можно вычислить сколько угодно натуральных чисел n_i