Читать книгу Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios - Carlos José Castillo - Страница 14

19. Según un estudio relacionado con el uso de tecnología en los hogares se determinó que el 25 % de los hogares del distrito de Lince poseen al menos un equipo de cómputo portátil (laptop, notebook o ultrabook), mientras que el 40 % de los hogares del distrito de Jesús María poseen al menos un equipo de cómputo portátil. Suponga que se seleccionan 125 y 120 hogares de los distritos de Lince y Jesús María, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de hogares del distrito de Lince que poseen al menos un equipo de cómputo portátil difiera de la proporción muestral del distrito de Jesús María en menos de 0.05?

Solución

Se tiene que:

p₁: Proporción muestral de hogares del distrito de Lince que poseen al menos un equipo de cómputo portátil

π₁ = 0.25, n₁ = 125

p₂: Proporción muestral de hogares del distrito de Jesús María que poseen al menos un equipo de cómputo portátil

π₂ = 0.40, n₂ = 120

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que: (p₁ - p₂) ∼ N(-0.15;0.05916²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P(|p₁ - p₂| < 0.05)

P(|p₁ - p₂| < 0.05) = P(- 0.05 < p₁ - p₂ < 0.05) = 0.04512

20. En un estudio sobre el consumo de bebidas energizantes se determinó que el 40 % y 32 % de los jóvenes de los distritos de Santiago de Surco y La Molina, respectivamente, consumen algún tipo de bebida energizante. Suponga que se han seleccionado igual número de jóvenes de ambos distritos para que formen parte de la muestra en estudio. Si se ha calculado que existe una probabilidad de 0.63 de que la proporción muestral de jóvenes que consumen algún tipo de bebida energizante en el distrito de Santiago de Surco supere a la proporción correspondiente al distrito de La Molina en por lo menos 0.05. ¿Cuántos jóvenes fueron seleccionados en dichos distritos?

Solución

Se tiene que:

p₁: Proporción muestral de jóvenes del distrito de Santiago de Surco que consumen algún tipo de bebida energizante.

p₁: Proporción muestral de jóvenes del distrito de La Molina que consumen algún tipo de bebida energizante.

π₂ = 0.32, n₂ = ¿?

Se sabe que:

Entonces:

π₁ − π₂ = 0.40 − 0.32 = 0.08

n₁ = n₂ = n

Se tiene que:

Además:

Se solicita calcular n, tal que: P(p₁ − p₂ ≥ 0.05) = 0.63

Por lo tanto:

MISCELÁNEA DE PROBLEMAS

21. Con el objetivo de realizar un estudio, el Ministerio de la Producción revisó resultados anteriores donde se apreciaba lo siguiente: el tamaño de las truchas pescadas para consumo humano por parte de la pesca formal en el departamento de Junín presenta una distribución normal con una media de 26 cm y una desviación estándar de 2 cm.

a) Defina la variable de análisis asociada al presente caso.

X: Tamaño, en cm, de las truchas pescadas para consumo humano por parte de la pesca formal en el departamento de Junín.

b) Se desea analizar una muestra conformada por 26 truchas obtenidas por los pescadores formales, determine la probabilidad de que la desviación estándar de la muestra sea menor que 2.4 cm.

σ = 2 cm, n = 26

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(S ≤ 2.4)

c) Se desea analizar otra muestra conformada por 32 truchas, determine la probabilidad de que el promedio muestral difiera de la media poblacional en menos de 0.5 cm.

μ = 26 cm, S = 2 cm, n = 32

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es:

d) Escenario A. Uno de los resultados obtenidos en un estudio anterior se encontraba relacionado al número de infracciones leves que se han detectado a los pescadores formales durante inspecciones sorpresa en un determinado mes. Sobre la base de dichos resultados se elaboró la siguiente tabla de probabilidades:

N° de infracciones leves	Probabilidad
0	0.04
1	0.60
2	0.30
3	0.06

Para el siguiente mes se han programado inspecciones sorpresa dirigidas a 44 pescadores formales seleccionados al azar. Determine la probabilidad de que la media muestral del número de infracciones leves sea menor que 1.5.

Media:

μ = 0(0.04) + 1(0.60) + 2(0.30) + 3(0.06) = 1.38 infracciones

Varianza: σ² = E(X²) - [E(X)]²

σ² = [0²(0.04) + 1²(0.60) + 2²(0.30) + 3²(0.06)] - (1.38)²

σ² = 0.4356 infracciones²

Aplicando el teorema central del límite: ∼ N(1.38;0.0995²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 1.5) = 0.8861

e) Escenario B. Otro resultado señalaba que el tiempo diario que los pescadores formales dedican a realizar sus actividades de pesca presenta una distribución uniforme de entre 240 y 320 minutos. Si se seleccionan al azar a 48 pescadores, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total acumulado a las labores de pesca sea de por lo menos 230 horas?

X: Tiempo dedicado a las actividades de pesca por parte de los pescadores formales

X ∼ Uniforme (240;320)

Media:

Varianza:

Aplicando el teorema central del límite: ∼ N(280;3.333²) Luego, la probabilidad solicitada es:

f) Escenario C. Se ha determinado que el 70 % de las ocasiones, los pescadores tienen una demanda que supera la pesca realizada. Para los próximos días se seleccionarán a 84 ocasiones de venta de los pescadores, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral difiera en por lo menos 0.08 de la proporción poblacional?

Solución

X: Número de ocasiones de venta, de las 84 seleccionadas, en que la demanda supera la pesca realizada.

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(p − π |≥ 0.08)

P(|p − π |≥ 0.08) = P(|p − 0.7|≥ 0.08) = P(|p − 0.7 ≤ -0.08) + P(|p − 0.7 ≥ 0.08) = P(p ≤ 0.62) + P(p ≥ 0.78) = 0.0548 + 0.0548 = 0.1096

22. Un regidor del distrito de Santiago de Surco se encuentra analizando diversos aspectos de la atención en plataforma, para lo cual se debe tener en cuenta lo siguiente:

• El tiempo transcurrido entre las inscripciones de bodas civiles no presenta una distribución normal.

• El tiempo de atención en la sección de tributos prediales presenta una distribución normal con una media 450 segundos y se estimó una varianza muestral S² = 1800 seg².

• De acuerdo a los registros municipales se ha determinado que 2 de cada 5 solicitudes de licencias de funcionamiento son aprobadas en primera instancia.

a) Se ha señalado que el tiempo transcurrido entre inscripciones de bodas civiles presenta una distribución exponencial con media 2.4 horas. En base a una muestra de 36 bodas civiles, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo transcurrido entre cada una de dichas inscripciones sea de a lo más 3.2 horas?

Solución

X: Tiempo, en horas, transcurrido entre la inscripción de bodas civiles

X ~ Exp(2.4)

Media: μ = E(X) = α = 2.4 horas

Varianza: σ² = V(X) = 2.4² horas²

Aplicando el teorema central del límite: ∼ N(2.4; 0.4)²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 3.2)

P( ≤ 3.2) = 0.9772

b) Se seleccionará una muestra de 50 usuarios atendidos en la sección de tributos prediales, calcule la probabilidad de que la media muestral de los tiempos de atención de los mencionados usuarios difiera a lo más en 10 segundos de su media poblacional.

Solución

: Media muestral del tiempo de atención (seg) de los usuarios en la sección de tributos prediales

μ = 450 seg, S² = 1800 seg², n = 50

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(| − μ| ≤ 10)

c) Después de un proceso de simplificación administrativa se determinó una nueva desviación estándar poblacional para el tiempo de atención en la sección de tributos prediales. Si se seleccionan 25 usuarios que son atendidos en la sección de tributos prediales, calcule la probabilidad de que la varianza muestral sea inferior o por lo menos 1.5 veces mayor a su varianza poblacional.

Solución

X: Tiempo de atención (en seg) de los usuarios en la sección de tributos prediales

n = 25

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(S² < σ²) + P(S² ≥ (1.5)σ²)

d) Se ha determinado que si se selecciona una muestra aleatoria de n solicitudes de licencias de funcionamiento, entonces la probabilidad de que la proporción muestral de las solicitudes aprobadas en primera instancia difiera de la proporción poblacional en a lo más 0.04 es de 0.6827. Determine el valor de n.

Solución

p : Proporción muestral de solicitudes de licencias que son aprobadas en primera instancia

Se sabe que:

Luego,

Se solicita calcular n, tal que: P(| p – π | ≤ 0.04) = 0.6827

Para hallar la probabilidad, mediante el gráfico de probabilidad, se usará la probabilidad de las colas simétricas (1 – 0.6827 = 0.3173) y no la del cuerpo central.

Por lo tanto:

f) Escenario A. De los registros se ha determinado que los tiempos de atención a las solicitudes de licencias de funcionamiento, en horas de procesamiento administrativo, de solicitudes realizadas en la oficina principal (P) o en la oficina descentralizada (D), se distribuyen normalmente con varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales. Se dispone de la siguiente información de interés:

μ_P = 38.4 h, S_P = 4.8h, m_D = 40.0h, s_D = 4.4

Se han seleccionado muestras aleatorias de 40 y 39 solicitudes de licencias de funcionamiento en la oficina principal y en la descentralizada, respectivamente, y se ha calculado una probabilidad de 0.06 de que la media muestral del tiempo de atención a las solicitudes en la oficina principal supere a la media muestral de la oficina descentralizada en por lo menos k horas. ¿Cuál es el valor de k?

Solución

: Media muestral del tiempo (horas) de atención a las solicitudes de licencias de funcionamiento en la oficina principal.

μ_P = 38.4 h, S_P = 4.8 h, n_P = 40

D: Media muestral del tiempo (horas) de atención a las solicitudes de licencias de funcionamiento en la oficina descentralizada.

μ_D = 40.0 h, S_D = 4.4 h, n_D = 39

Se sabe que:

Entonces: = μ_P − μ_D 38.4 – 40.0 = – 1.6

Se tiene que:

El valor de k solicitado verifica la siguiente relación: P(₁ − ₂ ≥ k) = 0.06

f) Escenario B. En la oficina principal se ha determinado que el 20 % de las atenciones en plataforma corresponden a los vecinos de la Zona 01 del distrito, mientras que en la oficina descentralizada el 32 % de las atenciones corresponden a los vecinos de dicha zona. Si se seleccionan al azar muestras de 38 y 42 atenciones realizadas en la oficina principal y la descentralizada, respectivamente, determine la probabilidad de que la proporción muestral de las atenciones correspondientes a los vecinos de la Zona 01 en la oficina principal supere en a lo más 0.05 a la proporción muestral de las atenciones correspondientes a los vecinos de la Zona 01 en la oficina descentralizada.

Solución

p₁: Proporción muestral de las atenciones correspondientes a los vecinos de la Zona 01 del distrito (oficina principal) π₁ = 0.20, n₁ = 38

p₂: Proporción muestral de las atenciones correspondientes a los vecinos de la Zona 01 del distrito (oficina descentralizada). π₂ = 0.32, n₂ = 42

Se sabe que:

Entonces:

π₁ − π₂ = 0.20 − 0.32 = −0.12

Calcular:

P(0 ≤ p₁ − p₂ ≤ 0.05) = 0.06811

23. Una revista orientada al público joven se encuentra realizando un estudio sobre el uso de los smartphones y tablets para conectarse a Internet, por parte de los jóvenes de Lima metropolitana que poseen dichos dispositivos. Se había determinado que el tiempo de uso diario de los smartphones presenta una distribución normal con media μ₁ = 108 min y σ₁ = 16 min, mientras que el tiempo de uso diario de las tablets presenta una distribución normal con μ₂ = 115 min y σ₂ = 21 min.

a) Si se seleccionan dos muestras aleatorias de 32 y 35 jóvenes que poseen smartphones y tablets, respectivamente, calcule la probabilidad de que la media muestral del tiempo de uso diario de los smartphones sea inferior a la media muestral del tiempo de uso diario de las tablets.

Solución

₁: Media muestral del tiempo (min) de uso diario de los smartphones para conectarse a Internet. μ₁ = 108 min, σ₁ = 16 min, n₁ = 32

₂: Media muestral del tiempo (min) de uso diario de las tablets para conectarse a Internet. μ₂ = 115 min, σ₂ = 21 min, n₂ = 35

Se sabe que:

Se tiene que

Luego, la probabilidad solicitada es: P(₁ − ₂ ≤ 0) = 0.9385

b) Escenario A. La cantidad de música, en gigabytes (GB), almacenada en los smartphones por parte de los jóvenes de 15 a 19 años, y de los jóvenes de 20 a 24 años, presentan distribuciones normales con medias μ₁ = 3.60 y μ₂ = 3.35, respectivamente. Las varianzas poblacionales se desconocen pero se han estimado: y . Si se selecciona 2 muestras aleatorias de 42 y 38 jóvenes de 15 a 19, y de 20 a 24 años, respectivamente, calcule la probabilidad de que la media muestral de la cantidad de música almacenada en los smartphones por parte de los jóvenes de 15 a 19 años supere entre 0.50 y 0.75 GB la música almacenada por los jóvenes de 20 a 24 años. Suponga varianzas poblacionales homogéneas.

Solución

₁: Media muestral de la cantidad (GB) de música almacenada en smartphones por parte de los jóvenes de 15–19 años μ₁ = 3.60 GB, S₁ = 0.8 GB, n₁ = 42

₂: Media muestral de la cantidad (GB) de música almacenada en smartphones por parte de los jóvenes de 20–24 años μ₂ = 3.35 GB, S₂ = 0.6 GB, n₂ = 38

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es:

c) Escenario B. Se ha determinado que de los jóvenes de 20 a 24 años el 32 % poseen smartphones de última generación; mientras que de los jóvenes de 15 a 19 años el 25 % poseen smartphones de última generación. Si se selecciona 2 muestras aleatorias de 37 y 32 jóvenes de 20 a 24 y 15 a 19 años, respectivamente, calcule la probabilidad de que la diferencia de proporciones muestrales de jóvenes de 20 a 24 años y de 15 a 19 años que poseen smartphones de última generación difiera en a lo más 0.10 de la correspondiente diferencia de proporciones poblacionales.

Solución

p₁ : Proporción muestral de jóvenes de 20 a 24 años que poseen smartphones de última generación π₁ = 0.32, n₁ = 37

p₂: Proporción muestral de jóvenes de 15 a 19 años que poseen smartphones de última generación π₂ = 0.25, n₂ = 32

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que: (p₁ − p₂) ∼ N(0.07;0.10835²)

Luego, la probabilidad solicitada es: P(|(p₁ − p₂) – (π₁ – π₁) |≤ 0.1)

24. El Departamento de Sistemas de una empresa consultora desea comparar dos paquetes de software para el procesamiento de proyectos de Data Mining. Estos proyectos requieren del manejo de un gran volumen de datos, cuyo procesamiento consume gran cantidad de tiempo, dependiendo del volumen de los datos. Suponga que el tiempo de procesamiento de un proyecto de Data Mining estándar empleado por el software A es una variable aleatoria normal con media 54 minutos y desviación estándar 3 minutos, mientras que con el software B el tiempo de procesamiento tiene una distribución normal con media 52 minutos y desviación estándar 4 minutos. El ingeniero encargado de la evaluación de los paquetes de software ejecutará 21 veces el software A y 13 veces el software B.

a) Calcule la probabilidad de que la desviación estándar muestral de los tiempos de procesamiento obtenidos con el software A sea menor que la desviación estándar muestral obtenida con el software B.

Solución

X₁: Tiempo de procesamiento, minutos, aplicando el software A

μ₁ = 54 min, S₁ = 3 min, n₁ = 21

X₁: Tiempo de procesamiento, minutos, aplicando el software B.

μ₂ = 52 min, S₂ = 4 min, n₂ = 13

Se sabe que:

Se tiene que:

Se solicita calcular: P(S₁ < S₂)

b) Escenario A. Otro de los aspectos de evaluación se refiere al tiempo necesario para la adecuación de los datos al formato de ingreso en los mencionados paquetes de software. Para esta evaluación se ha decidido adecuar bases de datos de por lo menos 5000 registros y 20 columnas. Se sabe lo siguiente: el tiempo de adecuación de los datos para el ingreso en el software A presenta una distribución normal con media 172 seg y con una varianza desconocida pero estimada en 64 seg²; mientras que el tiempo de adecuación de los datos para el ingreso en el software B presenta una distribución normal con media 175 seg y con una varianza desconocida pero estimada en 100 seg². Si se realizan pruebas con 32 y 35 bases de datos para el software A y B, respectivamente, determine la probabilidad de que la media muestral del tiempo de adecuación de datos para el software A supere a la media muestral del software B en a lo más 1 segundo. Suponga que las varianzas poblacionales son homogéneas.

Solución

₁ : Media muestral del tiempo (en seg) de adecuación de datos para software A μ₁ = 172 seg, S₁ = 8 seg, n₁ = 32

₂ : Media muestral del tiempo (en seg) de adecuación de datos para software B

μ₂ = 175 seg, S₂ = 10 seg, n₂ = 35

Se sabe que:

Entonces:

Se tiene que:

Luego, la probabilidad solicitada es:

c) Escenario B. Uno de los encargados del manejo de bases de datos ha determinado que las principales inconsistencias registradas en las bases de datos son:

• A: categorías de los atributos escritas de distinta forma y por lo tanto reconocidas como categorías diferentes.

• B: unidades de medida registradas en diferentes unidades a la establecida, lo cual genera errores en las proyecciones de venta.

Se determinó que el 2 % y 3 % de los registros presentan la inconsistencia tipo A y tipo B, respectivamente. Se realizará una revisión automatizada de 200 y 240 registros para la búsqueda de inconsistencias tipo A y tipo B, respectivamente. Determine la probabilidad de que la diferencia de las proporciones muestrales de registros con inconsistencias tipo A y B difiera en a lo más el 0.5 % con respecto a la diferencia de las proporciones poblacionales correspondientes.

Solución

p₁: Proporción muestral de registros que presentan la inconsistencia tipo A

π₁ = 0.02, n₁ = 200

p₂: Proporción muestral de registros que presentan la inconsistencia tipo B

π₂ = 0.03, n₂ = 240

Se sabe que:

μ_{(p1 − p2)} = π₁ - π₂ = 0.02 – 0.03 = – 0.01

Luego, la probabilidad solicitada es: P(|(p₁ − p₂) − (π₁ − π₂) |≤ 0.005)

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En un distrito del cono este de Lima se viene desarrollando con mucho éxito la Escuela Municipal de Fútbol (EMF). Dicha escuela brinda entrenamiento a niños y adolescentes en 3 rangos de edades (categorías) en 2 turnos. En cada categoría y en cada turno se encuentran inscritos 40 participantes. El regidor encargado de las actividades deportivas y culturales ha pedido a uno de los practicantes de su despacho que realice una encuesta piloto para conocer diversos aspectos de los participantes y la percepción de estos sobre el desarrollo de los entrenamientos. A continuación se presenta un extracto del informe:

En base a una muestra piloto de los niños y adolescentes participantes de la Escuela Municipal de Fútbol, donde se encuestó a 1 de cada 8 participantes y se seleccionaron igual cantidad de participantes por cada una de las categorías, se obtuvieron los siguientes resultados:

i. El 75 % de los participantes se encuentra entre satisfecho y muy satisfecho con el entrenamiento recibido.

ii. El 40 % de los participantes de la categoría C (los de más edad) se encuentran preparándose o recién han ingresado a institutos o universidades.

iii. Los hogares de más del 80 % de los participantes se encuentran compuestos por 5 a más miembros.

De acuerdo a lo descrito en el presente caso, responda a las siguientes preguntas:

a) Defina y clasifique cada una de las características que se aprecian en el informe.

b) ¿Sería correcto señalar que 15 participantes formaron parte de la encuesta piloto?

c) ¿Qué tipo de muestreo se ha realizado? Justifique.

d) ¿Cuántos participantes de la categoría C se encuentran preparándose o recién han ingresado a institutos o universidades?

2. En un coliseo donde se desarrolla un evento deportivo se realizará una encuesta. Dicho coliseo posee 4 tribunas (2 tribunas pequeñas y 2 tribunas grandes) y cada tribuna tiene una zona baja y una zona alta; en cada tribuna pequeña se seleccionarán a 12 y 20 espectadores en la zona baja y la zona alta, respectivamente, mientras que en cada tribuna grande se seleccionará al doble de espectadores por cada zona.

a) ¿Cuántos espectadores serán seleccionados en total en las tribunas grandes?

b) Si se ha señalado que de cada 75 espectadores se seleccionarán a 3 para que formen parte del estudio, ¿cuántos espectadores habrán asistido al coliseo?

c) Si en cada zona de cada tribuna se seleccionará al primer espectador, y luego de determinada cantidad de espectadores que hayan ingresado se seleccionará al segundo, y así hasta completar la muestra, ¿qué tipo de muestreo se está realizando? Justifique.

d) Escenario: En base al estudio se desea determinar el motivo de asistencia al evento deportivo, el número de personas con las que ha asistido y el grado de afición por los eventos deportivos. Por ejemplo, un espectador encuestado ha señalado lo siguiente: ha asistido para acompañar a un amigo/familiar; ha asistido acompañado de 5 personas y tiene un grado medio de afición. Defina detallada y adecuadamente cada una de las características del estudio e indique el tipo de variable.

3. Un karaoke dispone de dos áreas de atención al público: área general y área privada; en base a registros se ha determinado que el monto de consumo grupal en cada una de las áreas presenta distribución normal, tal como se especifica a continuación:

• Los montos de consumo grupal en el área general presenta una media de S/. 200 y una desviación estándar poblacional de S/. 33.

• Los montos de consumo grupal en el área privada presentan una media de S/. 240 y una desviación estándar poblacional desconocida pero estimada en S/. 40.

a) Suponga que se extrae una muestra de 32 grupos atendidos en el área general, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del monto de consumo de los 32 grupos supere a la media poblacional en a lo más S/. 10?

b) Si se ha obtenido una probabilidad de 0.05 de que la media muestral de una determinada cantidad de grupos (n) atendidos en el área general sea de por lo menos S/. 209, ¿cuál fue la cantidad de grupos seleccionados?

c) Se ha seleccionado a 45 grupos atendidos en el área privada, ¿cuál es la probabilidad de que en total los 45 grupos hayan presentado un consumo de por lo menos S/. 11 000?

d) Se extrae una muestra de 60 grupos atendidos en el área privada, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del monto de consumo difiera de la media poblacional en a lo más S/. 10?

4. En una tienda de helados se ha determinado que el tiempo entre llegadas de los clientes que adquieren un helado especial (oferta exclusiva de la tienda) es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media 9 min. Suponga que se selecciona una muestra de 36 clientes que adquirirán un helado especial.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total (acumulado) de los tiempos entre llegadas de los 36 clientes supere los 420 min?

b) En base a la misma muestra de 36 clientes que han adquirido un helado especial, se ha calculado una probabilidad de 0.85 de que la media muestral del tiempo entre llegadas de los clientes difiera en a lo más k minutos de la media poblacional, ¿cuál es el valor de k ?

5. X-Cater es una empresa que se dedica a brindar el servicio de catering y organización de eventos; en un estudio anterior se determinó que el número de clientes potenciales que se apersonan o realizan llamadas para consultar por los servicios brindados presenta una distribución de Poisson con una media de 8 personas por día.

a) Durante los próximos 32 días, considerados como una muestra, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral, del número diario de personas interesadas en el servicio de catering, sea de por lo menos 9 personas?

b) ¿Cuántos días se deberían considerar como muestra tal que exista una probabilidad de 0.08 de que la media muestral del número diario de personas interesadas en el servicio de catering difiera de la media poblacional en por lo menos 0.7 personas?

6. Una empresa de telecomunicaciones se encuentra probando la tecnología 4G en su transmisión de señal WiFi en una zona rural. De acuerdo a las pruebas realizadas con la antena transmisora se ha determinado que la velocidad de acceso en la unidad receptora móvil presenta una distribución normal con media 112 Mbps (Mbits/seg) y una desviación estándar poblacional de 3.6 Mbps.

a) En una muestra de 64 segundos de medición, calcule la probabilidad de que la media muestral supere los 112.5 Mbps.

b) Si se mide la velocidad de acceso durante 50 segundos en la unidad receptora móvil, se determina que existe una probabilidad de 0.10 de que la velocidad de acceso promedio sea de por lo menos k Mbps. Determine el valor de k.

7. En una empresa que se dedica a la producción de motos se estableció lo siguiente en relación con sus operarios encargados del ensamble de los motores de alta cilindrada: el tiempo de ensamblaje se distribuye normalmente con una media de 16 minutos y una varianza de 0.36 minutos². Si se elige aleatoriamente 25 motores que para ser ensamblados.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de ensamblaje sea a lo más de 15.75 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de ensamblaje difiera a lo más en 0.2 minutos del valor de su media poblacional?

c) Si la varianza poblacional no era la señalada sino que era distinta tal que la varianza de la media muestral del tiempo de ensamblaje es de 0.0256 min², ¿cuál era la verdadera varianza poblacional del tiempo de ensamblaje?

d) Escenario: ¿cuántos motores deberían de seleccionarse tal que se tenga una probabilidad de 0.045 de que la media muestral del tiempo de ensamblaje sea de por lo menos 16.15 minutos?

8. En una pequeña tienda de artesanías se ha determinado que el monto de compra de sus clientes se distribuye normalmente con una media de S/. 168 y una varianza desconocida pero que se ha estimado en 56.25 soles². Si se elige aleatoriamente a 28 clientes:

a) Halle la probabilidad de que la media muestral del monto de compras de los clientes sea como mínimo de S/. 170.

b) Calcule la probabilidad de que el monto total de compras de los clientes seleccionados sea menor a S/. 4690.

c) Se ha señalado que existe una probabilidad de 0.95 de que la media muestral del monto de compras de los clientes sea de a lo más k soles, determine el valor de k.

9. El encargado del acondicionamiento físico de los clientes de un gimnasio ha señalado que el índice de masa corporal¹ (IMC) —medida de asociación entre el peso y la talla de un individuo— de los participantes se distribuye normalmente con una media de 23.5 (kg/m²)² y una varianza poblacional desconocida pero estimada en 0.72 (kg/m²)².

a) Si se selecciona una muestra de 32 clientes del gimnasio, calcule la probabilidad de que la media muestral del IMC de los participantes difiera en por lo menos 0.24 kg/m² de la media poblacional.

b) Se determinó que se debería trabajar con una nueva estimación de la varianza, y al considerar esa nueva estimación y una muestra de 36 clientes, se determinó que existe una probabilidad de 0.4287 de que la media muestral del IMC supere en a lo más 0.21 (kg/m²)² a la media poblacional correspondiente, ¿cuál es el valor de la varianza estimada?

10. En relación con el incremento de las remuneraciones experimentadas por los ejecutivos que participaron en una capacitación se determinó que dichos incrementos presentan una distribución normal con media S/. 800 y una desviación estándar de S/. 180.

a) Si se selecciona una muestra de 37 ejecutivos que participaron en la mencionada capacitación, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea de a lo más 40 000 soles²?

b) Si se selecciona una muestra de 46 ejecutivos que participaron en dicha capacitación, calcule la probabilidad de que la desviación estándar muestral relacionada con el incremento de las remuneraciones se encuentre entre 1 y 1.20 veces mayor a la desviación estándar poblacional.

11. Un nutricionista ha obtenido un informe donde se señala que la ingesta calórica diaria de las personas de 20 a 30 años presenta una distribución normal con media 2500 calorías, y que el 10 % de ellos ingiere más de 2630 calorías.

a) Si se selecciona una muestra de 28 participantes, calcule la probabilidad de que la varianza muestral de la ingesta de calorías diaria sea entre 1.44 y 2.25 veces mayor a la varianza poblacional.

b) Calcule el valor de la desviación estándar poblacional de la ingesta calórica diaria de las personas de 20 a 30 años y determine los valores de a y b, tal que P(a ≤ S ≤ b) = 0.80. Considerar el mismo tamaño del ítem a.

Nota. a y b determinan el 80 % de la parte central de la distribución.

12. En una feria tecnológica se ha determinado que el 60 % de los asistentes concurrieron al área de domótica (conjunto de sistemas para automatizar una vivienda).

a) Si se selecciona una muestra de 80 asistentes, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de asistentes que concurrieron al área de domótica sea de por lo menos 0.65?

b) Determine la cantidad de asistentes que se deberían seleccionar, de tal forma que la proporción muestral de asistentes que concurrieron al área de domótica sea de a lo más 0.70, con una probabilidad de 0.99.

13. En un estudio se señaló que el 25 % de los ingenieros industriales y de sistemas participaron, durante el último año, en alguna actividad de investigación tecnológica propiciada por la empresa donde labora.

a) Si se seleccionan a 62 ingenieros, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de ingenieros que participaron en una actividad de investigación tecnológica, durante el último año, difiera de su proporción poblacional en a lo más 0.10?

b) Si se seleccionan al azar a 75 ingenieros, calcule la probabilidad de que por lo menos 20 de ellos hayan participado en alguna actividad de investigación tecnológica durante el último año.

14. Una empresa proveedora de servicios de telecomunicación (telefonía fija y móvil, televisión por cable e Internet) tiene a disposición de sus clientes centros de atención en los cuales ha determinado que el tiempo de atención de los clientes que solicitan un servicio de telefonía fija presenta una distribución normal con media μ₁ = 18 min y σ₁ = 2.5 min, mientras que el tiempo de atención de los clientes que solicitan un paquete dúo 01 (telefonía fija + Internet) presenta una distribución normal con μ₂ = 19.5 min y μ₂ = 3.5 min. Si en el centro de atención se selecciona una muestra aleatoria de 32 y 30 clientes que solicitan servicios de telefonía fija y paquetes dúo 01, respectivamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de atención de los clientes que solicitan un servicio de telefonía fija sea superior a la media muestral del tiempo de atención de los clientes que solicitan un paquete dúo 01?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente diferencia: media muestral del tiempo de atención de los clientes que solicitan un servicio de telefonía fija menos la media muestral de los clientes que solicitan un paquete dúo 01, difiera de la respectiva diferencia de medias poblacionales en a lo más 1 minuto?

15. Finno es una empresa que se dedica a la producción y comercialización de helados de crema en diversas presentaciones y sabores. La producción por hora de helados de vainilla en las plantas de producción A y B presentan distribuciones normales con medias μA = 2000 y μ_B = 1980 litros. Las varianzas poblacionales se desconocen pero se han estimado en y . En las plantas A y B se seleccionarán los registros de 28 y 32 horas de producción, respectivamente.

a) Determine la probabilidad de que la media muestral de la producción por hora de los helados de vainilla en la Planta A sea menor a la de la Planta B. Suponga varianzas poblacionales homogéneas.

b) Determine la probabilidad de que la media muestral de la producción por hora de los helados de vainilla en la Planta A sea mayor a la de la Planta B en por lo menos 30 litros. Suponga varianzas poblacionales heterogéneas.

16. Una empresa automovilística se encuentra realizando pruebas a 2 motores de características similares: modelos A y B. El par motor (torque), en Newton metro (Nm), de los motores modelo A y B presentan distribuciones normales con medias μ_A = 198 Nm y μ_B = 184 Nm. Las varianzas poblacionales se desconocen pero se han estimado tal como se presenta a continuación: , y .

a) Si se seleccionan muestras aleatorias de 36 y 40 motores modelos A y B, respectivamente, determine la probabilidad de que la media muestral del par motor de los motores modelo A difiera de los motores modelo B en a lo más 0.5 Nm. Suponga varianzas poblacionales homogéneas.

b) Si se selecciona una muestra aleatoria de 36 y 40 motores modelos A y B, respectivamente, determine la probabilidad de que la media muestral del par motor de los motores modelo A difiera de los motores modelo B en por lo menos 1 Nm. Suponga varianzas poblacionales heterogéneas.

17. Según las autoridades, el 40 % de los choferes de servicio público urbano son propietarios de sus vehículos mientras que el 28 % de los choferes de servicio de taxi son propietarios de sus vehículos. Suponga que se seleccionan 64 choferes de servicio público urbano y 56 choferes de servicio de taxi.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de los choferes de servicio público urbano que son propietarios de sus vehículos sea mayor a la proporción muestral de choferes de servicio de taxi que son propietarios de sus vehículos?

b) Se ha señalado que existe una probabilidad de 0.8246 de que la diferencia de proporciones muestrales difiera de la diferencia de proporciones poblacionales en a lo más k, ¿cuál es el valor de k ?

18. Se ha determinado que de los jóvenes de 20 a 24 años el 32 % poseen smartphones de gama alta; mientras que de los jóvenes de 15 a 19 años el 25 % poseen smartphones de gama alta. Si se seleccionan 2 muestras aleatorias de 37 y 32 jóvenes de 20 a 24 y de 15 a 19 años, respectivamente.

a) Calcule la probabilidad de que la proporción muestral de jóvenes de 20 a 24 años que poseen smartphones de gama alta difiera en a lo más 0.10 de la proporción muestral de jóvenes de 15 a 19 años que poseen smartphones de gama alta.

b) Calcule la probabilidad de que la diferencia de la proporción muestral de jóvenes de 20 a 24 años que poseen smartphones y de la proporción muestral de jóvenes de 15 a 19 años que poseen smartphones de gama alta difiera en a lo más 0.10 de la correspondiente diferencia de proporciones poblacionales.

19. El gerente de operaciones de una empresa recicladora realizará un estudio para analizar la relación entre las variabilidades de la cantidad de plástico PET en toneladas métricas (TM) reciclada diariamente en sus 2 plantas de reciclaje, para lo cual se ha determinado lo siguiente:

Cantidad de plástico PET reciclado diariamente en la planta A y la planta B se distribuye normalmente con σ_A = 0.8 TM y σ_B = 1.5 TM, respectivamente. Para el estudio se seleccionarán dos muestras aleatorias de tamaño 12 y 16 días de operaciones en las plantas A y B, respectivamente.

a) Determine la probabilidad de que la varianza muestral de la cantidad reciclada de plástico PET en la planta A sea mayor pero a lo más el doble de la varianza muestral de la planta B.

b) Si se ha determinado una probabilidad de 0.95 de que la razón de varianzas muestrales no exceda al valor k, ¿cuál es el valor de k?

20. Un empresario que se dedica al cultivo de cacao ha determinado lo siguiente en relación a sus árboles de cacao:

Tipo de árbol	Producción de semillas secas por cada árbol
Árboles tipo A: Árboles con menos de 10 años.	Distribución normal con σA = 0.20 kg
Árboles tipo B: Árboles de 10 a más años.	Distribución normal con σB = 0.15 kg

Si se seleccionaran dos muestras aleatorias de tamaño de 15 y 20 árboles de cacao tipo A y tipo B, respectivamente.

a) ¿Cuál sería la probabilidad de que la desviación estándar muestral de la producción de semillas secas de los árboles tipo A sea a lo más la desviación estándar de los árboles tipo B?

b) Se ha determinado que existe una probabilidad de 0.01 de que la varianza muestral de la producción de semillas secas de los árboles tipo A exceda en k veces la varianza muestral de los árboles tipo B. Determine el valor de k.