Читать книгу Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios - Carlos José Castillo - Страница 9

5. En una sala de cine se realizó un estudio dirigido a todos los tipos de asistentes, cuyo principal interés era analizar el gasto por asistente (S/. asistente) en bocaditos y refrescos. De un estudio anterior se ha determinado que el gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, presenta una distribución normal con media S/. 18.9 por asistente y una desviación estándar poblacional de 2.50 (S/. asistente).

a) Se han seleccionado 16 asistentes. Calcule la probabilidad de que la media muestral del gasto, en bocaditos y refrescos, sea de a lo más S/. 20 por asistente.

Solución

X: Gasto por asistente (S/. /asistente) en bocaditos y refrescos.

Luego, la probabilidad solicitada es: P( ≤ 20)

P( ≤ 20) ≈ 0.9608

Conclusión: La probabilidad de que la media muestral del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, sea de a lo más S/. 20 por asistente es de 0.9608, aproximadamente.

b) Se han seleccionado 25 asistentes. Calcule la probabilidad de que el gasto total, en bocaditos y refrescos, de los 25 asistentes se encuentre entre S/. 460 y S/. 490.

Solución

x: Gasto por asistente (S/. /asistente) en bocaditos y refrescos.

Calcular:

P(18.4 ≤ ≤ 19.6) = 0.760588

Conclusión: La probabilidad de que el gasto total conjunto, en bocaditos y refrescos, por parte de los 25 asistentes se encuentre entre S/. 460 y S/. 490 es de 0.7606, aproximadamente.

c) Suponga que la varianza poblacional del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, es: (S/. / asistente)². Determine la cantidad de asistentes que se deberían seleccionar, de tal forma que haya una probabilidad de 0.01 de que la media muestral del gasto por asistente, en bocaditos y refrescos, sea de por lo menos S/. 20.4 por asistente.

Solución

: Media muestral del gasto por asistente en bocaditos y refrescos.

μ = 18.9 (S/. / asistente), σ = 3 (S/. / asistente), n = ¿?

Se solicita calcular n, tal que: (P( ≥ 20.4) = 0.01

Entonces: asistentes.

6. El gerente de una empresa dedicada a la venta de electrodomésticos se encuentra analizando un lote de planchas verticales a vapor marca Sliza. La mencionada plancha vertical presenta las siguientes características:

– Potencia máxima: 2750 W (vatios)

– Caudal de vapor constante: 40 gr/min

– Caudal de súper vapor: 180 gr/min

De acuerdo a las especificaciones del fabricante se sabe lo siguiente:

i. El caudal de vapor constante presenta una distribución normal con media 40 gr/min y una desviación estándar de 0.3 gr/min

ii. El caudal del súper vapor presenta una distribución normal con una desviación estándar de 1.8 gr/min

a) Se selecciona al azar una muestra de 30 planchas verticales para determinar el caudal promedio de vapor constante, si dicho valor promedio difiere de la media poblacional en por lo menos 0.15 gr/min, entonces, no se acepta el lote inspeccionado. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote de planchas verticales?

Solución

X: Caudal (en gr/min) de vapor constante de la plancha vertical a vapor.

Se solicita calcular la probabilidad de rechazar el lote: P(| - μ | ≥ 0.15)

P(| − μ |≥ 0.15) = P( − 40 ≤ −0.15) + P( −40 ≥ 0.15) = P( ≤ 39.85) + P( ≤ 40.15) = 0.0031 + 0.0031 = 0.0062

Conclusión: existe aproximadamente una probabilidad de 0.0062 de que se rechace el lote de planchas verticales a vapor, de acuerdo a la inspección realizada.

b) ¿Cuál es el valor de la media poblacional del caudal de súper vapor, tal que exista una probabilidad de 0.90 de que la media a obtenerse a partir de una muestra de 60 planchas verticales sea de a lo más 178.8?

Solución

X: Caudal (en gr/min) de súper vapor de la plancha vertical

Obtener , tal que: P( ≤ 178.8) = 0.90

Conclusión: la media poblacional del caudal de súper vapor es de aproximadamente 178.5 gr/min.

7. En un conjunto habitacional se determinó que el consumo mensual de electricidad en los departamentos de vivienda se distribuye en forma normal con una media de 1270 kwh/mes, y con una varianza poblacional desconocida pero estimada en 3600 (kwh/mes)². En dicho conjunto habitacional se seleccionó una muestra de 34 departamentos de vivienda.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que presenten una media muestral, asociada al consumo mensual de electricidad, entre 1265 y 1275 kwh/mes?

Solución

X: Consumo mensual de energía eléctrica de los departamentos de vivienda del conjunto habitacional.

n = 34, μ = 1270 kwh/mes,

: Media muestral del consumo mensual de energía eléctrica de los departamentos de vivienda del conjunto habitacional.

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(1265 ≤ ≤ 1275)

b) Se ha señalado que existe una probabilidad de 0.95 de que la media muestral del consumo de energía eléctrica sea de a lo más k kwh/mes; determine el valor de k.

Solución

El valor de k solicitado verifica la siguiente relación: P( ≤ k) = 0.95

Se tiene que:

8. Una pequeña empresa de productos lácteos dispone de camionetas frigoríficas para realizar el reparto de sus productos. Se sabe que la carga (peso) con que se despachan las camionetas frigoríficas se distribuye en forma normal con una media de 1.68 toneladas métricas (TM), y no se conoce el valor de la varianza poblacional pero se ha determinado que esta se estime a partir de los resultados de una muestra compuesta por los últimos 40 despachos realizados. Con estos 40 despachos se determinó lo siguiente:

a) ¿Cuál es el valor de la varianza muestral que se considerará para los análisis por realizar?

Solución

Se calcula la varianza muestral:

Por lo tanto:

b) Si se selecciona una muestra de 16 despachos de las camionetas frigoríficas, determine la probabilidad de que la media muestral de la carga difiera en a lo más 0.07 TM de la media poblacional correspondiente.

Solución

: Media muestral de las cargas (TM) de despacho de las camionetas frigoríficas.

μ = 1.68 TM, S_X = 0.14 TM, n = 16.

Se sabe que:

Luego, la probabilidad solicitada es: P(| − μ |≤ 0.07)