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Le secteur est la partie du cercle comprise entre un arc et deux rayons ca, cb menés aux extrémités de cet arc (fig. 25). L’aire ou la superficie du secteur est égale à la longueur de son arc multipliée par la moitié du rayon. Supposons que l’angle c a 90 degrés, en d’autres termes qu’il est un angle droit, par conséquent il donnera à l’arc ab le quart de la circonférence. Si nous supposons ensuite que les deux rayons ca, cb ont 5 mètres de longueur chacun, en les doublant nous aurons pour diamètre du cercle 10 mètres, qui multipliés par 3,1416 donnent 31,416, dont le quart est 7,854. L’arc a donc 7,854 de longueur, qui multipliés par la moitié du rayon, ou 2^m,50, donnent 19^m,635 de superficie.

Fig. 25.

Autre exemple. Si l’arc a 6^m,50 et le rayon 7^m,26, on aura à multiplier 6^m,50 par la moitié du rayon ou 3^m,63, produit 23^m,5950.

Il est donc facile de mesurer la superficie d’un arc elliptique, en calculant les divers secteurs dont il est formé. Supposons qu’on a un arc abfg (fig. 26), qui avec la ligne de base ag forme la superficie abfga. On veut calculer la surface de cette figure, construite par une ligne droite et ayant un arc, formé de trois portions de cercle. On calculera d’abord la superficie du secteur acb: on y ajoutera la superficie du secteur egf, car ces deux secteurs sont égaux. On calculera la superficie du secteur dbf, dont il faudra soustraire la superficie du triangle dce; ce qui restera sera additionné à la superficie de deux secteurs abc; egf, et le produit sera la superficie de la figure abfga.

Fig. 26.

Supposons, par exemple, que le rayon ac ait 2^m,50 de longueur, l’arc ab 2^m,55, la superficie du secteur acb sera 3^m,1875; le secteur efg a également 3^m,1875, et les deux ensemble 6^m,3750. Le rayon du grand secteur dbf a 4^m,80, l’arc bf a 5^m00; sa superficie sera de 12 mètres, dont il faut retrancher la superficie du triangle dce. qui est équilatéral: sa superficie sera de (250, un de ses côtés, multiplié avec la moitié de sa hauteur, qui est de 2^m12 supposons) 2^m,65 qu’il faut ôter de la superficie entière du secteur dbf, qui est 12 mètres. Il restera 9^m,35, qui ajoutés aux 6^m,3750 trouvés plus haut produiront 15,725, ou la superficie demandée de la figure agfb.

Comme il est d’usage de tracer les voûtes et les arcs de grandeur naturelle sur une superficie plane quelconque, tracé qu’on nomme vulgairement une épure, c’est sur cette épure qu’on peut prendre, d’une manière exacte, les dimensions des voûtes et des arcs, pour en calculer la superficie ou le cube. On doit faire cette opération conjointement avec l’entrepreneur, et les calculs faits lui en laisser un double, lui faire signer une copie, qu’on garde afin de vérifier les appréciations faites par lui plus tard dans le mémoire qu’il présentera.

Cette manière de procéder abrégera le métré et la vérification des mémoires.