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Table des matières

Pour mesurer le cube des corps il faut un cube, ou solide, pris pour unité de mesure. Si les lignes se mesurent par des lignes, des surfaces au moyen de surfaces, il faut pour mesurer les corps une mesure formée comme eux.

Pour mesurer les corps on se sert du corps le plus simple, qui est le cube, solide formé par six carrés égaux, comme nous l’avons déjà dit. Le cube est semblable aux dés avec lesquels on joue. Le cube est eu tous pays l’unité fondamentale, la mesure normale pour mesurer les solides, soit maçonnerie, soit charpente, etc. Et c’est même de cette unité, renfermant les trois dimensions de l’étendue: longueur, largeur, hauteur, qu’est venu le verbe cuber, c’est-à-dire mesurer et réduire à un cube donné, ou adopté, un autre solide quelconque.

L’espace creux ou vide d’un parallélipipède, d’un cube (à six faces), peut être rempli, comblé par de plus petits cubes, lorsqu’on dispose ces cubes les uns à côté des autres, les uns au-dessus des autres, c’est-à-dire en rangées horizontales et en piles verticales. Les petits cubes combleront parfaitement le vide du grand corps si leur volume est une partie exacte de ce dernier. Admettons, par exemple, que les côtés du grand cube aient 1 mètre de largeur, sa base contiendra 10,000 centimètres (la profondeur de 1 mètre, ou 100 centimètres, multipliée par la longueur de 1 mètre, ou 100 centimèters). Or si chacun des petits cubes a pour base 1 centimètre carré, il est clair que pour couvrir la base du grand cube il faudra 10,000 petits centimètres. Ces petits cubes forment un lit ou une assise dans le grand cube, de la hauteur exacte de 1 centimètre, et il est bien clair qu’il faut 100 lits, ou assises semblables, posés les uns au-dessus des autres, pour remplir entièrement le vide du grand cube, Dans ce but, il faut 100 fois 10,000 petits cubes pour combler ou occuper entièrement l’espace vide du grand cube.

Le grand cube, dont chaque face contient exactement 10,000 centimètres carrés ou superficiels, est nommé, à cause de cette contenance, un mètre cube; le petit cube, au moyen duquel on a mesuré le plus grand, est nommé centimètres cube: car les côtés de ces petits cubes ont exactement 1 centimètre carré. Il y a donc dans 1 mètre cube 1,000,000 de centimètres cubes.

Il s’ensuit encore que le cube d’un dé, ou corps à six faces égales, est le produit de sa base et de sa hauteur (base 100 multipliés par 100 multipliés par 100, ce qui fait 1,000,000), ou, en expression mathématique, 100 × 100 × 100 = 1,000,000.

On peut donc mesurer le cube d’un corps ou solide parallélipipédique en multipliant la longueur par la largeur et le résultat par la hauteur. Si un corps a 20 mètres de longueur, 18 mètres de largeur et 10 mètres d’élévation, il aura 5,760 mètres cubes; 20 × 18 × 16 = 5760; ou le carré de sa base multiplié par sa hauteur.

C’est par la même règle qu’on trouve le volume cubique d’un prisme, d’un cylindre, etc.; on calcule le carré ou superficie de la base, qu’on multiplie ensuite par la hauteur.

Mais il n’en est point de même de la mesure cubique du cône et de la pyramide.

On peut, au moyen d’une tracé graphique, diviser un prisme triangulaire en trois pyramides, équivalentes entre elles en volume cubique, mais qui réunies équivalent au cube du prisme entier. Donc toute pyramide triangulaire est le tiers du prisme triangulaire de même base et de même hauteur.

De là on déduit la règle suivante pour le calcul d’une pyramide: multipliez la base par la hauteur et divisez-en le produit par 3. Cette règle s’applique à toutes les pyramides. Soit donnée une pyramide rectangulaire dont la base a 12 mètres carrés ou superficiels, et de 6 mètres de hauteur; pour savoir son cube il faut multiplier 12 par 6 et diviser le produit par 3. — 12 fois 6 font 72 et 72 divisés par 3 font 24; cette pyramide aura donc 24 mètres cubes. On peut dire aussi que toute pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur. Le tiers de 12 est 4, multiplié par G, produit également 24.

Le volume d’un cône est égal au produit de sa base par le tiers de sa hauteur. Supposons que le cercle qui forme la base du cône ait 10 mètres de diamètre. Pour trouver la superficie de ce cercle, il faut multiplier le quart du diamètre ou moitié du rayon (le quart est 2^m,50, la moitié du rayon est également 2^m,50 par la circonférence (31,41) ce qui produit 78^m,525 carrés. Supposons que le cône ait 6 mètres de hauteur; le tiers de 6 est 2. Or 78,525 multipliés par 2 font 157,05 mètres cubes (ou 157 mètres cubes 5 centimètres cubes).

Mais on peut encore procéder d’une autre manière. Multipliez la superficie de la base (78,525) par 6, ce qui fera 471,15, et divisez par 3, cela fera également 157^m3,05.

On peut tronquer par une section horizontale un cône ou une pyramide quelconque, ce qui donne naissance aux cônes et aux pyramides tronqués, comme on les nomme. On se rend compte du cube du cône tronqué et de la pyramide tronquée en calculant d’abord ces deux corps comme s’ils n’étaient point tronques, et l’on en déduit ensuite la partie qu’on en supprime. Si B est la base d’un cône (fig. 19), et s la face de section si a est la hauteur de la partie à tronquer et h enfin la hauteur de la pyramide entière, on aura

soit du cube de la partie tronquée restante.

Fig. 19.

Prenons le cône de 157 mètres 5 centimètres, cité plus haut; 10 mètres sont le diamètre de la base B. La hauteur h est de 6 mètres, 3^m,33 (1/3 de 10) est le diamètre de la face de section s, et 2 mètres enfin la hauteur a.

On aura pour la superficie de la base, comme nous l’avons vu plus haut: 78,525, qu’il faut multiplier par un tiers de 6 (la hauteur), soit 2, ce qui fait 157,05 pour le cône entier. — Mais comme de ce nombre total il faut soustraire la partie tronquée et pour cela, faisant la même opération, déduire la face de la section s (d’un diamètre 3^m,333 multipliés par 3,1416), soit 10,4461528, lesquels multipliés encore par le quart du diamètre (1/4 de 3^m,333), soit 8333, produisent 8,72544496824, nombre qu’il faut encore multiplier pour avoir le cube par un tiers de sa hauteur, qui est de 2 mètres soit 0,666, ce qui produit enfin 5,81.

Donc si de 157,05 nous retranchons 5,81, nous trouverons pour le cône tronqué 151,24.

On procède de la même manière pour connaître le cube d’une pyramide tronquée.

Mais cette opération, pour arriver à la connaissance du cube d’une pyramide ou d’un cône tronqués, n’est pas toujours praticable dans la réalité ; elle rencontre souvent de grands obstacles, puisqu’il faut se figurer dans le vide les sommets de la pyramide et du cône. On ne peut donc mesurer exactement le corps tronqué, représenter ce corps avec ses mesures sur le papier, prolonger les lignes qui manquent et qui donneront la hauteur de la partie tronquée, et alors seulement on peut procéder à l’opération de calculs indiquée précédemment. On peut toutefois calculer le cube du cône ou de la pyramide tronqués sans connaître la grandeur de la portion rétranchée ni celle du corps ou solide entier.

La forme de la pyramide et du cône tronqués est plus fréquente dans l’usage pratique qu’on ne le pense. Elle s’applique à des mesures de liquides, à des matières en poudre, etc., dont le diamètre de l’orifice est moindre que le diamètre de la base. Mais si la base de ces mesures forme un ovale, le calcul de leur contenance n’est pas du ressort de la géométrie élémentaire. Des tas circulaires de sable, de terre, de cailloux, des tas de grains, de graines, etc., rentrent dans la forme des pyramides et des cônes tronqués. Pour calculer le cube des premiers, la superficie sur une hauteur donnée des derniers, pour rétablissement de granges, magasins, etc., il faut absolument savoir se rendre compte du cube de ces corps, tronqués ou non.

Nous allons indiquer enfin une troisième manière vulgaire de mesurer le cube d’un cône tronqué sans entrer dans les complications précédentes de calcul. Prenez la base du cône tronqué, et multipliez sa superficie par sa hauteur. Si la base a 10 mètres de diamètre, sa superficie aura 78^m,5250. Multipliez ce nombre par la hauteur du cône tronqué, soit 4; ce qui fera 314,100, qu’il faudra diviser par 2, ce qui produira 157^m,05. Maintenant il s’agit d’en déduire le petit cône. Admettons que sa face de section ou sa base ait 3^m,33 de diamètre, elle aurait alors 8^m,712 de superficie; multipliez ce nombre par 4, hauteur du grand cône tronqué, ce qui fera 34^m,848, qu’il faudra diviser par 2, ce qui produira 17^m,42. Divisez encore ce nombre par 3, et vous aurez 5^m,80, cube du petit cône qu’il faudra soustraire du cube du grand cône: 157^m,05 — 5^m,80 = 151^m,25.

On calcule aussi dans la stéréométrie les surfaces des solides ou corps. Les surfaces des cubes ou dés, des parallélipipèdes et en général des prismes, sont faciles à trouver. Les prismes et les parallélipipèdes ont pour leurs bases des polygones, comme triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, etc.; leurs côtés sont des parallélogrammes, dont la superficie est le produit du côté de la figure ou polygone de base multiplié avec la hauteur du solide. Autant il y a de côtés dans le polygone de base, autant de parallélogrammes forment les surfaces du solide ou polyèdre. Voilà aussi pourquoi la superficie des côtés réunis d’un prisme rectangulaire ou parallélipipède est le produit du périmètre ou contour du polygone de base multiplié par la hauteur du solide.

On trouve donc la surface d’un cylindre en multipliant sa circonférence avec sa hauteur; le produit est la superficie ou surface demandée. Elle est un parallélogramme aussi long que la circonférence ou périphérie dont la hauteur est égale à celle du cylindre.

La surface convexe d’un cône est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté. Cette surface représente un secteur du cercle, une partie de cercle comprise entre un arc et deux rayons menés aux extrémités de son arc.

Supposons un cône dont la base a 10 mètres de diamètre et qui a 6 mètres de hauteur. Nous aurons 10 × 3,1416 = 31,416 × 6 = 188,496 divisés par 2 = 94^m,24, surface demandée.

La surface latérale d’un tronc de cône est égale à son côté multiplié par la demi-somme des circonférences de ses bases.

Soit un cône tronqué ayant à sa base un cercle de 10 mètres de diamètre, et ayant pour sa face supérieure un cercle de 3,33 de diamètre et 4 mètres de hauteur. La circonférence de la base sera 3,1416 multipliés par 10, ce qui fait 31,4160, dont la moitié est 15,7080. La circonférence du cercle supérieur est 3,33 multipliés par 3,1416, ce qui fait 10,461528, dont la moitié est 5,230764, qui additionnés à 15,7080 produisent 20,93877, qu’il faut multiplier par 4, ce qui fait 83^m,7550, qui est la surface demandée.

Pour calculer le volume de la sphère, il est nécessaire de connaître auparavant sa surface; puis on multiplie la superficie par le rayon de la sphère et on divise le produit par 3.

La surface ou superficie de la sphère est égale à quatre fois la superficie du cercle né d’une section faite au point de centre de la sphère, ou bien cette surface équivaut à celle d’un cercle qui aurait pour rayon le diamètre de cette sphère.

Supposons une sphère ou boule d’un diamètre de 100 mètres. Il faut multiplier ces 100 mètres par 100 pour avoir le carré du diamètre, soit 10,000, qu’il faut multiplier par 3,1416, circonférence du grand cercle, ce qui fait 31416, qui est la superficie demandée.

Quand on connaît la superficie de la sphère, il est facile d’en calculer le volume. Qu’on se représente la sphère comme un polygone régulier formé d’une infinité de côtés; qu’on se représente encore la superficie de la sphère divisée en surfaces planes rectilignes, surfaces qui seraient les bases d’une infinité de pyramides, dont les sommets se réunissent tous ensemble au point de centre de la sphère: alors le volume de toutes ces pyramides réunies sera le volume de la sphère. La hauteur de ces pyramides est le rayon de la boule.

Si, d’après ce que nous venons de dire, on a trouvé le volume d’une des pyramides en multipliant la superficie de sa base par le tiers de sa hauteur, on aura le volume de la sphère si l’on multiplie sa superficie (c’est-à-dire la somme des surfaces de base d’une infinité de pyramides qui forment le volume de la sphère) avec le rayon de la sphère et en divisant le produit par 3.

Supposons une sphère de 100 mètres de diamètre, multipliez-les par 100 pour en avoir le carré (10,000) et multipliez ce carré par 3,141 pour avoir la circonférence qui sera 31,410^m, qu’il faut multiplier par 50 (moitié du diamètre), ce qui fera 1,570,500, qu’il faut diviser par 3, ce qui produit 523,500 mètres cubes, faisant le volume demandé.