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De la mesure et du mètre
ОглавлениеMesurer une grandeur quelconque, c’est chercher combien de fois cette grandeur contient l’unité.
Le mètre est l’unité fondamentale des poids et mesures en France.
Le mètre est une longueur qui est la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre, ou la quarante-millionième du plus grand cercle de la terre, dirigé du nord au sud.
Un centimètre est la centième partie de la longueur du mètre; le pied de l’homme a environ 25 centimètres: on peut donc se faire à peu près l’idée du mètre, en le comparant à quatre fois la longueur du pied humain.
Quand on dit telle ligne a 10 mètres de longueur, on a une idée dé la longueur de celte ligne, parce qu’on connaît l’étendue de l’unité employée pour désigner cette mesure.
Pour tracer une ligne de 10 mètres, il faudra placer dix fois à la suite les unes des autres l’unité ou la mesure qu’on figurera à côté.
Il est d’usage de nommer la mesure destinée à mesurer des lignes, mesure linéaire, mesure de longueur.
Pour les mesures décimales ou division par 10, la mesure se multiplie par 10; 10 millimètres font un centimètre, dix fois dix centimètres font un mètre, dix mètres font un décamètre, cent mètres font un hectomètre, mille mètres font un kilomètre et enfin dix mille mètres font un myriamètre:
Les lignes ne peuvent être et ne sont mesurées qu’au moyen de lignes.
Plusieurs lignes combinées entre elles forment des surfaces et plusieurs surfaces peuvent se réunir pour former un corps. C’est ce que nous voyons en minéralogie. Or si une surface est déterminée par des lignes, une surface peut aussi être mesurée par des lignes.
Ainsi, si une figure plane d’un mètre de longueur et d’un mètre de largeur était circonscrite par quatre angles droits, cette figure formerait un carré parfait, dont, chaque côté aurait un mètre de longueur. Un tel carré pourrait servir commodément pour mesurer toutes les surfaces possibles. Si l’on avait un rectangle de 3 mètres de longueur sur 3 mètres de largeur tout carré de 1 mètre de longueur sur 1 mètre de largeur serait contenu 9 fois dans le rectangle en question.
Le carré a (fig. 11) serait donc contenu 9 fois dans le rectangle abce.
Si l’on nomme le petit carré a, dont les côtés ont de centimètre de longueur, millimètre carré, parce que 10 parties ou millimètres font un centimètre, le grand rectangle abce, 3 × 3 contiendra 9 millimètres superficiels.
Fig. 12.
Supposons encore que le petit carré ait 1 centimètre en tous sens, alors on dira que le grand carré abce a 9 centimètres superficiels.
Supposons enfin un rectangle fghi (fig.12), figure à angle droit plus longue que large, qui se compose de 5 carrés en hauteur et de 9 en longueur; 5 multipliés par 9 font 45. Si un des petits carrés est pris comme unité, un millimètre, on dira que le rectangle fghi a 45 millimètres de superficie; si l’unité est un centimètre, il aura 45 centimètres de superficie, si l’unité est 1 mètre, il aura 45 mètres de. superficie.
Il n’est pas besoin d’appliquer réellement la mesure carrée pour connaître la superficie d’un plan, sur le plan lui-même. Il suffit de savoir la longueur de chaque côté, pour savoir combien de fois cette unité est contenue dans le rectangle à mesurer.
Prenons pour modèle le rectangle fghi. Nous mesurons avec notre unité. Si cette unité est 1 mètre, nous trouverons qu’elle va 5 fois sur la face fg, et 9 fois sur la face gh; alors en multipliant 5 par 9 nous aurons 45 qui est le même nombre que celui qu’on trouve en comptant chaque carré séparément. Si au lieu de l’unité mètre, nous prenons l’unité, centimètre, on aura 45 centimètres au lieu de 45 mètres. Si l’on adopte l’unité millimètre, on aura 45 millimètres au lieu de 45 mètres ou 45 centimètres. Il y a par conséquent des mètres, des centimètres et des millimètres carrés.
Un mètre superficiel, ou une superficie d’un mètre de long sur un mètre de large, contient 10,000 centimètres de superficie, parce que dans un mètre linéaire (une ligne d’un mètre de longueur) il y a 100 centimètres, et que ces 100 centimètres de la longueur multipliés par les 100 centimètres de la largeur ou profondeur produisent dix mille (100 × 100 = 10,000).
Il y a un million de millimètres carrés ou superficiels dans un mètre carré ou superficiel, par la raison qu’il y a 1,000 millimètres linéaires dans un mètre et que 1,000 multipliés par 1,000 font 1,000,000.
Pour mesurer soit un carré, soit un rectangle, il suffit de multiplier l’un des côtés par l’autre.
Supposons une surface de 30 mètres 27 centimètres de longueur sur 23 mètres 54 centimètres de largeur, quelle sera sa superficie?
Multipliez un nombre par l’autre et le résultat sera la superficie ou contenance demandée. 712,558 ou 712 mètres, 55 centimètres, 58 millimètres.
Il faut bien que nous disions ici un mot de la célèbre proposition de Pythagore que: le carré fait sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés.
Sur l’hypoténuse, c’est-à-dire le plus grand côté du triangle rectangle abc (fig. 13), élevez un carré acde, et sur les côtés ab, bc, élevez-en deux autres abfg et bihc. Divisez le côté ac du carré acde ou l’hypoténuse en cinq parties égales, et l’on trouvera que le plus petit côté du triangle, cb, contiendra trois parties des cinq parties de l’hypoténuse et que l’autre côté ab du triangle en contiendra quatre. Faites selon ces divisions des carrés ainsi que le montre la fig. 13, et l’on trouvera que le carré élevé sur l’hypoténuse contiendra 25 petits carrés, tandis que le carré du petit côté en contiendra 9 et qu’enfin le carré fait sur l’autre côté du triangle en contiendra 16. Maintenant qu’on additionne le nombre des carrés du petit carré au nombre des carrés de l’autre côté, 9 + 16 = 25, on trouvera ce nombre égal à celui des carrés de l’hypoténuse.
Cette proposition est également vraie en se servant d’autres proportions. Si par exemple l’hypoténuse a 10 parties de longueur, les côtés pourront mesurer 6 et 8 de ces parties; car si 10 × 10 = 100, 6 × 6 + 8 × 8 = 36 + 64 = 100.
Il s’ensuit que si un ouvrier quelconque a besoin de construire un angle droit au moyen de trois planches ou lattes, il n’a qu’à en couper une de 0m,60 de longueur, une autre de 0m,80 et enfin une de 1 mètre pour l’hypoténuse. On voit donc par ce que nous venons de dire quelle est l’utilité de la proposition de Pythagore dans la pratique de la construction.
Tout rectangle peut être divisé en deux triangles rectangles dont les superficies sont identiquement les mêmes. Or si la superficie d’un rectangle peut se trouver en multipliant sa base par sa hauteur, on peut trouver celle d’un triangle rectangle en multipliant sa base par sa hauteur et en prenant la moitié du produit.
(Fig. 14). Si la superficie du carré abcd est égale à ab multiplié par bc (ou disons en chiffres ab représente 10 mètres et bc également 10 mètres), cette superficie sera la base multipliée par la hauteur (ou 100). Mais la diagonale ca divise le rectangle en deux triangles équivalents, abc, adc, il faut par Conséquent que la superficie ou l’aire du triangle abc soit égale à ab multiplié par bc et divisé par 2 (10 × 10 = 100 divisé par 2 = 50), et que ad multiplié par de et divisé par 2 soit égal au triangle précédent.
Si nous admettons que ab a 3m,56, bc 2m,60, la superficie de abcd sera de 9m,2560 (3m,56 × 2m,60 = 9m,2560), et celle des deux triangles abc, adc, de 4m,6280, ou moitié de 9m,2560.
La surface d’un triangle est donc toujours la moitié de la surface d’un rectangle qui a même base et même hauteur.
Cette proposition est absolument vraie; on peut donc élever sur la base d’un triangle quelconque un rectangle qui aura pour superficie juste le double de celle du triangle.
La géométrie prouve que le triangle abc est équivalent au triangle adc, que leurs superficies sont identiquement les mêmes, parce que leur hauteur bc et leur base ab sont égales. Mais si adc est la moitié de abcd, abc est également la moitié de abcd, et la superficie du triangle abc est ab multiplié par bc et divisé par 2.
Donc des triangles qui ont une même base et une même hauteur perpendiculaire ont aussi leurs superficies égales.
On prouve en géométrie que la superficie du triangle abc est égale à celle du triangle abc, parce que la base ab est commune aux deux polygones et que la hauteur bc est la même pour les deux figures.
Toute figure ou polygone dont les côtés sont formés de lignes droites peut se décomposer en triangles; en mesurant et calculant la superficie de ces triangles, on peut donc se rendre compte de la superficie entière du polygone.
Nous avons sous les yeux (fig. 15) une figure de six côtés, ab, bc, cd, de, ef et fa. Nous divisons cette figure en 4 triangles, 1, 2, 3, 4. Du sommet de chacun de ces 4 triangles, nous tirons les lignes ponctuées by, cs, uf, te, hauteurs de ces triangles. Multipliez la hauteur by du triangle n° 1 par sa base ac, prenez la moitié du produit qui sera la superficie du triangle n° 1 ou du triangle abc. Faites-en autant pour les autres triangles, additionnez ensuite les résultats de vos calculs, et le total sera la superficie de la figure abcdef.
Il y a encore une autre manière de calculer la surface d’un triangle. C’est de multiplier sa base par la moitié de sa hauteur (fig. 16). Si sa base ab a, par exemple, 6m,30 et sa hauteur de 5m,36, multipliez 630 par 268 (moitié de 5m,36). C’est comme si vous vous rendiez compte de la superficie d’un rectangle de 6m,30 de longueur sur 5m,36 de hauteur, dont la superficie serait de 33m,7680, et que vous prissiez ensuite la moitié de ce dernier produit, qui est égale à 16m,8840; or 630 multipliés par 268 produisent aussi 16m,8840.
Quand il s’agit de mesurer la superficie d’un polygone régulier, il suffit d’additionner les longueurs des côtés, de multiplier la somme par la longueur de la perpendiculaire tirée du centre sur un des côtés et d’en diviser le produit par 2; on aura la superficie du polygone.
Fig. 17
Supposons (fig. 17) un hexagone ou figure à six côtés égaux, dont chaque côté aurait 3 mètres; les six faces nous représenteront 18 mètres. La perpendiculaire oy aurait 2m,60; 18 multipliés par 2m,60 produisent 46m,80, dont la moitié est 23m,40.
L’aire ou la superficie du cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon. On peut en effet regarder le cercle comme formé d’un nombre infini de triangles. Qu’on se figure le cercle équivalant à un triangle dont la hauteur serait le demi-diamètre ou rayon du cercle et dont la base serait aussi longue que la circonférence du même cercle.
Si l’on pouvait réellement construire un tel triangle, on pourrait aussi réellement mesurer géométriquement le cercle, et il ne s’agirait que de trouver une ligne droite égale à la circonférence. Mais on n’a pu trouver jusqu’à présent le rapport exact de la circonférence au rayon et au diamètre; on n’a pu déterminer ce rapport que d’une manière approximative, et cette manière suffif pour les calculs nécessaires dans la construction.
Si l’on suppose un diamètre de cercle de 1 mètre de longueur, la circonférence de ce cercle sera de 3m,1416. C’est le rapport le plus exact qu’on a pu trouver, et c’est celui qui a été adopté pour tous les calculs mathématiques.
Ainsi donc, toutes les fois que le diamètre d’un cercle vous sera donné, pour connaître la circonférence, il faudra multiplier le diamètre par 3,1416.
Par exemple si le diamètre a 5 mètres de longueur, la circonférence c sera égale à 5 multipliés par 3m, 1416... ou 15m,7080, ou 15 mètres 70 centimètres 80 dix-millièmes.
Et réciproquement, selon une proportion semblable, on peut trouver par une circonférence donnée son diamètre.
Il suffit pour cela de diviser la circonférence par le chiffre 3,1416. Ainsi si la circonférence était égale à 21, le diamètre serait égal à 21 divisés par 3,1416, c’est-à-dire 6,67.
Fig. 18.
Nous venons de voir comment on obtenait la circonférence du cercle, une fois le diamètre connu. Pour en obtenir la superficie voici comment il faut procéder.
Prenez le rayon ou moitié du diamètre, multipliez-le par lui-même pour en obtenir le carré, et multipliez ensuite ce carré par 3,1416.
Supposons un diamètre de 6 mètres de longueur. Pour savoir quelle sera la superficie du cercle, prenez le rayon ou moitié du diamètre: 3 mètres, multipliez-le par lui-même pour en faire le carré, soit 9 mètres, et multipliez enfin ce carré par 3,1416, ce qui vous donnera pour la superficie du cercle 28m,274.
