Читать книгу Risikomanagement im Unternehmen Schritt für Schritt - Dietmar Ernst - Страница 13

Bei einer diskreten Zufallsvariable gibt es endlich viele mögliche Beobachtungswerte, zu denen jeweils eine positive Wahrscheinlichkeit gehört. Daher können den Beobachtungswerten Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Im stetigen Fall gibt es dagegen unendlich viele theoretisch mögliche Realisationen. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Wert eintritt – berechnet als Anzahl der günstigen Werte durch Anzahl der im stetigen Fall infinitesimal vielen möglichen Werte – ist dementsprechend für alle Werte gleich null. Daher gibt es bei stetigen Zufallsvariablen keine Wahrscheinlichkeitsfunktion.

An ihre Stelle tritt in diesem Fall die Dichtefunktion. Eine Dichtefunktion gibt an, wie dicht die betrachteten Variablen um einen beliebigen Punkt verteilt sind. Je höher die Dichte an dieser Stelle ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Variable aus diesem Bereich realisiert wird.

Eine Verteilungsfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeiten. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable höchstens einen bestimmten Wertebereich annimmt. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreibt damit die kumulative Wahrscheinlichkeit. Die Dichtefunktion ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion.

Eine der wichtigsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, ist die Normalverteilung. Die Dichtefunktion der Normalverteilung hat ein glockenförmiges Aussehen. Das Aussehen und die Eigenschaften der Normalverteilung werden durch zwei Parameter bestimmt:

Erwartungswert μ: Er beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.

Standardabweichung σ: Sie zeigt die Streuung um den Erwartungswert.

Die gesamte Fläche, die von der Kurve der Normalverteilung eingeschlossen wird (daher das Integral von -∞ bis ∞), hat stets einen Wert von eins.

Die Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung, bei der der Erwartungswert = 0 und die Standardabweichung = 1 sind.