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Course 1: Risikoanalyse

Nach diesen einleitenden Informationen über unsere Case Study wollen wir nun endlich mit Course 1 beginnen.

Course 1 behandelt folgende Themen:

Course Unit 1: Graphische Darstellung von Risiken

Course Unit 2: Varianz und Standardabweichung

Course Unit 3: Modelle zur Berechnung der Volatilität

Quantitative Beschreibung von Risiken

Sie haben sich entschlossen, zunächst die Risiken des Ölpreises anhand historischer Daten zu analysieren. Hierzu finden Sie die Erdölpreise ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre in der Excel-Datei Case Study Risikomanagement Teil 1. Für die Risikoanalyse benötigen Sie die Renditen. Sie möchten wissen, welche Verteilung die historischen Renditen des Ölpreises besitzen, um geeignete Risikomaße anwenden zu können. Hierzu ermitteln Sie die Häufigkeitsverteilung, Verteilungsfunktion und Dichtefunktion der Renditen.

Course Unit 1: Grafische Darstellung von Risiken

Assignment 1: Renditeberechnung

Aufgabe

Berechnen Sie die diskrete, tägliche Rendite und die stetige, tägliche Rendite für den Erdölpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre.

Inhalt

Der wichtigste Punkt im Risikomanagement ist zunächst die Frage: Was ist eigentlich Risiko? Der traditionelle Ansatz ist hierbei, das Risiko an den Zielen eines Unternehmens auszurichten. Werden die vorgegebenen Ziele verfehlt, so ist dies schlecht, werden die Ziele erfüllt oder übererfüllt, so ist das gut. Die Ziele in einem Unternehmen kann man in finanzielle und produktive Ziele unterteilen. Wir konzentrieren uns hier auf die finanziellen Ziele und betrachten Risiken, die aus Vermögenswerten wie Rohstoffe, Wechselkurse und Zinsen entstehen. Bei der Definition von Risiko lehnen wir uns an die Sichtweise der Mathematik und Statistik an und verstehen unter Risiko die Abweichung vom Erwartungswert.

Risiken gehen aus den Veränderungen von Preisen oder Werten für Vermögensgegenstände hervor. Diese können absolut gemessen (der Erdölpreis ist um 5,00 US$ gestiegen) oder relativ gemessen werden (der Erdölpreis ist um 5,0% gestiegen). Das Verwenden der relativen Veränderungen erlaubt es, Risiken unterschiedlicher Vermögensgegenstände zu vergleichen und zu einem Gesamtrisiko zu aggregieren. Die relativen Wertveränderungen werden bei verzinslichen Finanzprodukten als Zinsen und bei anderen Finanzprodukten als Wertänderung bezeichnet. Wir verwenden hier den einheitlichen Begriff der Rendite. Hier können wir wiederum

diskrete Renditen

stetige Renditen unterscheiden.

Die relative Wertveränderung oder diskrete Rendite r^d betrachtet zwei einzelne Zeitpunkte (Anlagezeitpunkt und das Ende des Anlagezeitraumes) bzw. mehrere Anlagezeitpunkte innerhalb eines Anlagezeitraums.

Bei einer stetigen Rendite r^s wird davon ausgegangen, dass das eingesetzte Kapital kontinuierlich verzinst wird. Der Unterschied zur diskreten Rendite liegt in der Betrachtung der Zeiträume, in denen die Anlage verzinst wird. Es kann durchaus sein, dass eine Anlage nicht nur monatlich, sondern auch wöchentlich, täglich oder sogar stündlich oder in noch kürzeren Intervallen verzinst wird. Bei einer stetigen Rendite unterstellt man infinitesimal (unendlich) kleine Anlageperioden. Je kleiner die Verzinsungszeiträume sind, desto geringer ist der Unterschied zwischen der diskreten und der stetigen Rendite.

Im Risikomanagement stellt sich stets die Frage, ob wir diskrete oder stetige Renditen als Grundlage für unsere weiteren Berechnungen verwenden wollen. Die Entscheidung für die diskrete oder für die stetige Rendite machen wir im Folgenden von der vorhandenen Datenbasis abhängig. Arbeitet man mit empirischen Daten und empirischen Verteilungen, bietet es sich an, die relevanten Risikoparameter mit der intuitiv verständlichen diskreten Rendite zu berechnen. Dies gilt auch für die historische Simulation. Wollen wir hingegen Risikoberechnungen auf Grundlage von Normalverteilungen vornehmen, dann entscheiden wir uns für stetige Renditen, da Normalverteilungen mit stetigen Renditen besser modelliert werden können. Dies gilt auch für die Berechnung des Portfoliorisikos mit der Varianz-Kovarianz-Methode und der Monte-Carlo-Simulation, bei denen eine Normalverteilung der Risikofaktoren und des Portfolios angenommen wird bzw. eine eigene Dichtefunktion durch Kalibrierung erstellt wird. Ferner setzen wir stetige Rendite bei der Modellierung stochastischer Prozesse ein.

Wichtige Formeln

Berechnung der diskreten, täglichen Rendite:

(1.1.1.1)

rtd =	Diskrete Rendite zum Zeitpunkt t, hier am Tag t
Wt =	Wert zum Zeitpunkt t, hier am Tag t
Wt−1 =	Wert zum Zeitpunkt t − 1

Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement Teil 1 Arbeitsblatt: Renditen

Excel-Beispiel: D8=C8/C7-1

Berechnung der stetigen täglichen Rendite:

(1.1.1.2)

rs =	Stetige Rendite
Wt =	Wert zum Zeitpunkt t, hier am Tag t
Wt − 1 =	Wert zum Zeitpunkt t − 1

Excel-Beispiel: E8=LN (C8/C7)

Vorgehensweise

Erstellen Sie eine Spalte für den Erdölpreis (Spalte C). Verlinken Sie die Zellen dieser Spalte mit den Werten aus dem Tabellenblatt Annahmen Ölpreise, so dass die Erdölpreise für den angegebenen Zeitraum auf dem Tabellenblatt Renditen angezeigt werden.

Berechnen Sie die diskrete, tägliche Rendite gemäß der oben aufgeführten Formel D8=C8/C7-1.

Berechnen Sie danach die stetige, tägliche Rendite gemäß der oben aufgeführten Formel E8=LN(C8/C7).

Ergebnis

Abbildung 1: Diskrete und stetige Renditen

Literatur und Verweise auf das Excel-Tool

Ernst, D., Häcker J. (2016): Financial Modeling, 2. Auflage, Schäffer-Poeschel, S. 610-611.

Hull, J. C. (2014): Risikomanagement: Banken, Versicherungen und andere Finanzinsitutionen, 3. Auflage, Pearson, S. 592-593.

Wüst, K. (2014): Risikomanagement: Eine Einführung mit Anwendungen in Excel, UTB, S. 27-43.

Siehe Excel-Datei: Case Study Risikomanagement Teil 1, Excel-Arbeitsblatt Renditen

Assignment 2: Erstellung eines Histogramms

Aufgabe

Erstellen Sie ein Histogramm für die diskreten, täglichen Renditen des Erdölpreises ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre, um die Häufigkeitsverteilung graphisch aufzuzeigen. Wählen Sie eine geeignete Einteilung der Daten in Klassen.

Inhalt

Risiko ist die Abweichung vom Erwartungswert. Aus den Risiken der Vergangenheit für die Risiken der Zukunft zu lernen, ist eine der Hauptaufgaben des Risikomanagements. Am besten kann das gelingen, wenn lange Zeitreihen historischer Daten vorliegen. Dies ist beispielsweise bei Aktienkursen, Rohstoffpreisen, Wechselkursen oder Zinsen gegeben. Um Risiken grafisch darzustellen, verwendet man Histogramme.

Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung der diskreten Häufigkeitsverteilung statistischer Daten. Es ist eine spezielle Form des Säulendiagramms. Dabei werden die Merkmalsausprägungen auf der X-Achse und die Häufigkeiten auf der Y-Achse eingetragen. Die Häufigkeit eines Messwertes in einem vorab definierten Intervall wird durch eine balkenförmige Fläche über dem Intervall dargestellt – dies kann relativ (in Prozent) oder absolut geschehen. In der Statistik wird ein Histogramm als Häufigkeitsverteilung bezeichnet.

Ein Histogramm vermittelt einen schnellen grafischen Überblick über die Verteilung von Renditen. Dadurch kann die Größe der Streuung und das Risiko des Vermögenswertes verdeutlicht werden. Ein Histogramm erlaubt, größere Datenmengen deutlich besser zu erfassen als mit einer Tabelle. Eine Ballung von Extremrisiken an den Rändern der Verteilung kann schnell erkannt werden.

Wichtige Formeln

Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement Teil 1 Arbeitsblatt: Histogramm

Bestimmung des Minimums der Renditen:

Excel-Beispiel: H8=MIN(D8:D1310)

Bestimmung des Maximums der Renditen:

Excel-Beispiel: H9=MAX(D8:D1310)

Bestimmung des Mittelwerts der Renditen:

Excel-Beispiel: H10=MITTELWERT(D8:D1310)

Bestimmung der Anzahl der Renditen:

Excel-Beispiel: H11=ANZAHL(D8:D1310)

Vorgehensweise

Für die Erstellung des Histogramms werden zunächst die diskreten, täglichen Renditen in Spalte D berechnet.

Dann werden

das Minimum H8=MIN(D8:D1310),

das Maximum H9=MAX(D8:D1310),

der Mittelwert H10=MITTELWERT(D8:D1310) sowie

die Anzahl der Renditen H11=ANZAHL(D8:D1310)mit den jeweiligen Excel-Funktionen berechnet.

Dies hilft, passende Intervalle (Klassenbereiche) für das Histogramm festzulegen.

Zur Erstellung des Histogramms wird hier der Klassenbereich in den Zellen F14:F40 festgelegt. Die Angaben stammen aus dem Arbeitsblatt Annahmen allgemein.

In unserem Excel-Beispiel reicht der Klassenbereich von -13% und erhöht sich jeweils in 1,0%-Schritten auf 13 %.

Mittels der Analyse-Funktion HISTOGRAMM lässt sich die Verteilung sehr leicht ermitteln.

Zur Funktion kommt man in Excel über Daten Analyse Datenanalyse Histogramm. Für den Fall, dass in Ihrer Excel-Version Analyse nicht aktiviert ist, gehen sie über Datei Optionen Add-Ins Los…und setzen ein Häckchen bei AnalysisToolPakund am besten gleich auch bei Solver Add-In, das wir später auch benötigen. Bestätigen Sie Ihre Auswahl mit OK.

Abbildung 2: Eingaben zur Erstellung eines Histogramms

Abbildung 2 zeigt den Eingabebereich zur Erstellung des Histogramms.

Als Eingabebereich werden die diskreten, täglichen Renditen D8:D1310 eingegeben, als Klassenbereich die vorher bestimmten Klassenobergrenzen in den Zellen F14:F40 und als Ausgabebereich die Zelle G13, ab der das Ergebnis angezeigt werden soll.

Des Weiteren wird das Feld Diagrammdarstellung angeklickt, um sofort ein Schaubild aus den Daten zu erhalten.

Es werden die Spalten Klasse und Häufigkeit automatisch eingefügt und berechnet.

Es empfiehlt sich aus optischen Gründen, das Schaubild in Excel nachträglich noch an das eigene Design anzupassen.