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1.7Problemas propuestos
Оглавление1.Una escalera de 50 m. de largo se deja descansar contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 14 m. de la base del muro. Si el extremo superior de la escalera se desliza 8 m., entonces el pie de la escalera se correrá:
(A)5 m.
(B)10 m.
(C)20 m.
(D)8 m.
(E)16 m.
2.Dos postes de 3 y 7 m. de altura, están separados 15 m. La altura de la intersección de las rectas que unen las cúspides de cada uno con la base del poste contrario es de:
(A)2 m.
(B)2,1 m.
(C)2,5 m.
(D)2.7 m.
(E)3 m.
3.Se afirma que:
(I)(sec α − 1)(sec α + 1)(sec2 α + 1)
(II)tg 2α(sec2 α + 1)
(III)2tg 2α + tg 4α
De estas afirmaciones es (son) verdadera(s):
(A)Sólo (I) y (II).
(B)Sólo (I) y (III).
(C)(I), (II) y (III).
(D)Sólo (II) y (III).
(E)Sólo (I).
4.¿A qué hora entre las cuatro y las cinco el minutero está trece minutos más adelante del horario?
(A)4 h. 13 min.
(B)4 h. 16 min.
(C)4 h. 20 min.
(D)4 h. 36 min.
(E)4 h. 38 min.
5.Si entonces cos α = ...
6.Una colina mide 420 m. de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la cima vista desde un punto R en el suelo es de 30◦. La distancia desde R al pie de la colina es de:
(A)400 m.
(D)420 m.
7.Si en ∆ABC se tiene entonces γ = ...
(A)18◦
(B)36◦
(C)54◦
(D)72◦
(E)108◦
8.De las siguientes alternativas la falsa es:
(A)tg θ + cot θ = sec θcosec θ
(B)1 − 2sen 2α = 2 cos2 α − 1
(C)cos4 − β sen 4β = cos2 − β sen 2β
(D)cos γ + tg γsen γ = cosec γ
(E)sen ϕ cos ϕcosec ϕ sec ϕ = 1
9.Se sabe que:
entonces resulta:
10.
(A)sen 2τ
(B)sec 2τ
(C)sec 2τ − tg 2τ
(D)tg 2τ
(E)tg 2τ + sec 2τ
11.
(C)1
(D)−1
(E)0
12.
13.
14.
(A)sen α + sen β
(B)cos α + cos β
(C)tg α + tg β
(D)cot α + cot β
(E)sec α + sec β
15.El valor de sen 75◦ = ...
(E)Ninguna de las anteriores.
16.Se tiene que:
(A)cot β
(B)tg β
(C)sec β
(D)cosec β
(E)sen β
17.
(A)tg 4α
(B)cot4 α
(C)cos4 α
(D)tg 2α
(E)sec4 α
18.
(A)sen 4α − cos4 α
(B)cosec 4α − cot4 α
(C)0
(D)sec2 α − tg 2α
(E)sec2 α + tg 2α
19.sen α
(A)sec α
(B)cosec α
(C)tg α
(D)1 − cos α
(E)1 + cos α
20.
(A)sen 3α − cos3 α
(B)sec2 α − cosec 2α
(C)sen 3α + cos3 α
(D)sen 3α − cos3 α
(E)sen 4α − cos4 α
21.Siendo α un ángulo agudo y sec α + tg α = 2, entonces cos α = ...
22.Si en un triángulo ABC rectángulo en C, sec α = 3 y BC = 16, resulta que la hipotenusa AB = ...
(C)32
(E)25
23.Si p = sec γ, q = cosec γ, entonces (p + q)(p − q) + 2q2 = ...
(A)1
(B)0
(C)p2q2
(D)p + q
(E)p2 − q2
24.El ángulo α tal que que satisface la ecuación:
es:
25.Un triángulo rectángulo tiene por hipotenusa c = 8 cm. y sen entonces los catetos miden:
26.En un △ABC isósceles de base AB se conoce la altura 1, 2 m. y la tangente trigonométrica del ángulo basal es 0, 75. Entonces el área del triángulo ABC es:
(A)1, 92 m2
(B)1, 28 m2
(C)1, 60 m2
(D)6, 40 m2
(E)9, 60 m2
27.Si α es un ángulo agudo y cot entonces sen α vale:
28.Si se tiene:
Entonces la relación entre x e y es:
(A)x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
(B)x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0
(C)x2 + y2 − 2x − 2y − 1 = 0
(D)x2 + y2 − 2x + 2y + 1 = 0
(E)x2 + y2 + 2x − 2y + 1 = 0
29.Si θ es un ángulo agudo y positivo que satisface la ecuación:
entonces θ = ...
30.El valor de
es igual a:
(A)sec2 αcosec 2α
(B)sen 2α cos2 α
(C)sen2α + tg 2α
(D)sen 2αtg 2α
(E)tg 2α + cot2 α
31.El valor de:
es igual a:
(A)cot2 αtg 2α
(B)sec2 αcosec 2α
(C)cot2 α(1 + sec4 α)
(D)cot2 α(tg 4α + 1)
(E)tg 2α(tg 4α + 1)
32.El valor de:
es igual a:
(A)sen 2α(1 − sec2 α)
(B)cos2 α(1 − sec2 α)
(C)tg 2α(1 + cos2 α)
(D)cos2 α(1 + cos2 α)
(E)cos2 α(1 − cos2 α)
33.Si β es un ángulo tal que entonces cos β = ...
34.Se sabe que:
entonces resulta
35.Resolver el triángulo ABC rectángulo en C, sabiendo que:
(a)a = 25, 72 , α = 36◦ 20′
(b)a = 574, 16 , β = 56◦ 20′ 36″
(c)a = 342, 86 , α = 55◦ 32′ 48″
(d)c = 44, 26 , α = 56◦ 14′
(e)c = 287, 68 , α = 38◦ 10′ 12″
(f)c = 67, 546 , β = 47◦ 25′ 36″
(g)a = 42, 42 , b = 58, 48
(h)a = 384, 66 , b = 254, 88
36.Eliminar el ángulo θ en cada sistema: (a)
37.Dos lugares sobre el mismo meridiano están a 232,83 km. uno de otro. Encontrar su diferencia de latitud si el radio de la tierra es de 6350 km. aproximadamente.
38.Si en una circunferencia de radio 6 cm. un ángulo del centro de 20◦ 17′ subtiende un arco, hallar el ángulo que subtenderá tal longitud en una circunferencia de radio 8 cm.
39.Una escalera de 13,5 m. de longitud llega hasta la parte superior de un muro. Si la escalera forma un ángulo de 60◦ con el muro, hallar la altura de éste y la distancia a él desde el pie de la escalera.
40.Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio; a 12 m. de distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior del edificio son de 60◦ y 30◦ respectivamente. Hallar la longitud del asta.
41.Desde la cúspide de un monumento de 30 m. de altura, los ángulos de depresión de dos objetos, que están sobre el terreno en la direcciónn oeste del monumento son de 45◦ y 30◦ respectivamente. Hallar la distancia que los separa.
42.Mirando hacia el sur desde la parte superior de un acantilado, los ángulos de depresión de una roca y de una boya se observa que son de 45◦ y 60◦. Si se sabe que estos objetos están separados 110 m. hallar la altura del acantilado.
43.Desde lo alto de un acantilado de 1500 m. de altura los ángulos de depresión de dos embarcaciones que están situadas al sur del observador son de 25◦ y 85◦ respectivamente. Hallar la distancia entre esas embarcaciones.
44.Una torre está al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 9◦. Desde un punto de la colina 12 m. más arriba la torre subtiende un ángulo de 54◦, hallar la altura de la torre.
45.Una lámina rectangular ABCD descansa en una muralla, estando el vértice A en la línea horizontal (piso) y el vértice B en la arista vertical. El lado AB forma un ángulo θ con la recta horizontal en el punto A. Sea E la proyección ortogonal de C sobre la arista vertical y F la respectiva proyección ortogonal de C sobre la horizontal. Calcular EC = x y CF = y en términos de θ. Usar estos resultados para probar que:
46.Se tiene un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. Desde el extremo superior del plano inclinado se ve un objeto situado en la horizontal según ángulo de depresión α; desde la mitad del plano inclinado se observa el mismo objeto con un ángulo de depresión β. Demostrar que:
47.Una torre de altura h se encuentra al norte de un punto A y al oeste de un punto B. En A y B los ángulos de elevación de la parte más alta de la torre son α y β, respectivamente. Si AB = c, demostrar que:
48.La altura de una colina es de 990 m. sobre el nivel de un plano horizontal. Desde un punto A de dicho plano la elevación angular de la cima de la colina es de 60◦. Un globo se eleva desde el punto A y asciende verticalmente con rapidez uniforme; después de 5 minutos, para un observador que está en el globo, la elevación angular de la cima de la colina es de 30◦. Hallar la rapidez de ascensión del globo en [km./h.].
49.Un avión vuela en línea recta a una altura de 1000 m. A las 13 horas se encuentra en A y asciende bruscamente desviándose 30◦ con la horizontal manteniendo el movimiento rectilíneo con rapidez constante. Después de 10 segundos el avión se encuentra en B. Si desde una torre de observación en la tierra se tienen ángulos de elevación de 30◦ y 45◦ para los puntos A y B, respectivamente, indicar cuál es la rapidez del avión suponiendo que las visuales de los puntos A y B y la trayectoria del avión están en un plano.
50.Dos astas de bandera se levantan verticalmente sobre un plano horizontal. A y B son dos puntos sobre la recta que une los pies de las astas y están entre ellos. Los ángulos de elevación de los extremos superiores de las astas vistos desde A son 30◦ y 60◦ y vistos desde B son de 60◦ y 45◦. Si la longitud de AB es de 9 m. hallar las longitudes de las astas y la distancia que las separa.
51.Dos chimeneas AB y CD tienen la misma altura. Una persona que está entre ellas en la recta AC que une sus bases observa que la elevación de la más cercana es de 60◦. Después de caminar 24 m. en una dirección perpendicular a AC observa que las elevaciones son de 45◦a la más cercana y 30◦a la otra. Hallar la altura de las chimeneas y la distancia que las separa.
52.Dos postes verticales cuyas alturas son a y b subtienden el mismo ángulo α desde un punto que está en la línea que une sus pies. Si ellos subtienden ángulos β γ desde un punto del plano horizontal desde el cual la línea que une sus pies subtiende un ángulo recto; demostrar que:
53.La elevación de una colina desde un lugar P al este de ella es 45◦ y desde un lugar Q, al sur de P, la elevación es 30◦. Si la distancia entre P y Q es 500 m., hallar la altura de la colina.
54.Se tiene un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r. Demostrar que el perímetro y el área de este polígono son, respectivamente:
55.Expresar cada uno de los productos siguientes como suma:
(a)sen 3θ cos 5θ
(b)cos 7θ cos 5θ
(c)cos 7θsen 5θ
(g)cos 2θ cos 6θ
(h)2sen 7θsen 2θ
56.Expresar cada una de las sumas siguientes como producto:
(e)sen 8θ + sen 4θ
(g)cos 8θ – cos 4θ
(h)sen 6θ – sen 4θ
57.Demostrar las siguientes identidades:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
