Читать книгу Trigonometría y geometría analítica - Gonzalo Masjuán - Страница 78

De la definición se deduce que si f(x + r) = f(x) también se tendrá:

como a la vez:

Ejemplo 2.2.3 Pensemos en la función real definida por:

donde existe z ∈ Z de modo que x ∈ [2z −1, 2z + 1[. Haremos ver que f tiene período 2.

En efecto, vemos que si ℓ ∈ Z y para x tal que:

se tiene:

Además, de 2ℓ − 1 ≤ x ≤ 2ℓ + 1 se consigue:

o mejor:

y, de ello, se desprende que:

o sea que el período podría ser r = 4.

Si nuevamente pensamos en x tal que:

o mejor:

y, con ello:

y de esto vemos que el período podría ser r = 2.

Haremos ver que el período es exactamente 2.

En efecto, supongamos que el período es p con 0 < p < 2 y pensemos en x = 0, así f(0) = 0. Pues bien, se presentan los casos:

(1)0 < p ≤ 1 ⇒ f(0 + p) = p ≠ 0 = f(0) ,

(2)1 < p < 2 ⇒ f(0 + p) = |p − 2| ≠ 0 = f(0) .

Se concluye entonces que p = 2. Ahora pasamos a presentar en la figura 2.9 el gráfico de esta función periódica de período p = 2.

Fig. 2.9