Читать книгу Manual de matemáticas financieras - Guillermo L. Dumrauf - Страница 68

Se habla de vencimiento común cuando se reemplaza un conjunto de documentos por uno nuevo (cuyo valor es diferente a la suma de los documentos anteriores) y se establece un nuevo plazo de vencimiento (este plazo de vencimiento, es «común» para todos los documentos reemplazados). Entonces, se trata de reemplazar a varios capitales C₁, C₂... C_n, por un solo capital C_t con vencimiento en un período determinado t.

Recordemos que para que el nuevo pago que va a reemplazar a los anteriores sea equivalente desde el punto de vista financiero, el valor presente del nuevo pago (V) siempre debe ser igual al valor presente de los anteriores pagos. Suponiendo que el documento nuevo quiere reemplazar a otros dos cuyos vencimientos operaban dentro de uno y diez meses respectivamente, la expresión del valor presente del nuevo documento según el descuento racional sería:

En el vencimiento común, las incógnitas pueden ser dos: si predefinimos el plazo de vencimiento, la incógnita es el valor del nuevo documento; si predefinimos este último, la incógnita es el plazo de vencimiento.

Una vez obtenido el valor presente del nuevo pago (V), se calcula el valor nominal del nuevo documento (o capital final) utilizando simplemente la fórmula del interés simple. Si el nuevo documento se firmara con un vencimiento de dentro de 12 meses, su valor sería:

C_t = V (1 + i × 12)

Ejemplo: se ha documentado una deuda en 2 pagos a los 6 y 8 meses de plazo, por importes de 1.000 € y de 10.000 € respectivamente. De común acuerdo, deudor y acreedor deciden reemplazar esos dos pagos por uno solo, para hacer efectivo dentro de 10 meses. ¿Cómo determinar el valor de ese nuevo pago dentro de 10 meses, sabiendo que el valor de la tasa de interés vencida es del 2 % mensual? Resolveremos analizando por descuento comercial y racional, de acuerdo con las equivalencias que fueron tratadas anteriormente.

a. Por descuento racional

El primer paso es calcular el valor presente de los dos documentos, para obtener el valor presente del nuevo documento, que se firmará con un vencimiento a diez meses:

Luego se calcula el valor nominal del nuevo documento mediante la fórmula del monto a interés simple, para diez períodos:

C₁₀ = 9.513,55 (1 + 0,02 × 10) = 11.416,25

El nuevo documento, firmado con vencimiento dentro de diez meses por un valor de 11.416,25 €, es equivalente a los dos documentos por 1.000 y 10.000 euros, que vencían dentro de 6 y 8 meses, respectivamente.

Un punto muy importante que debe remarcarse es que en el régimen simple siempre debe calcularse primero el valor presente del documento, para después calcular su equivalente en otra fecha futura. Por ejemplo, el documento de 1.000 € que vencía a los 6 meses tiene un valor presente de 892,85; la diferencia de 107,15 son los intereses entre el momento 0 y el mes 6; si capitalizáramos el valor nominal del documento (1.000) para llevarlo directamente a la fecha futura donde vencerá el nuevo documento, esto sería incorrecto, puesto que se estaría capitalizando los intereses y se transformaría la operación en una de interés compuesto.

b. Por descuento comercial

Si la tasa de interés vencida es del 2 % mensual, la tasa de descuento equivalente es influida por el número de períodos, según vimos antes en este mismo capítulo, donde la obteníamos a partir de la siguiente expresión:

Para el primer documento, la d equivalente para 6 meses es

Y para el segundo documento la d equivalente para 8 meses es

Luego, resolvemos el valor presente de ambos documentos:

V = V₁ + V₂

V = 1.000 (1 – 0,01785 × 6) + 10.000 (1 – 0,01724 × 8) = 9.513,55

Que es el mismo valor obtenido a través de la fórmula del valor presente con descuento racional que vimos anteriormente. El valor nominal del nuevo documento también se calcula igual que antes, mediante la fórmula del monto a interés simple, para diez períodos:

C₁₀ = 9.513,55 (1 + 0,02 × 10) = 11.416,25