Читать книгу Manual de matemáticas financieras - Guillermo L. Dumrauf - Страница 76

1. Es un ejercicio sencillo de interés simple, donde se deposita un capital a una tasa de interés efectiva mensual. En los mercados financieros, se sobreentiende siempre que una tasa mensual siempre se refiere a un mes de 30 días. Aplicando la fórmula del monto a interés simple, tenemos:

Co(1 + in) = 100.000 (1 + 0,005 × 1) = 100.500

Observe que el número de períodos de la operación es igual a uno, ya que se supone que estamos realizando un depósito por «un período», que en este caso es un mes. Cuando el período de la operación es «1», la tasa nominal y la efectiva son exactamente iguales. También se observa que la tasa de interés aparece expresada en «tanto por uno» (0,5 / 100 = 0,005), que es lo que se hace siempre en las operaciones de matemática financiera.

2. I(0,n) = C₀in = 100.000 × 0,005 × 1 = 500

3.

4. En este caso, como el dato disponible es el interés acumulado, despejamos el capital inicial de la fórmula para I(0,n):

5. Para saber el porcentaje de descenso en dólares, dividimos el precio nuevo por el precio viejo, siempre en dólares, y restamos el 1:

Note que el cociente entre 310 y 400 nos dice qué porcentaje representa 310 de 400 (77,5 %); al restar el 1, nos da el porcentaje en que debe descender 400 para transformarse en 310. Otra forma de razonar esto es asimilar el descenso del precio a una tasa de descuento:

La fórmula anterior resulta de despejar la tasa de descuento de la fórmula del valor presente con descuento comercial C₀ = C_n (1 – dn), ya que el porcentaje de descenso puede asimilarse a un descuento. Ahora bien, como aumentó la cotización del dólar, el juego cuesta en pesos 310 × 2,95 = 914,50. Para saber el incremento porcentual en pesos, dividimos el nuevo precio en pesos por el viejo precio en pesos:

6.

Note que en el interés simple las tasas se suman; en esta operación puede verse que se ganó 12 veces el 1 % mensual si realizamos la operación inversa partiendo del capital inicial hasta llegar al monto:

C₀(1 + in) = 267.857,14 (1 + 0,01 × 12) = 300.000

7. Como tenemos como dato disponible el interés obtenido, simplemente despejamos el capital de la fórmula. En este caso, la tasa de interés es una tasa nominal, por lo que debemos proporcionarla para el período de la operación:

Observe que se partió de la fórmula del interés I(0,n) = C₀in y se despejó el capital inicial, quedando C₀ = I(0,n) / in; lo que ocurre es que al tratar con una tasa nominal debimos proporcionarla previamente. Una vez expresada la tasa en 30 días, el número de períodos de la operación n = 1.

8.

9. Observe que cuando proporcionamos la tasa del 8 % anual a los 30 días obtenemos una tasa efectiva mensual del 0,6575 %.

10. En los mercados financieros, generalmente se conviene que el día de la aplicación (1/1/2004) gana intereses, no así el día del retiro (20/02/2004). Por lo tanto, contamos 31 días para enero y 19 para febrero, en total 50 días.

11. Capital al final de los 6 meses: 10 000(1+0,05×6) = 13 000

Retirando 500 € al final de los 120 días (cuatro meses):

10.000(1+0,05×6) − 500(1+0,05×2) = 12 450

También puede resolverse haciendo explícita la operación, calculando el monto al final de los 120 días, luego restar el retiro de 500 €, y finalmente sumar los intereses calculados bajo el régimen simple:

Aplicación inicial por 4 meses:	10.000(1+0,05×4) = 12.000
Menos retiro a los 4 meses:	(500)
Más intereses sobre capital inicial	950 (9.500×0,05×2)
Total	12.450

Note que los intereses de los últimos dos meses se calcularon sobre 9.500, ya que se supone que los 500 se retiran del capital inicial, siguiendo estrictamente las reglas del interés simple.

12.

13. Como C₁ + C₂ = 35.000, podemos reexpresar C₁ en función de C₂

(35.000 × 1,032876 − C₂1,032876 + C₂1,018082 = 35.854,80

C₂(−0,014794) = −295,86

Como C₂ = 20.000, reemplazando en (C₁ + C₂) = 35.000, resulta C₁ = 15.000.

14. Como C₁ + C₂ = 50.000, podemos expresar C₁ en función de C₂ y luego igualar la suma de los intereses ganados en cada inversión al interés total obtenido:

493,15 − C₂0,009863 + C₂0,0049315 = 394,52

−C₂0,0049315 = −98,63

Finalmente C₂ = 20.000 y, por lo tanto, C₁ = 30.000.

15. Los intereses se calculan sobre saldo deudor que se arrastra desde el mes anterior; sobre el gasto de 250 € del mes en curso, no se calculan intereses por corresponder al período que financia la tarjeta.

Saldo al 30-4-2012 = 500 + 20 + 250 = 770

16. Intereses al

17. El valor presente del documento es

El verdadero coste efectivo de la operación debemos medirlo en tasa de interés vencida, por lo que después de calcular la tasa de descuento calculamos su correspondiente equivalente vencida:

Luego, el cálculo para 2 meses:

La tasa de descuento para 60 días resulta ser el doble de la tasa de 30 días, pero aquí debemos alertar acerca del coste efectivo de la operación. En el régimen simple, cuando calculamos la tasa de interés vencida a partir de la tasa de descuento, la cantidad de períodos influye en la relación de equivalencia (cosa que no ocurre en el interés compuesto), y esta es calculada con la fórmula:

i₆₀ = 0,0126 × 2 = 0,0252 = 2,52%

Ya que, si colocamos 97,53 € al 1,26 % mensual durante 2 meses, obtendremos 100 €; en régimen simple, para una operación de dos meses, el 1,26 % es una tasa nominal, ya que la tasa efectiva de la operación de dos meses es el 2,52 % (1,26 % × 2). En otras palabras, un capital de 97,53 colocado al 1,26 % mensual durante dos meses reproduce los 100 € que era el valor nominal del documento:

97,53 (1+0,0126×2) = 100

18. El valor presente del documento es:

La comisión se cobra sobre el valor nominal: Comisión (20.000 0,018) 360

El valor efectivo recibido es 19.736,98 − 360 = 19.376,98.

Luego, a través del cociente entre el valor nominal y el valor efectivamente recibido podemos calcular el coste efectivo de la operación en términos de tasa de interés vencida:

19. El valor presente recibido es:

y el descuento comercial:

20. En el precio de contado, como resulta obvio, hay un descuento implícito del 25 %, que también podemos determinar mediante la fórmula de la tasa de descuento en el descuento comercial. Si hay una tasa de descuento, hay siempre una tasa de interés vencida equivalente:

También podemos calcular la tasa de interés vencida (que en el caso del pago con tarjeta funciona como un recargo sobre el precio de contado) realizando el cociente entre el monto y el valor presente y restarle 1 (uno):

21. Usted puede calcular el coste efectivo haciendo un análisis un poco largo, calculando primero la tasa efectiva de descuento y finalmente su equivalente vencida. Si recordamos que Co = Cn (1 – dn), siendo n = 1, tenemos que la tasa de descuento d es igual a:

Observe que siempre en las fórmulas donde se despeja la tasa de descuento a partir de los datos capital inicial y monto, siempre aparece el número 1 primero y luego se resta el cociente Co/Cn, ya que si a la unidad le restamos la proporción que representa el capital inicial o valor descontado sobre el valor nominal, nos da la tasa de descuento. Luego podemos calcular la tasa de interés vencida equivalente con la conocida fórmula de equivalencia:

Pero podríamos haber hecho el cálculo de una forma más rápida, igualando factores de capitalización. Para transformar un factor de descuento en uno de capitalización, debemos expresarlo con el exponente −1. Luego podemos establecer la equivalencia:

Y simplemente despejar la tasa de interés vencida i a partir de los datos capital inicial y monto, sin necesidad de pasar por la tasa de descuento (que, por otra parte, no era solicitada en el ejercicio).

22.

23. Aplicando la fórmula del «atajo» para el vencimiento medio:

Tendremos:

24. Expresando la igualdad para una corriente de tres pagos iguales, solo debemos despejar la incógnita X:

Primero, sacamos factor común X:

Finalmente, resolvemos para X:

25. En primer lugar, el coste financiero de pagar al proveedor a 30 días y no a 90 involucra un descuento del 3,29 % efectivo por 60 días, que es equivalente a una tasa vencida para el mismo plazo del 3,40 % [0,0329/(1-0,0329)], de modo que el coste de oportunidad del período de 60 días, es del 3,40 %. Para saber cuál es la mejor alternativa de financiamiento, debemos comparar el coste financiero de cada alternativa para un período de 60 días.

a. En este caso, la tasa de descuento nominal para 60 días equivale a una tasa de descuento efectiva d = (0,20 × 60 / 365) = 3,29 %. Pero como además se exige inmovilizar el 2 % del valor descontado, el total recibido por cada 100 € es 100 – 3,29 – 2 = 94,71 €. El coste financiero para 60 días resulta ser entonces: 100 / 94,71 – 1 = 5,58 %.

b. La tasa de descuento nominal para 60 días equivale a una tasa de descuento efectiva d = (0,18 × 60 / 365) = 2,96 %. Pero como además deben abonarse al contado comisiones (3 %), gastos administrativos (2 %) y un sellado (1 %), el total recibido por cada 100 € es 100 – 2,96 – 3 – 2 – 1 = 91,04 €. El coste financiero para 60 días resulta ser entonces 100 / 91,04 – 1 = 9,84 %.

c. En este caso, el coste efectivo para 60 días es 0,25 × 60 / 365 = 4,11 %.

No conviene pagar por adelantado al proveedor, ya que el descuento que ofrece es muy bajo, incluso comparado con la alternativa más barata de financiamiento analizada, cuál es el adelanto en cuenta corriente bancaria.