Читать книгу Manual de matemáticas financieras - Guillermo L. Dumrauf - Страница 70

a. En el descuento racional

El último punto de la sección anterior ilustraba una relación muy importante: aun para grandes cambios en la tasa de interés vencida, el vencimiento medio —en el descuento racional— se modifica muy poco. ¿A qué se debe? Cuando la tasa de interés aumenta, hay dos fuerzas que juegan en sentido contrario: por un lado crece el monto del documento cuya fecha de vencimiento es anterior a la del vencimiento medio y, por otro, se reduce el valor presente del documento cuyo vencimiento es posterior a la fecha del vencimiento medio.

En general, el vencimiento medio se mueve hacia la fecha de vencimiento del documento de mayor valor, pero un aumento en la tasa de interés produce el siguiente cambio: si el vencimiento del documento con mayor valor es el más lejano, el vencimiento medio se reduce; si por el contrario, el vencimiento es anterior al del documento con menor valor, el aumento de la tasa lo acerca a su fecha de vencimiento. Lo contrario se cumple para reducciones en la tasa de interés. Estos efectos son todavía más importantes en el régimen compuesto, y conocer esta relación tiene particular importancia en situaciones de la vida real, por ejemplo, en el diseño de carteras «inmunizadas» de títulos de renta fija.

b. En el descuento comercial

El caso del vencimiento medio en el descuento comercial plantea un caso interesante, ya que puede calcularse independientemente de la tasa de contrato de la operación. El principio de equivalencia nos dice que el valor presente del nuevo documento es igual a la suma de los valores presentes de los documentos que reemplaza:

C (1 − dt) = C₁ (1 − dt₁) + C₂ (1 − dt₂)

Distribuyendo y luego sacando el factor común queda:

C − Cdt = C₁ − C₁dt₁ + C₂ − C₂dt₂

Como en el vencimiento medio, en el nuevo documento C = C₁ + C₂ podemos simplificar la ecuación y queda:

Cdt = d (C₁t₁ + C₂t₂)

Finalmente, podemos despejar t:

Para el ejemplo anterior, resulta:

Y si se invirtieran los vencimientos, como fue mencionado anteriormente, el período t hubiera sido de nuevo 6,17:

En el caso particular de que C₁ = C₂ la fórmula quedaría:

Donde N representa el número de documentos. Observe que en estas expresiones no aparece la tasa de descuento de la operación. El resultado hubiera sido el mismo aunque la tasa de descuento hubiera sido del 2 % o del 200 %. Sin embargo, vimos que cuando aplicábamos el descuento racional, un cambio en la tasa de interés vencida tenía influencia, aunque muy poca, en el vencimiento medio de la operación. ¿Por qué en el descuento comercial el cambio en la tasa de descuento no influye sobre el resultado? Ya vimos que para que el descuento comercial y el racional arrojen exactamente el mismo resultado, tendríamos que utilizar para cada documento la tasa equivalente para cada período, según el vencimiento de cada documento. Así, tendríamos que calcular la d equivalente a la i en cada período, ya que la relación se ve alterada por el número de períodos, como fue demostrado anteriormente. En cambio, si utilizamos el descuento comercial y se predefine una tasa de contrato d, si bien es cierto que, cuanto mayor sea esta, menor será el valor presente de los documentos, inmediatamente aparece implícita una tasa vencida de arbitraje que iguala el valor presente con la suma de los documentos (11.000) siempre en idéntico plazo. Por ejemplo, si hacemos el cálculo con tasas de descuento de d = 2 % y d = 10 % mensual, el valor presente de los documentos en cada caso sería:

V_(d=2%) = 1.000 (1 – 0,02 × 6) + 10.000 (1 – 0,02 × 8) = 9.280

V_(d=10%) = 1.000 (1 – 0,10 × 6) + 10.000 (1 – 0,10 × 8) = 2.400

Luego el vencimiento medio en ambos casos sería:

Siempre hay implícita una tasa de interés vencida que hace que la colocación de 9.280 o de 2.400 (2,37 % mensual y 45,83 % mensual) alcance en 7,8181 períodos el monto de 11.000 €:

9.280 (1 + 0,0237 × 7,8181) = 11.000

2.400 (1 + 0,4583 × 7,8181) = 11.000

Por lo tanto, la tasa de descuento no influye en el vencimiento medio, ya que si esta aumenta, y con ello disminuye el valor presente de los documentos, luego surge una tasa de interés vencida mayor que vuelve a igualar el valor presente con la suma de los documentos siempre en el mismo plazo.⁷

Preguntas de autoevaluación

1. ¿Por qué en el cálculo del vencimiento común o el vencimiento medio debemos siempre calcular primero el valor presente?

2. ¿Por qué la tasa no influye en el vencimiento medio en el descuento comercial?