Читать книгу Sociedad y complejidad. Del discurso al modelo - Manuel Antonio Vivanco Arancibia - Страница 16

La matemática desde una perspectiva formal es una disciplina deductiva de carácter axiomático. Desde esta perspectiva no es una ciencia de la cantidad, sino una disciplina orientada a obtener conclusiones lógicamente coherentes a partir de un conjunto de axiomas.

En este contexto resulta relevante establecer la coherencia interna del sistema de axiomas y postulados tal que no puedan deducirse teoremas contradictorios entre sí utilizando el mismo sistema de referencia.

El artículo de Gödel “Sobre proposiciones formalmente indecibles de los Principia Matemática y sistemas afines” demuestra que todo sistema formal deductivo que considere los principios y reglas elementales de la lógica y la aritmética se enfrentará necesariamente con proposiciones indecibles.

Se entiende por proposición indecible una proposición que no puede ser demostrada ni refutada dentro del sistema. En este contexto se señala que el sistema es incompleto.

Resulta evidente que para un sistema deductivo el atributo de incompletitud deslegitima al sistema en su naturaleza íntima.

El teorema de la incompletitud trae anexo una segunda consecuencia devastadora para los sistemas formales. En efecto, de la incompletitud se infiere el teorema de inconsistencia. Teorema que establece la incapacidad de un sistema axiomático para probar de acuerdo a su formalización que el sistema es consistente.

La consistencia es una propiedad básica en un sistema formal. Dice relación con la coherencia o ausencia de contradicción dentro del sistema. Gödel demuestra que si la aritmética es consistente, entonces es incompleta.

Tarsky (1985) aplica el razonamiento de Gödel al ámbito de la semántica. No se trata de un uso metafórico, sino de una aplicación sustantiva. A su juicio, ningún sistema semántico dispone de los medios para la justificación de su propia completitud y coherencia. En particular, todos los lenguajes formales fijados a priori presentan un problema respecto a la veracidad de sus enunciados. Se demuestra que el concepto de verdad en los enunciados [de un lenguaje] no puede ser definido [en ese lenguaje].