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Definición

Dos circuitos se dicen duales cuando constituyen dos representaciones físicas diferentes de un mismo sistema de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones de nodos de uno de los circuitos son las ecuaciones de mallas del otro, su dual.

Considérense los circuitos de la figura 2.35.

Figura 2.35. Circuitos duales.

La ecuación que caracteriza el circuito de la figura 2.35.a es:

mientras que la ecuación que caracteriza el circuito de la figura 2.35.b es:

Se trata, efectivamente, de dos circuitos duales. Las dos ecuaciones (2.56) y (2.57) son la misma ecuación y, en consecuencia, tienen la misma solución. Se puede pasar de una a otra sin más que sustituir tensión por corriente, corriente por tensión, resistencia por conductancia, inductancia por capacitancia y capacitancia por inductancia. A los pares de elementos que se corresponden en dos circuitos duales se denominan elementos duales. En la tabla 2.4 se indica un conjunto de pares de elementos duales.

Tabla 2.4. Elementos duales.

Tensión u	Corriente i
Resistencia R	Conductancia G
Inductancia L	Capacitancia C
Fuente de tensión	Fuente de corriente
Nodo	Malla
Ley de Kirchhoff de tensiones	Ley de Kirchhoff de corrientes
Equivalente de Thévenin	Equivalente de Norton
Interruptor abierto	Interruptor cerrado

Búsqueda del circuito dual de un circuito dado

En primer lugar, debe indicarse que no a todo circuito dado le corresponde un circuito dual. Para ello, es necesario que el circuito del que se quiere hallar su dual sea un circuito representable en un plano, sin ramas imbricadas. Para hallar el circuito dual de un circuito dado se puede utilizar la técnica gráfica que se describe (véase la figura 2.36):

a)Poner un punto (nodo) en el centro de cada malla y un punto (nodo de referencia) en el exterior del circuito, que se corresponderá a la malla externa.

b)Dibujar tantas líneas, ramas duales entre dos nodos, como elementos haya en la rama común a las dos mallas en que se encuentran estos nodos. Ver figura 2.36.a.

c)Situar en cada rama dual el elemento dual del situado en la rama común a las dos mallas en el circuito inicial. Ver figura 2.36.b.

d)Por último, una vez hallada la estructura dual, deben definirse los signos de las magnitudes duales, la polaridad de las fuentes de tensión y la dirección de las fuentes de corriente. Por ejemplo, en el caso de la figura 2.36.b, el signo de la fuente de corriente I’. Para ello, se deberán orientar las ramas del circuito inicial y deducir la orientación del circuito dual. Con la orientación elegida, la ley de mallas para el circuito de la figura 2.36.a permite escribir:

siendo V_i la tensión de la rama i.

Por dualidad, estas ecuaciones son coincidentes con las ecuaciones de nodo del circuito dual. Así en los nudos A, B, C y D se cumplirá que:

De estas últimas ecuaciones se deducen directamente la orientación de las ramas del circuito de la figura 2.36.b. Conocer la orientación de estas ramas es fundamental en el caso de la presencia de componentes unidireccionales como el diodo, como es el caso presentado en la figura 2.36.

Figura 2.36. Búsqueda del circuito dual.

Sin necesidad de plantear la ecuaciones de malla, se puede determinar la polaridad de las fuentes de tensión y la dirección de las fuentes de corriente, aplicando la siguiente regla: una fuente de tensión que produce una corriente de malla positiva (en el sentido del movimiento de las agujas del reloj) tiene como su dual una fuente de corriente cuya dirección es del nodo de referencia al nodo de no referencia.