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Sea f(t) una función periódica de período T1 (frecuencia f₁=1/T₁ y pulsación ω1 = 2πf₁, no sinusoidal. Se denomina transformación integral de Fourier

A partir de (2.85) se deriva que la función periódica f(t) se puede descomponer en una suma de infinitos términos sinusoidales de frecuencias múltiplos de f₁ y de amplitudes dadas por el módulo de F₁ = jω_n de acuerdo con la siguiente expresión (expansión en serie de Fourier de ft)):

expresión que de acuerdo con las identidades de Euler

se puede desarrollar como

con ω₁ = 2πT₁ ysiendo a0, an y bn los llamados coeficientes de Fourier que se calculan de la siguiente forma:

Dado que los senos y cosenos de la misma frecuencial se pueden combinar en una misma sinusoide, la serie de Fourier se puede poner en la forma:

También se puede poner en la forma:

Como se aprecia, el parámetro a0/2 es una constante cuyo valor es el valor medio de la función f(t). El parámetro c1 es la amplitud del término sinusoidal de igual pulsación ω1 que f(t), es el denominado termino fundamental o primer armónico. Los parámetros c2, c3... son las amplitudes de los distintos armónicos de frecuencias 2ω₁, 3ω₁ …, respectivamente.

El valor eficaz de f(t) se puede calcular a partir de la serie de Fourier, resultando:

Determinadas simetrías de la función f(t) dan lugar a una reducción considerable del número de términos de la serie de Fourier. En la tabla 2.5 se indican los coeficientes resultantes para cada simetría así como las funciones que aparecen en la serie.

Tabla 2.5. Coeficientes de Fourier en ondas simétricas.

a. Simetría par

Una función se dice con simetría par si su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, la función f(t) es de simetría par si f(t) = f(–t).

Figura 2.43. Onda con simetría par.

b. Simetría impar

Una función se dice que es con simetría impar si su gráfica es simétrica respecto origen, es decir, la función f(t) es de simetría impar si –f(t) = f(—t).

Figura 2.44. Onda con simetría impar.

c. Simetría de media onda

Una función f(t) periódica, de período T₁, se dice que es de simetría de media onda si: es decir, si en su gráfica la parte positiva es un reflejo de la negativa pero desplazada medio período.

Figura 2.45. Onda con simetría de media onda.

d. Simetría de cuarto de onda par

Una función se dice que es de simetría de cuarto de onda par si tiene simetría de media onda y además es una función con simetría par.

Figura 2.46. Onda con simetría de cuarto de onda par.

e. Simetría de cuarto de onda impar

Una función se dice de simetría de cuarto de onda impar si tiene simetría de media onda y además es una función con simetría impar.

Figura 2.47. Onda con simetría par de cuarto de onda impar.

En la tabla 2.6 se indican las series de Fourier de algunas funciones de uso habitual.

Tabla 2.6. Series de Fourier de ondas habituales.

Tabla 2.6 Continuación.