Читать книгу Electrónica de potencia - Robert Piqué López - Страница 54

La serie de Fourier permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t). Cabe preguntarse si es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener la representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas.

La solución a esta cuestión se resuelve mediante la denominada transformada de Fourier, una función de variable compleja, generalización de (2.85) para cualquier tipo de funciones en tiempo continuo, f(t), y definida por

La función F(ω) es una función compleja de la frecuencia (o pulsación) w, y se puede representar por

donde . Las representaciones gráficas de F(ω) y de f(ω) se denominan, respectivamente, espectro de amplitud y espectro de fase de f(t), y resultan ser funciones continuas y aperiódicas de la pulsación ω.

La transformada de Fourier se utiliza profusamente para el estudio frecuencial de sistemas. No obstante, en los procesos de medida o en cálculo apoyado en ordenador, las funciones temporales no lo son en tiempo continuo sino que son funciones de tiempo discreto, ya que únicamente existen en aquellos instantes de tiempo en los que el sistema reconoce su valor.

De hecho, no es posible, físicamente, observar magnitudes periódicas, dado que únicamente se dispone de un intervalo temporal finito como período de observación. Por ello, es práctica habitual considerar que las magnitudes físicas, observadas durante un intervalo temporal TO, aunque puedan presentar repetibilidad periódica, T₁, en dicho intervalo, son aperiódicas y discretas (numéricas) como consecuencia del proceso de observación y medida o cálculo. En estas condiciones no es aplicable (2.94) sino que dicha expresión debe remplazarse por la denominada transformada discreta de Fourier, una función discreta, periódica y de simetría par, aproximada por la expresión

expresión que permite determinar el n-ésimo componente frecuencial de la función temporal f(t) definida por K valores discretos f(tk) en el intervalo de observación TO.

El cálculo de la transformada discreta de Fourier implica un número grande de operaciones, por lo que habitualmente se determina mediante el algoritmo en mariposa desarrollado [11] en 1965 por Cooley y Tukey denominado transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform) basado en utilizar un número de K puntos en potencias de 2, y descomponer (2.96) en diversas transformadas elementales. Los programas de simulación como PSIM, utilizan este procedimiento para la representación frecuencial de las magnitudes, acotando su respuesta para frecuencias positivas y eliminado la periodicidad teórica de la transformada calculada.