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Genau wie in der Analysis für Funktionen von einer Variablen können Sie Grenzwerte von Funktionen von mehreren Variablen definieren. In Kapitel 1 »Was bisher geschah« finden Sie eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Begriffe und Ergebnisse der eindimensionalen Analysis, die in diesem Buch verwendet werden. In Hinblick auf die Stetigkeit gibt es noch einige weitere wichtige Begriffe aus der eindimensionalen Analysis, die auch im Mehrdimensionalen auftreten werden. Absolut grundlegend ist die Grenzwertbildung von Funktionswerten. Nicht nur Stetigkeit, sondern auch Ableitung und Integralrechnung beruhen darauf.

Eine Funktion mit Definitionsbereich konvergiert in einem Punkt gegen den Wert , falls für jede Folge von Punkten aus dem Definitionsbereich von mit die Folge der Funktionswerte gegen konvergiert:

Für den Grenzwert der Funktion schreibt man:

Bei Grenzwertuntersuchungen von Funktionen an einer Stelle im Definitionsbereich von gibt es prinzipiell drei verschiedene mögliche Resultate:

 Der Grenzwert existiert nicht.

 Der Grenzwert existiert, ist aber nicht der Funktionswert .

 Der Grenzwert existiert und ist der Funktionswert .

Der letzte Fall ist besonders angenehm, die Funktion ist stetig im Punkt . Anschaulich können Sie sich dabei vorstellen, dass die Funktion an dieser Stelle, ohne abzusetzen, gezeichnet werden könnte. Allerdings ist diese anschauliche Beschreibung mit Vorsicht zu verwenden, denn sie beschreibt den Begriff der Stetigkeit im mathematischen Sinn nicht ausreichend deutlich.

Eine Funktion mit heißt

stetig im Punkt , wenn für alle Folgen von Punkten mit gilt:

Ist stetig in jedem Punkt einer Teilmenge , so heißt stetig auf .

Zwei Beispiele: Die Funktion mit ist an jeder Stelle stetig. Um das zu zeigen, betrachten Sie eine beliebige Folge mit

Nach den Grenzwertrechenregeln aus Abschnitt »Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit« in Kapitel 1 ist

daher gilt

Die Funktion ist also auf ganz stetig. Anders sieht das beim folgenden Beispiel aus: Die Funktion mit

ist im Punkt nicht stetig. Um das einzusehen, reicht es, wenn Sie eine einzige Folge in finden, für die die Funktionswertfolge nicht gegen den Funktionswert konvergiert. In diesem Beispiel konvergiert die Folge für gegen den Punkt , die zugehörige Funktionswertfolge aber nicht gegen den Funktionswert :

Der Grenzwert der Funktionswertfolge ist daher

Die Funktion kann also im Punkt nicht stetig sein.

Für eine Folge , die aus einer anderen Richtung gegen den Punkt konvergiert, kann die Funktionswertfolge aber trotzdem gegen den Funktionswert konvergieren. Zum Beispiel konvergiert die Folge ebenfalls gegen den Punkt und die zugehörige Funktionswertfolge ist die konstante Folge