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Und geometrisch ist das auch!

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Im Abschnitt »Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion« in Kapitel 1 wird die geometrische Bedeutung der Ableitung einer reellwertigen Funktion von einer reellen Variablen als Steigung der Tangente beschrieben. Genau wie im allgemeinen Fall im letzten Abschnitt können Sie im eindimensionalen Fall eine differenzierbare Funktion in der Nähe der Stelle durch die affin lineare Funktion


annähern: Diese affine Funktion ist die Tangente an den Graphen von an der Stelle , die in Abbildung 2.4 dargestellt ist.


Abbildung 2.4: Die Tangente zum Graphen von an der Stelle

Die Jacobi-Matrix entspricht in diesem Spezialfall einer -Matrix, also einer Zahl, nämlich der Ableitung . Das ist nichts anderes als die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

Wenn die Tangente in einer Umgebung von eine gute Approximation an die Funktion sein soll, muss


mit gelten, der Fehler muss gegen null gehen, wenn Sie mit gegen den Punkt wandern.

Diese geometrische Interpretation der Ableitung funktioniert analog zum eindimensionalen Fall auch in mehrdimensionalen Situationen. Abhängig von den beteiligten Dimensionen ist dies allerdings nicht immer durch eine Graphik anschaulich darzustellen. Für eine Funktion funktioniert das aber noch. Hier entspricht die Tangentialebene an den Graphen von an der Stelle


der Tangente im Eindimensionalen. Vorsicht: Die Jacobi-Matrix ist in diesem Fall ein Zeilenvektor. Abbildung 2.5 zeigt eine solche Tangentialebene für eine reellwertige Abbildung von zwei Variablen.

Prinzipiell können Sie das natürlich genauso für reellwertige Abbildungen von Variablen machen, nur die graphische Darstellung funktioniert dabei nicht mehr. Sie erhalten damit einen Spezialfall der am Anfang dieses Abschnitts genannten Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.


Abbildung 2.5: Die Tangentialebene zum Graphen von an der Stelle

Eine reellwertige Funktion von Variablen ist in total differenzierbar, wenn es reelle Zahlen , Funktionen und eine Umgebung von gibt, sodass für alle


und


gilt.

Für differenzierbare reellwertige Funktionen von Variablen gilt näherungsweise:


Wenn Sie , und als Spaltenvektoren interpretieren, erhalten Sie die relativ einprägsame Regel:


Mit für und


wird die obige Gleichung


oft auch etwas anders geschrieben:


heißt der lineare Anteil des Zuwachses von oder das totale Differential von in .

Mathematik für Ingenieure II für Dummies

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