Читать книгу Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried - Страница 43

Die einfachsten Beispiele für Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen, sind lineare Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Vektorräumen. Solche Abbildungen werden in der linearen Algebra untersucht, nachzulesen in den ersten beiden Teilen des ersten Buches »Mathematik für Ingenieure I für Dummies«. Die Analysis beschäftigt sich dagegen hauptsächlich mit nichtlinearen Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen.

Erste Beispiele dazu sind Funktionen, die mehreren Variablen eine Zahl als Funktionswert zuordnen.

Ein Beispiel: Die Van der Waalsche Zustandsgleichung für ein reales Gas beschreibt den Gasdruck in Abhängigkeit von Temperatur und Molvolumen:

Dabei steht für den Gasdruck, für die Temperatur und für das Molvolumen. Mit wird die allgemeine Gaskonstante bezeichnet, und und sind zwei weitere Konstanten, die je nach dem betrachteten speziellen Gas gewählt werden müssen.

Der Druck hängt also von den Variablen und ab, er ist eine Funktion dieser beiden Variablen. Für jede Kombination aus Temperatur und Molvolumen ungleich 0 oder ergibt sich aus der Zustandsgleichung eine reelle Zahl als Wert für . Die Funktion ist eine reellwertige Funktion der beiden Variablen und . Allgemein werden reellwertige Funktionen von mehreren Variablen wie folgt definiert.

Eine reellwertige Funktion von Variablen ist eine Abbildungsvorschrift , die jedem Punkt einer Teilmenge eindeutig eine reelle Zahl zuordnet.

Die Menge heißt der Definitionsbereich von . Mit wird der Wertebereich von bezeichnet.

Manchmal ist es übersichtlicher, die einzelnen Variablen zu einer vektorwertigen Variable zusammenzufassen und statt zu schreiben. Diese Schreibweise wird meist verwendet, wenn die genaue Anzahl der Variablen nicht explizit bestimmt ist oder unwichtig ist.

Diese Definition einer reellwertigen Funktion von Variablen enthält als Spezialfall für auch die reellwertigen Funktionen einer einzigen Variablen. Alle Begriffe, die für Funktionen mehrerer Variablen definiert werden, sind daher auch direkt bei Funktionen einer einzigen Variablen verwendbar.

Die Reihenfolge der Variablen und ist im obigen Beispiel willkürlich gewählt. Zwar definieren

und

formal zwei verschiedene Funktionen, beide stellen aber den Gasdruck dar und unterscheiden sich eben nur durch die Reihenfolge, in der die Argumente der Funktionen auftreten. Wichtig wird das zum Beispiel dann, wenn Sie Zahlenwerte für und einsetzen wollen. Dann müssen Sie bei zuerst die Temperatur und dann das Molvolumen einsetzen, bei ist es genau umgekehrt.

Im Allgemeinen ist die Reihenfolge der verschiedenen Variablen einer Funktion wichtig. Insbesondere beim Einsetzen von Zahlenwerten oder bei der Berechnung von Ableitungen müssen Sie die Reihenfolge beachten.