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Neben der Differentialrechnung ist die Integralrechnung der zweite große und sehr wichtige Themenbereich in der Analysis. In einer Hinsicht ist die Integralrechnung die Umkehrung der Differentialrechnung: Für eine gegebene Funktion suchen Sie dabei eine Funktion , eine sogenannte Stammfunktion, die als Ableitung die Funktion besitzt. Diese Form der Integration wird auch unbestimmte Integration genannt.

Sind und auf dem Intervall definierte Funktionen, so heißt eine Stammfunktion zu , wenn für alle

gilt.

Wahrscheinlich ist allerdings die andere Sichtweise der Integralrechnung die, die Sie zuerst kennengelernt haben: die Flächenberechnung unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion. Diese Sichtweise liegt der Integraldefinition als Grenzwert Riemannscher Summen zugrunde.

Eine Riemannsche Summe zu einer gegebenen Funktion auf dem Intervall und einer Unterteilung in Teilintervalle für durch gegebene Punkte

ist eine Summe

mit Zwischenpunkten . Eine solche Unterteilung des Intervalls in lauter Teilintervalle wird Zerlegung von genannt. Die Feinheit einer Zerlegung ist die maximale Länge eines Teilintervalls der Zerlegung.

Eine Riemannsche Summe ist also nichts anderes als eine Näherung an die Fläche unter dem Graphen von durch viele kleine Rechtecke der Breite und Höhe , wie Sie in Abbildung 1.5 dargestellt ist.

Abbildung 1.5: Approximation der Fläche durch Rechtecksflächen

Falls alle möglichen Riemannschen Summen für immer kleinere Feinheiten der zugrunde liegenden Zerlegung gegen ein und denselben festen Wert konvergieren, dann erhalten Sie damit das Integral der Funktion .

Es sei eine auf dem Intervall beschränkte Funktion mit für alle .

Konvergieren für alle Folgen von Zerlegungen mit und eine beliebige Auswahl von Zwischenpunkten die Riemannschen Summen gegen einen gemeinsamen Grenzwert , dann heißt integrierbar auf [a,b], und die Zahl heißt bestimmtes Integral über im Intervall [a,b]. In Formeln:

Überraschend ist der Zusammenhang zwischen der Differentialrechnung und der zunächst rein geometrisch definierten Integralrechnung. Sie erhalten mit der Flächenberechnung gleichzeitig eine Umkehrung der Differentiation.

Diese Tatsache heißt in der reellen Analysis der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erlaubt Ihnen, Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen und umgekehrt Stammfunktionen durch Integrale zu berechnen:

Für jede auf einem Intervall stetige Funktion und jedes gilt:

 Existenz von Stammfunktionen: Die Funktionmit ist eine Stammfunktion zu auf .

 Eindeutigkeit: Jede andere Stammfunktion zu hat die Form mit einer Konstanten .

 Integralberechnung: Ist eine beliebige Stammfunktion zu , so gilt für :

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung haben Sie also eine Methode, um entweder Flächen unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion oder Stammfunktionen von zu bestimmen, vorausgesetzt, Sie können das Integral über die Funktion berechnen.

Anstatt die Grenzwertdefinition des Integrals direkt zu verwenden, werden Sie üblicherweise zur Integration einer gegebenen Funktion eine andere Integrationsmethode verwenden. Die beiden wichtigsten Methoden zur Integration sind die partielle Integration und die Substitutionsformel.

Die partielle Integration wird aus der Produktregel der Differentiation abgeleitet.

Gilt für die differenzierbaren Funktionen und , dass das Produkt integrierbar ist, dann ist auch das Produkt integrierbar, und es gilt die Formel:

Bei der Substitution hilft die Kettenregel der Differentiation. Für die bestimmte Integration, die Flächenberechnung, müssen Sie dabei auch die Grenzen der Integrale beachten.

Die Substitutionsformel der bestimmten Integration lautet:

Eine zweite Form der Substitutionsregel ist ebenfalls oft nützlich.

Eine wichtige Variante der Substitutionsformel:

Es sei und die umkehrbare Funktion mit nicht verschwindender Ableitung und Umkehrfunktion und und gegeben.

Hat auf eine Stammfunktion , dann ist auf eine Stammfunktion von , und es gilt: