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Für die eindimensionale Analysis sind oft Grenzwerte von Funktionen interessant. Vergleichen Sie beispielsweise die beiden Graphen in Abbildung 1.3, dann stellen Sie sofort einen prinzipiellen Unterschied fest: An der Stelle springt die linke Funktion, während der Graph der rechten Funktion dort durchgehend weiterverläuft.

Abbildung 1.3: Eine unstetige (links) und eine stetige Funktion (rechts)

Etwas mathematischer formuliert geht es hier um die Frage, wie sich die Folge der Funktionswerte verhält, wenn eine Folge reeller Zahlen mit Grenzwert ist. Dies führt zum Begriff der Stetigkeit eindimensionaler Funktionen.

Eine Funktion mit Definitionsbereich konvergiert an einer Stelle gegen den Wert , falls für jede Folge reeller Zahlen aus dem Definitionsbereich von mit die Folge der Funktionswerte gegen konvergiert:

Für den Grenzwert der Funktion schreibt man:

In dieser Definition sind auch die Spezialfälle beziehungsweise eingeschlossen.

Die Stelle muss nicht im Definitionsbereich von liegen. Allerdings muss ein Häufungspunkt von sein, damit überhaupt Folgen von Elementen aus dem Definitionsbereich von existieren, die gegen die Zahl konvergieren. Das bedeutet, dass entweder ein innerer oder ein Randpunkt von sein muss.

Ein Punkt aus dem Rand einer Menge heißt ein Randpunkt von . Es gilt daher, dass in jeder Umgebung mindestens ein Punkt und ein Punkt liegen. Dabei muss der Punkt nicht unbedingt selbst aus der Menge sein.

Bei der Grenzwertdefinition für Funktionen ist es wichtig, dass alle möglichen Folgen mit Grenzwert untersucht werden. Bekommen Sie für verschiedene solcher Folgen verschiedene Grenzwerte der Funktionswertfolgen , so existiert der Funktionsgrenzwert nicht. Dieselben Rechenregeln wie für die Berechnung von Folgengrenzwerten helfen Ihnen auch bei der Berechnung von Grenzwerten von Funktionen.

Konvergieren die beiden reellwertigen Funktionen und mit gemeinsamem Definitionsbereich an der Stelle gegen die Grenzwerte beziehungsweise , dann gelten die folgenden Rechenregeln:

 Jede Linearkombination mit konvergiert gegen die Linearkombination der Grenzwerte:

 Die Produktfunktion konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte:

 Falls ist und auf , konvergiert die Quotientenfunktion gegen den Quotienten der Grenzwerte:

Mit Hilfe von Grenzwerten für Funktionen wird der wichtige Begriff Stetigkeit definiert.

Eine Funktion mit Definitionsbereich heißt stetig an der Stelle , falls

ist.

Eine Funktion mit Definitionsbereich heißt stetig auf der Menge , falls an jeder Stelle stetig ist.