Читать книгу Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried - Страница 38

Bei der Untersuchung auf Extremstellen wird zwischen globalen oder lokalen Extremstellen unterschieden. Als globale Extremstellen der Funktion werden die Stellen im Definitionsbereich von bezeichnet, an denen die größten beziehungsweise kleinsten Funktionswerte angenommen werden.

Ist eine reelle Funktion, dann heißt eine globale Maximalstelle von , falls

ist. Gilt für eine Stelle :

dann heißt eine globale Minimalstelle von .

Der Funktionswert an einer globalen Extremstelle heißt globales Minimum beziehungsweise globales Maximum von .

Ein heißt globale Extremalstelle von , wenn es eine globale Minimal- oder Maximalstelle ist.

Lokale Extremstellen sind solche, bei denen der Funktionswert zwar größer (oder kleiner) ist als alle anderen Funktionswerte in der Nähe, aber nicht unbedingt der größte (oder kleinste) Funktionswert, der überhaupt auftritt – sozusagen ein Berggipfel, der nicht unbedingt der höchste Berg des Gebirges sein muss.

Ist eine reelle Funktion mit Definitionsbereich , dann heißt lokale Maximalstelle von , falls es ein gibt, sodass für alle gilt: .

Ein Punkt heißt lokale Minimalstelle von , falls es ein gibt, sodass für alle gilt: .

Der Funktionswert heißt lokales Maximum beziehungsweise lokales Minimum von .

Ein heißt lokale Extremalstelle von , wenn es eine lokale Minimal- oder Maximalstelle ist.

Die Bestimmung von Extremstellen beruht auf einigen grundlegenden Eigenschaften lokaler Maxima beziehungsweise lokaler Minima. Dabei reicht es zunächst, wenn Sie sich die Eigenschaften lokaler Extrema ansehen, denn jedes globale Extremum ist auch ein lokales Extremum.

Ist die Funktion auf dem offenen Intervall definiert und an der Stelle differenzierbar, dann gilt:

Ist eine lokale Extremalstelle, dann ist .

Tatsächlich muss die Ableitung nicht einmal stetig sein, es reicht schon, dass die Ableitung an einer Extremalstelle von existiert. Dann muss gelten.

Ein Punkt des Definitionsbereichs von mit verschwindender Ableitung heißt ein stationärer oder kritischer Punkt.

Ein stationärer Punkt von ist nicht notwendig eine Extremalstelle.

Es gilt nur: Ist eine lokale Extremalstelle, , nicht die Umkehrung.

Außerdem kann eine Funktion eine lokale Extremstelle in einem Punkt ihres Definitionsbereichs haben, ohne dort differenzierbar zu sein.

Bei der Suche nach den lokalen oder globalen Maxima und Minima einer Funktion auf einem Intervall sind die stationären Punkte mögliche Kandidaten. Da aber nicht jeder stationäre Punkt auch eine Extremstelle ist, müssen diese Punkte weiter untersucht werden.

Die zweite Ableitung ist ein Hilfsmittel, mit dem Sie an kritischen Punkten entscheiden können, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt.

Ist die Funktion auf dem offenen Intervall zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für Punkte :

 Ist und , so ist eine lokale Maximalstelle.

 Ist und , so ist eine lokale Minimalstelle.

Ist , dann können Sie nicht direkt entscheiden, ob ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegt.

Ein kritischer Punkt der Definitionsmenge einer differenzierbaren Funktion , der weder eine Minimalstelle noch eine Maximalstelle von ist, heißt Sattelpunkt von .

Sattelpunkte sind Spezialfälle von Wendepunkten, die gleichzeitig kritische Punkte sind. An Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt.

Ist ein Punkt der Definitionsmenge einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion mit und hat die zweite Ableitung links von ein anderes Vorzeichen als rechts von , das heißt, gilt entweder

oder

dann heißt Wendepunkt von . Dabei werden nur in einer kleinen Umgebung von betrachtet.

Ärgerlicherweise reicht für einen Sattelpunkt die Bedingung nicht aus – es könnte sich immer noch um eine Extremstelle handeln. Um das zu klären, müssen Sie die Funktion weiter untersuchen.

Ist genügend oft stetig differenzierbar und verschwinden die ersten Ableitungen aber die -te Ableitung nicht, dann besitzt an der Stelle einen Sattelpunkt, falls eine gerade Zahl ist. Ist eine ungerade Zahl, also gerade, dann hat an der Stelle ein Extremum und das Vorzeichen von gibt an, ob es sich um ein Maximum () oder ein Minimum () handelt.

Dabei ist in diesem Zusammenhang die Funktion genügend oft stetig differenzierbar, wenn sie mindestens -mal stetig differenzierbar ist.