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Die Frage nach dem Änderungsverhalten einer Funktion führt über eine weitere Grenzwertbetrachtung zum Begriff der Differenzierbarkeit. Ist eine auf einem Intervall definierte Funktion, dann nennt man den Quotienten

den Differenzenquotienten von an der Stelle . Er beschreibt die Änderung der Funktionswerte in Abhängigkeit von der Änderung der Argumente und entspricht anschaulich der Steigung einer Geraden durch die beiden Punkte und . Der Grenzwert des Differenzenquotienten für entspricht dann der Tangentensteigung an die Funktion im Punkt , das heißt: der Ableitung.

Die Funktion heißt an der Stelle differenzierbar, falls für gegen der Grenzwert des Differenzenquotienten

eigentlich existiert, das heißt nicht ist.

In diesem Fall wird der Grenzwert mit bezeichnet und heißt die Ableitung der Funktion an der Stelle .

Eine häufig verwendete Schreibweise für ist der Differentialquotient:

Nicht alle Funktionen besitzen an jeder beliebigen Stelle eine Ableitung, manche Funktionen sind sogar nirgends differenzierbar. Andere Funktionen sind dagegen auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und definieren damit eine weitere Funktion.

Eine Funktion heißt auf differenzierbar, falls an jeder Stelle differenzierbar ist. Die Funktion mit

heißt Ableitung der Funktion .

Die Ableitung einer Funktion hat eine anschauliche geometrische Bedeutung: Betrachten Sie die in Abbildung 1.4 dargestellte Gerade durch die beiden Punkte und .

Abbildung 1.4: Die Gerade durch die beiden Punkte und

Der Differenzenquotient entspricht gerade der Steigung der Geraden . Wenn Sie den Grenzübergang durchführen, erhalten Sie die Gerade mit:

Das ist die Tangente zum Graphen der Funktion an der Stelle .

Die Ableitung entspricht also der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt und wird daher auch Steigung der Funktion an der Stelle genannt.

Natürlich können Sie auch bei einer Ableitung fragen, ob diese wieder differenzierbar ist. Und falls dies so ist, auch für die Ableitung der Ableitung und so weiter. Das rechtfertigt die folgende Definition der n-ten Ableitung.

Unter der Voraussetzung, dass die Funktion und die entsprechenden Ableitungsfunktionen von jeweils differenzierbar sind, bezeichnet man:

 

 

 

 Allgemein:

Dabei heißt die -te Ableitung von .

Eine Funktion heißt -mal differenzierbar, falls ihre -te Ableitung existiert.

Eine Funktion heißt -mal stetig differenzierbar, wenn existiert und stetig ist.

Genau wie für die erste Ableitung gilt auch für die zweite und jede weitere Ableitung einer entsprechend oft differenzierbaren Funktion , dass diese nicht unbedingt stetig sein müssen.