Читать книгу Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried - Страница 35

Viele wichtige analytische Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind über Grenzwerteigenschaften bestimmter Folgen definiert.

Eine Folge von Elementen einer Menge ist eine Abbildung

der Menge der ganzen Zahlen in den Raum , wobei der Definitionsbereich nach unten beschränkt ist.

heißt der Indexbereich der Folge. Mit schreibt man für die Folge auch .

Die Indexmenge einer Folge kann bei einer beliebigen ganzen Zahl beginnen:

In Kurzschreibweise wird dies zu . Das erlaubt, ein einfaches Bildungsgesetz für das allgemeine Folgenglied mit anzugeben.

Folgenglieder können aus beliebigen Mengen stammen, beispielsweise aus einem der Spaltenvektorräume oder einer endlichen Menge mit irgendwelchen Elementen oder einfach aus den reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Buch werden Sie es mit reellen und komplexen Zahlenfolgen, deren Folgenglieder oder reelle beziehungsweise komplexe Zahlen sind, und mit Punktfolgen von Spaltenvektoren zu tun haben.

In diesem Buch werden die meisten auftretenden Folgen aus oder stammen. Die behandelten Begriffe lassen sich aber fast immer auch auf beliebige endlichdimensionale Räume übertragen.

Ich werde im Folgenden Punkte aus meist ohne Pfeile darstellen:

Allerdings wird ab und zu zur besonderen Verdeutlichung der Vektoreigenschaften auch die Pfeilschreibweise in diesem Buch verwendet werden.

Grundlegend und sehr wichtig sind die Begriffe Umgebung und -Umgebung eines Punktes .

Die Menge

mit heißt -Umgebung von . Dabei heißt

die euklidische Norm.

Eine Teilmenge heißt eine Umgebung von , falls es eine reelle Zahl gibt, sodass ist.

Der Begriff einer Umgebung erlaubt die Definition einiger weiterer wichtiger mathematischer Begriffe.

Eine Menge heißt offen, falls es für jeden Punkt eine Umgebung gibt, die ganz in der Menge enthalten ist: .

Der Rand einer Menge ist die Menge aller Punkte , für die jede Umgebung sowohl Punkte aus der Menge als auch Punkte aus dem Komplement der Menge enthält.

Der Abschluss einer Menge bezeichnet die Menge

das Innere der Menge ist

Die Elemente heißen innere Punkte von .

Mit Hilfe der beiden Begriffe Umgebung und -Umgebung können Sie von konvergenten Folgen und ihren Grenzwerten sprechen.

Eine Folge mit Folgengliedern heißt konvergent, falls es ein gibt, sodass es zu jeder reellen Zahl eine Zahl mit der Eigenschaft

gibt. heißt Grenzwert oder Limes der Folge .

Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.

Eine Folge von Punkten konvergiert also gegen den Grenzwert , in Formeln

falls eine der folgenden beiden Bedingungen erfüllt ist:

 ,

  für alle .

Diese Bedingungen sind äquivalent: Falls eine davon erfüllt ist, ist es automatisch auch die andere.

Grenzwertuntersuchungen sind im Allgemeinen nicht einfach. Verschiedene Rechenregeln für Grenzwerte können Ihnen das Leben dabei etwas leichter machen.

Die folgenden Regeln gelten dann, wenn die beteiligten Folgen und konvergent sind:

 Konstante Faktoren können Sie herausziehen:

 Die Grenzwerte von Summen- beziehungsweise Differenzfolgen dürfen addiert (beziehungsweise subtrahiert) werden:

 Der Grenzwert der Produktfolge ist Produkt der Grenzwerte:

 Falls die Folgenglieder und der Grenzwert sind, dann ist der Grenzwert der Quotientenfolge der Quotient der Grenzwerte:

 Beträge können Sie herausziehen:

Wenn Sie die Elemente einer Folge oder einer nicht leeren (unendlich großen) Teilmenge eines normierten Raums betrachten, ist es manchmal wichtig zu wissen, wie diese Elemente verteilt sind. Beispielsweise können alle Elemente gleich weit voneinander entfernt sein, wie die natürlichen Zahlen oder sich um einen bestimmten Punkt ansammeln. Denken Sie an die Menge , deren Elemente sich um den Punkt 0 häufen. Solche Punkte werden Häufungspunkte oder Häufungswerte genannt.

Ein Punkt heißt Häufungspunkt der Teilmenge , falls in jeder beliebigen noch so kleinen Umgebung mindestens noch ein weiterer, von verschiedener Punkt liegt.

Ein Häufungspunkt einer Menge kann, aber muss nicht Element von sein. Außerdem kann eine Menge mehrere verschiedene Häufungspunkte haben.

Aus der Definition des Begriffs Häufungspunkt folgt sofort, dass in jeder beliebigen Umgebung eines Häufungspunkts von unendlich viele Punkte aus liegen: Sie können um den Häufungspunkt unendlich viele konzentrische geschachtelte -Umgebungen mit mit immer kleinerem Radius so anordnen, dass bei für die Umgebungen gilt. Betrachten Sie dazu Abbildung 1.2. In jeder Umgebung muss mindestens ein liegen. Diesen Punkt können Sie so wählen, dass und für alle ist. Da innerhalb von unendlich viele weitere Umgebungen liegen, müssen wirklich unendlich viele Punkte in jeder dieser Umgebungen von enthalten sein. Die Elemente von häufen sich im wahrsten Sinne des Wortes.

Abbildung 1.2: In jeder Umgebung des Häufungspunkts liegen unendlich viele Punkte