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Die totale Ableitung einer reellwertigen Funktion von Variablen spielt die Rolle der üblichen Ableitung einer eindimensionalen Funktion. In der geometrischen Interpretation entspricht die totale Ableitung der Verallgemeinerung der gewöhnlichen eindimensionalen Ableitung auf mehrdimensionale Situationen. Eine weitere gemeinsame Eigenschaft finden Sie im Zusammenhang zwischen totaler Differenzierbarkeit und Stetigkeit.

Ist eine Funktion in total differenzierbar, so ist sie in diesem Punkt auch stetig.

Im Umkehrschluss können Sie damit folgern, dass eine Funktion an einer Unstetigkeitsstelle nie total differenzierbar sein kann.

Ähnlich wie die übliche Ableitung ist die totale Ableitung über einen Grenzwertprozess definiert. Die direkte Berechnung durch Grenzwertbildung ist allerdings in den meisten Fällen kompliziert und unnötig.

Falls eine reellwertige Funktion von Variablen an einer Stelle total differenzierbar ist, dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen , und es gilt:

Dieser mathematische Satz stellt nicht nur sicher, dass eine total differenzierbare Funktion auch partielle Ableitungen besitzt, sondern Sie erhalten daraus auch eine einfache und praktische Berechnungsmethode für die totale Ableitung.

Zur praktischen Berechnung der totalen Ableitung einer reellwertigen Funktion von Variablen berechnen Sie, wie in: »Nur einen Teil: Die partielle Ableitung«, alle partiellen Ableitungen von .

Die totale Ableitung ist dann durch den Zeilenvektor

gegeben.

Der Ableitungsvektor einer reellwertigen Funktion wird so häufig gebraucht, dass er einen eigenen Namen verdient.

Der -dimensionale Spaltenvektor

heißt Gradient von an der Stelle .

Der Gradient einer reellwertigen Funktion ist die transponierte totale Ableitung von . Der Gradient ist ein Spaltenvektor, während die totale Ableitung von ein Zeilenvektor ist.

Diesen Zusammenhang zwischen partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung einer reellwertigen Funktion finden Sie analog auch bei vektorwertigen Funktionen.

Existiert die totale Ableitung einer vektorwertigen Funktion mit den Komponentenfunktionen an der Stelle , dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen von . Die totale Ableitung von ist dann durch die Matrix

gegeben. Wie im Abschnitt »Totale Differenzierbarkeit« bereits erwähnt wurde, heißt diese Matrix Jacobi-Matrix von .

Wie am Anfang dieses Abschnitts gesagt wurde, existieren für eine total differenzierbare Funktion auch die partiellen Ableitungen. Die Umkehrung stimmt aber nicht immer: Eine Funktion kann an einer Stelle zwar alle partiellen Ableitungen besitzen, sie muss aber trotzdem nicht total differenzierbar sein.

Ein Beispiel: Die Funktion mit

ist nach dem Abschnitt »Nur einen Teil: Die partielle Ableitung« an der Stelle zwar nicht stetig, aber besitzt dort beide partiellen Ableitungen und . Wäre die Funktion dort auch total differenzierbar, dann müsste in stetig sein. Da sie das nicht ist, kann sie dort nicht total differenzierbar sein.

Die totale Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet also tatsächlich mehr als die Existenz aller partiellen Ableitungen, auch wenn Sie, falls die betreffende Funktion überhaupt total differenzierbar ist, die totale Ableitung über die partiellen Ableitungen ausrechnen können.

Das klingt verwirrend und stellt in der Tat eine Falle dar, in die Sie bei Differenzierbarkeitsuntersuchungen geraten könnten. Allerdings können Sie den partiellen Ableitungen oft ansehen, dass die Funktion auch total differenzierbar ist.

Ist eine Funktion in einer Umgebung von nach allen Variablen partiell differenzierbar und alle partiellen Ableitungen sind im Punkt stetig, dann ist die Funktion in auch total differenzierbar.

Für sehr viele praxisrelevante Funktionen können Sie die Stetigkeit der partiellen Ableitungen leicht feststellen und erhalten damit dann automatisch die totale Differenzierbarkeit.

Ein Beispiel: Die Funktion

ist in der Umgebung eines jeden Punkts partiell differenzierbar:

Diese partiellen Ableitungen sind Polynome in den drei Variablen und und daher überall stetig. Damit ist die Funktion überall total differenzierbar.