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Berechnen Sie die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion

Kritisch ist dabei die Stelle . Aus folgt direkt, dass die ersten partiellen Ableitungen an dieser Stelle verschwinden.

Für gilt nach den Ableitungsregeln für gewöhnliche Ableitungen:

Berechnen Sie zum Beispiel die partielle Ableitung als partielle Ableitung von nach an der Stelle , dann erhalten Sie nach der Grenzwertdefinition der Ableitung

Umgekehrt ist die partielle Ableitung von nach an der Stelle . Nach Grenzwertdefinition erhalten Sie daher:

Die beiden gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung und sind also nicht gleich, es kommt auf die Reihenfolge der einzelnen Ableitungen an.

Falls die betrachteten partiellen Ableitungen Unstetigkeitsstellen besitzen, müssen Sie bei der Berechnung höherer partieller Ableitungen die Reihenfolge der einzelnen Ableitungen beachten.

Das ist lästig, denn selbst eine reellwertige Funktion von nur zwei Variablen hat zum Beispiel schon acht möglicherweise unterschiedliche partielle Ableitungen 3. Ordnung, die Sie im Prinzip alle einzeln berechnen müssen.