Читать книгу Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried - Страница 46

In vielen praktischen Problemen treten nicht nur reellwertige Funktionen mehrerer Variablen auf, sondern auch vektorwertige Funktionen. Vektorwertige Funktionen sind Funktionen, deren Funktionswerte mehrdimensionale reelle Vektoren sind. So ist zum Beispiel das Strömungsfeld in einem Wasserkanal eine Abbildung, die jedem dreidimensionalen Ortspunkt in diesem Kanal einen dreidimensionalen Geschwindigkeitsvektor zuordnet. Im Folgenden werden deswegen nicht nur reellwertige Abbildungen betrachtet, sondern auch Funktionen, die einem Vektor einen anderen Vektor zuordnen. Die einfachsten Beispiele dazu sind die linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen, die in den ersten beiden Teilen »Grundlegende lineare Algebra« und »Viel mehr lineare Algebra« des ersten Bandes behandelt werden. In der mehrdimensionalen Analysis liegt das Hauptaugenmerk aber auf nichtlinearen Abbildungen.

Eine vektorwertige Funktion wird durch

mit entsprechenden reellwertigen Funktionen definiert. Die Funktionen heißen die Komponentenfunktionen von .

Ein Beispiel: Die Funktion mit

besitzt die Komponentenfunktionen , und .

Genau wie im vorigen Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« für reellwertige Funktionen mehrerer Variablen kann Stetigkeit auch für Funktionen definiert werden.

Die Stetigkeitsdefinition aus dem Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« können Sie wörtlich auf Funktionen übertragen; allerdings müssen Sie dabei beachten, dass nicht nur die Punktfolgen aus Punkten eines mehrdimensionalen Raumes, dem , bestehen, sondern auch die zugehörigen Folgen der Funktionswerte . Der Grenzwert

ist also ebenfalls als ein Grenzwert einer Punktfolge in einem mehrdimensionalen Raum, dem , zu verstehen.