Читать книгу Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried - Страница 48

Für eine reellwertige Funktion einer einzigen Variablen ist die Ableitung in einem Punkt nach dem Abschnitt »Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion« in Kapitel 1 als Grenzwert des Differerenzenquotienten definiert. Anschaulich ergibt dieser Grenzwert, wenn er existiert, die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion in diesem Punkt.

Stellen Sie sich nun eine reellwertige Funktion von Variablen vor. Erlauben Sie bei dieser Funktion für einen Moment nur einer einzigen Variablen, zum Beispiel mit , sich tatächlich zu verändern, und halten Sie die restlichen Variablen fest: , dann erhalten Sie praktisch eine reellwertige Funktion einer einzigen Variablen:

Anschaulich gesprochen stellt die Funktion in Richtung der -ten Koordinate dar.

Diese neue Funktion können Sie mit den Methoden der eindimensionalen Analysis aus dem Abschnitt »Eindimensionale Analysis« in Kapitel 1 untersuchen, beispielsweise auf Differenzierbarkeit.

Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten

von an einer Stelle , dann ist an dieser Stelle differenzierbar, und Sie erhalten mit der Ableitung von an einer Stelle gleichzeitig die Änderungsrate der Funktion am Punkt entlang der -ten Koordinatenrichtung. Diese Änderungsrate wird die -te partielle Ableitung von genannt.

Die formale Definition der partiellen Ableitung vermeidet zwar den Umweg über Hilfsfunktionen , bedeutet aber genau dasselbe.

Die Funktion mit Definitionsbereich heißt im Punkt partiell nach differenzierbar, falls der Grenzwert

existiert.

Der Grenzwert heißt die partielle Ableitung von nach in und wird mit

bezeichnet.

Trotzdem entspricht die partielle Ableitung von nach in der ganz normalen »eindimensionalen« Ableitung der Funktion

als Funktion der Variablen an der Stelle , wobei die übrigen fest und damit bei der Differentiation als Konstante anzusehen sind. Es gilt:

Ein Beispiel: Betrachten Sie die Funktion mit Definitionsbereich . Zur Berechnung der partiellen Ableitung gehen Sie Schritt für Schritt so vor:

1 Setzen Sie .

2 Leiten Sie die Funktion ab.Das heißt: Berechnen Sie die Ableitung . Es gilt:

3 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

Analog erhalten Sie die beiden anderen partiellen Ableitungen der Funktion :

1 Setzen Sie .

2 Leiten Sie die Funktion ab.

3 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

4 Setzen Sie .

5 Leiten Sie die Funktion ab.

6 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

Mit ein wenig Übung werden Sie partielle Ableitungen direkt berechnen können und den Umweg über die Hilfsfunktionen nicht mehr benötigen.

Der Weg über die Hilfsfunktionen zur Berechnung partieller Ableitungen ist nicht notwendig, sondern nur eine Hilfe. Falls Sie sich sicher fühlen, dürfen Sie auch direkt »in der Funktion « nach der entsprechenden Variablen ableiten.

Hierzu ein Beispiel: Die Gasdruckfunktion aus dem Abschnitt »Viele Variablen und ein Funktionswert« am Anfang dieses Kapitels hat die partiellen Ableitungen:

Sie sehen: Die Berechnung partieller Ableitungen ist genauso einfach, wie die Berechnung der Ableitung einer reellwertigen Funktion einer einzigen Variablen. Sie müssen dabei nur die jeweils anderen Variablen für den Moment als festgehaltene Parameter betrachten. Für eine »eindimensionale« Funktion ist die partielle Ableitung

sogar genau dasselbe wie die gewöhnliche Ableitung dieser Funktion.

Bei der Berechnung von partiellen Ableitungen dürfen Sie die Rechenregeln für gewöhnliche Ableitungen verwenden.

Allerdings dürfen Sie nicht alle Eigenschaften, die Sie für »eindimensionale« Funktionen automatisch aus deren Differenzierbarkeit erhalten, auch für partiell differenzierbare Funktionen erwarten.

Auch wenn die Berechnung der partiellen Ableitungen einer Funktion über die Berechnung der gewöhnlichen Ableitungen entsprechender »eindimensionaler« Funktionen erfolgt, gibt es doch deutliche Unterschiede in den Ableitungsbegriffen.

Es gilt beispielsweise, dass eine an einer Stelle differenzierbare »eindimensionale« Funktion dort auch stetig sein muss. Das gilt für nur partiell differenzierbare Funktionen selbst dann nicht, wenn alle partiellen Ableitungen an einer Stelle existieren:

Ein Beispiel: Die Funktion

ist an der Stelle nach dem Beispiel im Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« nicht stetig. Allerdings existieren die beiden partiellen Ableitungen an dieser Stelle:

und

Anschaulich können Sie sich das so vorstellen, dass die Unstetigkeit von an der Stelle weder in der –Richtung noch in –Richtung auftritt. Eingeschränkt auf eine dieser Richtungen ist die dadurch entstehende »eindimensionale« Funktion differenzierbar und daher auch stetig. Wenn Sie sich aber wie im Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« der Stelle etwa aus Richtung der Winkelhalbierenden nähern, dann springt an dieser Stelle.

Die beiden partiellen Ableitungen enthalten also in einem gewissen Sinne zu wenig Informationen über die Funktion . Die Rolle der üblichen Ableitung einer »eindimensionalen« Funktion übernimmt für »mehrdimensionale« Funktionen die sogenannte totale Ableitung, kurz einfach »Ableitung« genannt, die im folgenden Abschnitt behandelt wird.