Читать книгу Physikalische Chemie - Peter W. Atkins - Страница 140

■ Das Wichtigste in Kürze: Bei der reversiblen adiabatischen Expansion eines idealen Gases hängen Druck und Volumen über eine Beziehung zusammen, die von Verhältnis der beiden Wärmekapazitäten abhängt.

Wir haben nun alle Voraussetzungen geschaffen, um die Zustandsänderungen bei der adiabatischen Expansion eines Gases diskutieren zu können. Für diesen Fall erwarten wir ein Sinken der Temperatur: Das System verrichtet Arbeit, ohne dass ihm von außen Wärme zugeführt wird; folglich nimmt die Innere Energie und damit auch die Temperatur ab. Aufmikroskopischer Ebene betrachtet verringert sich durch die Verrichtung von Arbeit die kinetische Energie der Moleküle, deren mittlere Geschwindigkeit nimmt ab und die Temperatur fällt.

Die Änderung der Inneren Energie eines idealen Gases bei einer Temperaturänderung von T_A nach T_E und gleichzeitiger Volumenänderung von V_A nach V_E können wir als zweistufigen Prozess betrachten (Abb. 2-17). Im ersten Schritt ändert sich bei konstanter Temperatur nur das Volumen. Die Innere Energie, die im Fall eines idealen Gases aber nicht von dem Volumen abhängt, das seinen Molekülen zur Verfügung steht, ändert sich nur im zweiten Schritt, der Temperaturänderung bei konstantem Volumen. Unter der Voraussetzung, dass die Wärmekapazität nicht von der Temperatur abhängt, ist diese Änderung der Inneren Energie gegeben durch

Abb. 2.17 Eine Zustandsänderung, bei der sich sowohl die Temperatur als auch das Volumen des Systems ändert, können wir gedanklich in zwei Schritte zerlegen. Der erste Schritt besteht in einer Expansion bei konstanter Temperatur; handelt es sich um ein ideales Gas, so ist die Innere Energie bei diesem Vorgang konstant. Im zweiten Schritt fällt die Temperatur des Systems bei konstantem Volumen. Die Gesamtänderung der Inneren Energie ergibt sich als Summe der Änderungen in beiden Schritten.

Die Expansion verläuft adiabatisch, also ist q = 0; wegen ΔU = q + w folgt ΔU = w_ad, wobei der Index „ad“ den adiabatischen Prozess kennzeichnet. Indem wir die beiden Ausdrücke für ΔU gleichsetzen, erhalten wir

(2.27)

Mit anderen Worten: Die bei der adiabatischen Expansion eines idealen Gases verrichtete Arbeit ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Ausgangs- und Endzustand des Systems. Exakt dieses Ergebnis erwarten wir auch aus mikroskopischer Sicht, denn die mittlere kinetische Energie der Moleküle ist proportional zu T, weshalb eine Änderung der Inneren Energie, die allein durch eine Temperaturänderung verursacht wird, ebenfalls proportional zu ΔT sein sollte. In Zusatzinformation 2-1 werden wir zeigen, dass sich die Anfangs- und Endtemperatur eines idealen Gases bei reversibler adiabatischer Expansion (reversibler Expansion in einem wärmeisolierten Behälter) aus

(2.28a)° _rev

mit c = C_V,m/R berechnen lassen; eine äquivalente Formulierung ist

(2.28b)° _rev

Dieses Ergebnis wird häufig in der Form VTc = Konstante zusammengefasst.