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La presencia de la matemática en la escuela responde a una necesidad social. Como individuos de una sociedad se hace necesario saber matemática para poder resolver y reconocer los problemas con los que nos encontramos, por lo que también es una necesidad individual.

Chevallard, Bosch y Gascón (2000), en el desarrollo de la teoría antropológica, enmarcan los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática como aspectos particulares del proceso de estudio de la matemática. Esto incluye tanto el trabajo que desarrolla el matemático, el profesor, el maestro, como el que realiza el alumno: los cuatro estudian problemas de la matemática.

Desde este lugar se concibe a la actividad matemática como una actividad de modelización.

Un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construir un modelo (matemático) de la realidad que queremos estudiar, trabajar con dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos en este trabajo para contestar a las cuestiones planteadas inicialmente. Gran parte de la actividad matemática puede identificarse, por lo tanto, con una actividad de modelización matemática (Chevallard, Bosch y Gascón, 2000: 51, cursivas en el original).

Esta actividad de modelización, es decir de construcción de modelos matemáticos para estudiar sistemas –en un contexto intra o extramatemático–, implica un hacer matemático. En ese hacer, al abordar un problema para resolverlo, se utilizan herramientas matemáticas que el individuo conoce y sabe usar. Pero puede suceder que no se cuente con esas herramientas, que sean instrumentos que ya existan pero no se conozcan. Es allí donde surge la necesidad de aprender –y, por ende, en la escuela, la actividad de enseñar– esas herramientas para estudiar ese sistema matemático. En ese proceso de aprendizaje, tanto matemáticos como docentes y alumnos crean matemática nueva. Dicho así, uno podría preguntarse qué crea el alumno si las ideas ya están creadas por la comunidad matemática, que es la que produce matemática. El que aprende crea matemática nueva para él en tanto miembro de una comunidad de clase. Ambos crean matemática en distintas comunidades.

Pensamos en un alumno que hace matemática, la crea. ¿Cuál es el mejor escenario para que esto ocurra, para que un alumno cree matemática?

La teoría de las situaciones didácticas, cuyo expositor es Guy Brousseau, propone un enfoque que pone el énfasis, entre otras cuestiones, en las interacciones sociales que se dan en el aula entre alumnos, docentes y saberes matemáticos en la construcción del conocimiento. Estas interacciones condicionan los aprendizajes de los alumnos, qué aprenden y cómo lo aprenden. En este sentido, Brousseau afirma:

No se trata solo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera los fundamentos de una cultura científica; las matemáticas en este nivel son el primer dominio en que los niños pueden aprender los rudimentos de la gestión individual y social de la verdad (1991: 19).

Esto implica generar un ámbito que los ponga en contacto con un hacer propio de la disciplina que tiene que ver con la construcción de ideas, y también con la construcción de ese hacer. El hacer es algo que se aprende. Explorar, anticipar, conjeturar, validar, leer y escribir forman parte del aprendizaje de ese hacer. Entre estos haceres, leer, escribir, conjeturar y validar tienen un lugar protagónico en el proceso de generalización, asunto que desarrollaremos en el capítulo 2.

Para seguir avanzando en lo que implica hacer matemática para el alumno, es necesario puntualizar las características de su objeto de estudio. La matemática como disciplina estudia objetos y relaciones cuya naturaleza no es material: no existen en la realidad, son objetos ideales. De ahí la imposibilidad de actuar directamente sobre ellos: lo hacemos sobre sus representaciones. Leer y escribir en matemática implica poder interpretar y producir distintos tipos de registros de representación semiótica, concepto desarrollado por Raymond Duval (1999a) y que por ser una cuestión estructurante será ampliado en el capítulo 3 «De las representaciones».

Consideraremos a la conjetura como la elaboración de una afirmación que se supone cierta pero que no ha sido probada o refutada. Esta elaboración está asociada en primer lugar con lo que la persona conoce de esos objetos, sus relaciones y sus funciones, los saberes que tiene disponibles. En segundo lugar, se vincula con la información que pueda extraer de la representación de ese objeto matemático, cualquiera sea su registro, esto es, de lo que pueda interpretar (leer). En tercer lugar, puede influir la capacidad de visualización que tenga el individuo. La visualización como proceso cognitivo requiere de la transferencia de objetos, conceptos, fenómenos, procesos y sus representaciones hacia algún tipo de representación visual y viceversa (Torregrosa y Quesada, 2007). Por último, involucra la identificación de patrones o regularidades que serán formuladas para uno mismo o para comunicar a otros.

Estos elementos aparecen cuando el sujeto, que está elaborando una conjetura, explora de manera diversa. La búsqueda, la exploración, el probar con diferentes casos es parte del proceso de construcción de una conjetura. Dentro del modelo epistemológico cuasiempírico de la matemática, sostiene Gascón (2001), citando a Lakatos, que cuando se está en un período de desarrollo de teorías matemáticas, estas son informales. Es en esa etapa de teorías informales donde se estudian los problemas más interesantes tanto desde el punto de vista epistemológicos como histórico. En ellos se analizan los bordes de las ideas, las rupturas con respecto a lo que ya existe, se abona a la diferenciación entre varios conceptos. Se exploran los límites de validez de las ideas matemáticas en juego. Podemos comparar este proceso de la construcción de teorías matemáticas con la situación del sujeto que está aprendiendo. De alguna manera, está en posición de explorar los problemas, las ideas matemáticas que subyacen, los límites de estas, cuándo, dónde y cómo funcionan; aunque estas ideas y problemas no sean nuevos para la matemática.