Читать книгу Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau - Matthias Krauß - Страница 18
1.5 Bezeichnungen und Annahmen
ОглавлениеIm Folgenden werden Bezeichnungen und Annahmen zusammengestellt, die für Stabtragwerke benötigt werden. Teilweise gelten sie auch für Flächentragwerke und die FE-Untersuchung von Querschnitten. Zu diesen Themen werden in den Kapiteln 6 und 7 weitere Bezeichnungen und Annahmen ergänzt. Grundlage für die Bezeichnungen sind DIN 1080 und DIN EN 1993.
Größen im globalen X-Y-Z-Koordinatensystem
Stabtragwerke werden in Stabelemente eingeteilt, die in den Knoten miteinander verbunden sind. Gemäß Bild 1.2 können auch innerhalb der Stabelemente Knoten angeordnet werden (Zwischenknoten). Knoten werden im globalen X-Y-Z-Koordinatensystem (KOS) durch ihre Koordinaten Xk, Yk und Zk gemäß Bild 1.4 definiert. Darüber hinaus werden auf dieses KOS alle globalen Verformungs- und Lastgrößen in den Knoten bezogen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist der Index k bei diesen Größen in Bild 1.4 weggelassen worden.
Bild 1.4 Definition von Verformungs- und Lastgrößen im globalen X-Y-Z-Koordinatensystem
Die Verformungsgrößen im globalen KOS werden durch einen Querstrich gekennzeichnet, der über den Größen steht. Dieser Querstrich wird auch bei Vektoren und Matrizen verwendet, sofern sie für das globale KOS gelten.
Größen in lokalen x-y-z-Koordinatensystemen
Stabelemente werden auf lokale x-y-z-KOS bezogen und als Stabachse die x-Achse durch den Schwerpunkt S definiert. Die Achsen y und z sind die Hauptachsen des Querschnitts. Gemäß Bild 1.5 werden einige Verschiebungs- und Schnittgrößen auf den Schwerpunkt S und andere auf den Schubmittelpunkt M (y = yM, z = zM) bezogen. Für die Wölbkrafttorsion wird eine normierte Wölbordinate ω verwendet.
Bild 1.5 Stab im lokalen Koordinatensystem mit Verschiebungs- und Schnittgrößen
Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte
| x | Stablängsrichtung im lokalen KOS |
| y, z | Hauptachsen in der Querschnittsebene (lokales KOS) |
| ω | normierte Wölbordinate |
| S | Schwerpunkt |
| M | Schubmittelpunkt |
Verschiebungsgrößen
| u, v, w | Verschiebungen in x-, y- und z-Richtung (lokales KOS) |
| φx = ϑ | Verdrehung um die x-Achse |
| φy ≅ −w′ | Verdrehung um die y-Achse |
| φz ≅ −v′ | Verdrehung um die z-Achse |
| ψ ≅ ϑ′ | Verdrillung der x-Achse |
Bild 1.6 Definition positiver Verschiebungsgrößen im lokalen KOS
w′,v′ und ϑ′ sind Ableitungen der Verschiebungsfunktionen nach x, s. Bild 1.6.
Spannungen
| σx, σy, σz | Normalspannungen |
| τxy, τxz, τyz | Schubspannungen |
| σv | Vergleichsspannung |
Bild 1.7. Positive Spannungen
Schnittgrößen
Bei der üblichen Definition positiver Schnittgrößen (Schnittgrößendefinition I) haben die Schnittgrößen an der negativen Schnittfläche Wirkungsrichtungen, die zu den in Bild 1.8 festgelegten Richtungen entgegengesetzt sind. Bei der Schnittgrößendefinition II sind die Wirkungsrichtungen an beiden Schnittflächen wie in Bild 1.8 definiert. Die beiden Schnittgrößendefinitionen sind in Bild 1.9 für einachsige Biegung mit Normalkraft an einem Stabelement dargestellt. Dabei werden, wie bei der FEM üblich, zur Unterscheidung der Stabelemente und Knoten weitere Indizes verwendet.
| N | Längskraft, Normalkraft |
| Vy, Vz | Querkräfte |
| My, Mz | Biegemomente |
| Mx | Torsionsmoment DIN EN 1993: T |
| Mxp, Mxs | primäres und sekundäres Torsionsmoment DIN EN 1993: Tt, Tw |
| Mω | Wölbbimoment DIN EN 1993: B |
| Mrr | siehe Tabelle 4.1 |
| Index el: | Grenzschnittgröße nach der Elastizitätstheorie |
| Index pl: | Grenzschnittgröße nach der Plastizitätstheorie |
| Index d: | Bemessungswert (design) |
Bild 1.8 Schnittgrößen an der positiven Schnittfläche eines Stabes
Bild 1.9 Schnittgrößen am Stabelement „e“ für einachsige Biegung mit Normalkraft, Schnittgrößendefinitionen I und II
Lastgrößen
| qx, qy, qz | Gleichstreckenlasten im lokalen KOS |
| FX, FY, FZ | Einzellasten im globalen KOS |
| mx | Streckentorsionsmoment (konstant) |
| MωL | Lastwölbbimoment |
Bild 1.10. Positive Wirkungsrichtungen und Angriffspunkte der lokalen Lastgrößen
Querschnittskennwerte
| A | Fläche |
| Iy, Iz | Hauptträgheitsmomente |
| Iω | Wölbwiderstand, DIN EN 1993: Iw |
| IT | Torsionsträgheitsmoment |
| Wy, Wz | Widerstandsmomente |
| Sy, Sz | statische Momente |
| iM, ry, rz, rω | Größen für Theorie II. Ordnung und Stabilität, s. Tabelle 4.1 |
| polarer Trägheitsradius |
Biegeknicken und Biegedrillknicken
| Ncr | ideale Drucknormalkraft (Elastizitätstheorie, Eigenwert) |
| Lcr | Knicklänge für Biegeknicken |
| ε | Stabkennzahl für Biegeknicken |
| αcr | Verzweigungslastfaktor des Systems (Eigenwert) |
| Mcr,y | ideales Biegedrillknickmoment (Elastizitätstheorie, Eigenwert) |
| bezogene Schlankheitsgrade | |
| χ, χLT | Abminderungsfaktoren (LT: Lateral Torsional Buckling |
Weitere Bezeichnungen und Annahmen
Werkstoffkennwerte (isotroper Werkstoff) und Teilsicherheitsbeiwerte
| E | Elastizitätsmodul | E = 21000 kN/cm2 |
| G | Schubmodul | G = E/(2·(1 + ν)) ≈ 8100 kN/cm² |
| ν | Querdehnzahl, Poissonsche Zahl | ν = 0,3 |
| α | Wärmeausdehnungskoeffizient | α = 12.10−6 je K (für T ≤ 100 °C) |
| ρ | Dichte | ρ = 7850 kg/m3 |
Die als Bemessungswerte angegebenen Materialkonstanten sind in der Regel für Berechnungen anzunehmen.
Bild 1.11 Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Baustahl
| fy | Streckgrenze |
| fu | Zugfestigkeit |
| εu | Gleichmaßdehnung |
| εult | Bruchdehnung |
| γM | Beiwert für die Widerstandsgrößen (Material) |
| γF | Beiwert für die Einwirkungen (Force) |
Die Bezeichnungen fy, fu, εu und γM werden in Bild 1.11 anhand der Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Baustahl erläutert. Bei Stabilitätsnachweisen in Form von Querschnittsnachweisen mit Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ist bei der Ermittlung der Beanspruchbarkeit von Querschnitten der Wert γM = 1,1 anzusetzen, s. auch Abschnitt 5.1.2.
Matrizen und Vektoren
| s | Schnittgrößenvektor |
| K | Steifigkeitsmatrix |
| G | geometrische Steifigkeitsmatrix |
| v | Verformungsgrößenvektor |
| p | Lastgrößenvektor |
| Index e: | Element |
Ein Querstrich über den Matrizen und Vektoren weist daraufhin, dass sie für das globale Koordinatensystem (X, Y, Z) gelten.
Annahmen und Voraussetzungen
Sofern nicht anders angegeben, gelten folgende Annahmen und Voraussetzungen:
Sofern nicht anders angegeben, gelten folgende Annahmen und Voraussetzungen:
• Es wird ein linearelastisches-idealplastisches Werkstoffverhalten gemäß Bild 1.11 vorausgesetzt.
• Auftretende Verformungen sind im Sinne der Stabtheorie klein, so dass geometrische Beziehungen linearisiert werden können.
• Die Querschnittsform eines Stabes bleibt bei Belastung und Verformung erhalten.
• Für zweiachsige Biegung mit Normalkraft werden die Bernoulli-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte vorausgesetzt und der Einfluss von Schubspannungen infolge von Querkräften auf die Verformungen vernachlässigt (schubstarre Stäbe).
• Bei der Wölbkrafttorsion werden die Wagner-Hypothese vorausgesetzt und der Einfluss von Schubspannungen infolge des sekundären Torsionsmomentes auf die Verdrehung vernachlässigt.
