Читать книгу Matemáticas y Física & Química - Equipo Parramón Paidotribo - Страница 10

NÚMEROS ENTEROS

María entra en un ascensor en la quinta planta de un edificio. Como quiere ir al séptimo piso, tiene que subir dos pisos, puesto que 7 = 5 + 2. Si hubiera querido bajar tres pisos, también habría podido hacerlo, ya que 5 – 3 = 2. ¿Pero podría haber bajado siete pisos? No.

Supongamos ahora que estamos en otro edificio en el que hay tres sótanos destinados a aparcamiento y que en el ascensor están señalados con los números –1, –2 y –3. ¿Podríamos bajar siete pisos estando en el quinto? Al contar con números negativos, sí que podríamos hacerlo: 5 – 7 = –2, es decir, acabaríamos en el segundo sótano.

LOS QUIPU

Los incas utilizaban un sistema de cuerdas, denominado “quipu”, a las que hacían determinados nudos para realizar sus cálculos.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Para dibujar los números enteros en una recta, seguimos el siguiente proceso:

•Situamos el cero en un punto cualquiera.

•Tomamos una medida cualquiera y la vamos llevando hacia la derecha del cero, representando así a los números enteros positivos, que coinciden con los naturales.

•Vamos llevando la misma medida hacia la izquierda del cero para dibujar los enteros negativos.

EL ORIGEN DEL NÚMERO CERO

Muchas civilizaciones de la antigüedad no utilizaban el cero. ¿Para qué contar un rebaño que no tiene ninguna oveja? ¿Para qué representar con un símbolo a la nada? Pero, ¿cómo escribir el número 408 sin emplear el cero? Los pueblos que usaban sistemas de numeración posicionales lo resolvían dejando un espacio en blanco entre el cuatro y el ocho. Con este método se solían confundir los números 48, 408 y 480, y por esta razón los hindúes optaron por colocar un punto donde antes dejaban un espacio en blanco. Con el paso del tiempo, el punto se convirtió en un círculo.

Los chinos operaban con un ábaco de dos colores: el rojo para los números positivos y el negro para los negativos. En la fotografía, ábaco gigante en una calle de Cesis (Letonia).

LOS NEGATIVOS

Aunque chinos e hindúes han utilizado números negativos desde hace más de mil años, en Europa no empezaron a emplearse hasta el Renacimiento y no fueron totalmente admitidos hasta finales del siglo XIX.

Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta al omitir el signo. El valor absoluto se representa con dos barras verticales: |–3| = 3.

Los naturales, el cero y los negativos constituyen el conjunto de los números enteros.

SUMA DE ENTEROS

Para jugar a la suma de enteros, construyamos un tablero de cartón que tenga treinta y una zonas: quince zonas llevan números negativos, –1 al –15; quince llevan números positivos; la zona central corresponde al cero. Dispongamos también de una ficha y de un dado. Las reglas del juego: si llegas a la zona 15, enhorabuena, habrás logrado un gol; si retrocedes a la zona –15, lo sentimos, habrás encajado un gol.

Para sumar dos enteros que tengan el mismo signo, se suman los valores absolutos y se añade dicho signo.

Las caras del dado del juego de la suma de enteros contienen los números 1, 2, 3, –1, –2 y –3.

RESTA DE ENTEROS

Para restar dos enteros se suma al primero el opuesto del segundo:

2 – (–3) = 2 + 3 = 5

3 – (5) = 3 + (–5) = –2

Se llama opuesto de un número al que tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Así el opuesto del 3 es el –3 y el opuesto del –5 es el 5.

situemos la ficha en la zona cero y lancemos el dado; supongamos que sale un dos

moveremos la ficha a la zona dos

Para sumar dos enteros que tengan distinto signo, se restan los valores absolutos y se añade el signo del que tenga mayor valor absoluto.

lancemos de nuevo y supongamos que salga un –3; moveremos la ficha tres casillas hacia la izquierda y acabaremos en la zona –1. Matemáticamente podemos representar este movimiento así: 2 + (– 3) = –1

lancemos de nuevo y supongamos que sale –2; nuestra ficha acabará en la zona –3. Podemos escribir lo siguiente: (–1) + (–2) = (–3)

MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS

Resultado de los dados	Movimiento de la ficha	Expresión matemática
En el dado de multiplicar ha salido un signo más y en el otro un 3.	Dos veces en la dirección del dado de números. En total seis casillas a la derecha.	2 · 3 = 6
En el dado de multiplicar ha salido un signo menos y en el otro un 3.	Dos veces en la dirección contraria a la del dado de números. En total seis casillas a la izquierda.	(–2) · 3 = –6
En el dado de multiplicar ha salido un signo más y en el otro un –3.	Dos veces en la dirección del dado de números. En total seis casillas a la izquierda.	2 · (–3) = –6
En el dado de multiplicar ha salido un signo menos y en el otro un –3.	Dos veces en la dirección contraria a la del dado de números. En total seis casillas a la derecha.	(–2) · (–3) = 6

Sigamos con nuestro juego de la página anterior, pero construyamos un nuevo dado, al que llamaremos dado de multiplicar, en tres de cuyas caras dibujaremos una estrella con un signo menos y en las otras tres una estrella con un signo más. Este dado servirá para duplicar el movimiento correspondiente al otro dado, el de los números.

Situemos la ficha en la casilla –2 y lancemos los dos dados. Si analizamos los casos posibles, llegaremos a esta conclusión: para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos. Si los dos son del mismo signo el resultado será positivo. Si, por el contrario, son de signos diferentes el resultado será negativo.

El dado de multiplicar.

Tabla de la multiplicación.

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Cuatro hermanos tienen que asumir la deuda de su anciano padre: ocho mil euros. ¿Cuánto tendrá que devolver cada uno de ellos?

–8.000 : 4 = –2.000 €.

Cada uno tiene que devolver dos mil euros. En este caso decimos que la división es exacta.

¿Qué hubiera pasado si la deuda hubiera sido de ocho mil treinta euros? La operación no se podría realizar trabajando únicamente con números enteros, pues si cada uno de los hermanos devolviera dos mil siete euros, aún quedaría un resto de la deuda: dos euros. En este caso decimos que la división es entera.

Para medir la altura del terreno, se toma como nivel cero el nivel del mar. Entonces, para medir las profundidades marinas hay que utilizar números negativos.

El resto de una división entera tiene el mismo signo que el dividendo.

Cero grados centígrados (se escribe 0 °C) es la temperatura a la que se hiela el agua. En países muy fríos se pueden alcanzar temperaturas de cuarenta grados por debajo de cero. Este tipo de temperaturas se expresan con números negativos: –40 °C.

Tabla de la división.

Para determinar el signo del cociente podemos consultar la tabla de signos, que es semejante a la de la multiplicación.

Dividendo = divisor · cociente + resto

– 9 = 4 · (–2) + (–1)

POTENCIAS DE BASE NATURAL CON EXPONENTE ENTERO

•Para multiplicar dos potencias de la misma base y exponente natural basta con sumar los exponentes y conservar la misma base:

3² · 3³ = (3 · 3) · (3 · 3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁵ = 3^{2 + 3}

•Para dividir dos potencias de la misma base y exponente natural restaremos los exponentes y dejaremos la misma base, ya que:

•Si el exponente del divisor es mayor que el del dividendo, se origina un exponente negativo que equivale a dividir la unidad entre la misma potencia pero con exponente positivo:

•Si el dividendo y el divisor son iguales, se origina una potencia de exponente cero que, por tanto, equivale a la unidad:

POTENCIAS DE BASE ENTERA

•Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo: (–2)² = (–2) · (–2) = 4.

•Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo: (–2)³ = (–2) · (–2) · (–2) = 4 · (–2) = – 8.